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1

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA (I)

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA AL CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS

Entenderemos que las áreas que nos interesan corresponderán a una porción del plano XY, limitado por algunas gráficas de funciones. Tendremos por lo tanto, variadas situaciones dependiendo de las gráficas consideradas para limitar la región cuya área calculamos. Primer Caso: la función f(x) es no negativa. En este caso, la región R a la que deseamos calcular su área, está limitada por la gráfica de una función no negativa f(x) y dos rectas verticales en x a y x b , es decir R x , y IR 2 / a x b 0 y f (x )

b

Como ya sabemos, el área es A

∫ f ( x ) dx a

Ejemplo 14: Calcular el área de la región limitada por y x2 2 x 2 , x 2 , x 2 y el eje X 2 y 1 x 1 se trata de una parábola que no corta al eje X. Solución: y x 2 2x 2

2

A

∫ 2

Como la función es no negativa en el intervalo 2 1 x3 8 x 2 2 x 2 dx x 2 2x 4 4 3 3 2

2 , 2 entonces: 8 3

4

4

16 3

8

40 3

u .a .

Ejemplo 15: Determinar el área, en el primer cuadrante, de la región limitada por las gráficas de: 2 y x 1 0 y x 5 2 Solución: Se trata de la parábola y x 1 y de la recta vertical x 5

5

Luego, A

∫ 1

x 1 dx

1 3 2

x 1

3 2

5 1

16 3

2 Ejemplo 16: Calculemos el área de y Solución:

sen x en 0 ,

Como podemos apreciar, la función es no negativa en el intervalo considerado. Por lo tanto, A sen x dx cos x cos cos 0 1 1 2

∫

0

0

2

Aprovechemos este ejemplo para ver lo que sucede al calcular ∫ sen x dx 0 2

∫sen x dx

2 0

cos x

0

cos 2

Observamos que la función y

cos 0

1

1

0

¿porqué?

sen x es negativa ( no positiva) en

,2

, por lo

2

cual la integral

∫ sen x dx

NO calcula directamente un área. De hecho calcula el

negativo del área (como veremos en seguida), esto es 2

∫ sen

x dx

cos x

2

Así,

∫ 0

sen x dx

∫

2

cos 2

cos

1

1

2

2

sen x dx

∫ sen x dx

2

2

0

0

Segundo Caso: la función f(x) es no positiva, esto es, f ( x)

0 en a , b

f ( x) 0 en a , b En este caso se sabe que la función –f(x) es no negativa, o sea, Dado que las funciones f(x) y - f(x) son simétricas con respecto al eje X (ver gráfico siguiente) el área A que deseamos calcular es exactamente el área de las siguientes dos regiones: R1 x, y / a x b 0 y f ( x ) , R2 x, y / a x b f ( x) y 0

3

b

Luego, A

A( R1 )

∫

b

f ( x) dx

a

∫ f / x ) dx

A (R2 )

a b

Como puede observarse, el área buscada A = A(R2 )

∫

b

f ( x ) dx ⇒ ∫ f (x ) dx

a

A , es

a

b

decir, la integral definida

∫ f ( x) dx

nos entrega el valor negativo del área buscada. Así,

a

para determinar el área A deberemos anteponer un signo menos ( - ) al valor arrojado por b

∫

b

∫ f ( x ) dx

f ( x) dx, lo que también puede expresarse con valor absoluto, es decir, A

a

a

Ejemplo 17: expresar mediante integrales, el valor del área comprendida entre la gráfica y el eje X.

Observando el gráfico, podemos observar que la función es no negativa en los intervalos a , c 1 , c 2, c 3 y c 4, b por lo que las integrales calculan directamente las áreas respectivas. Sin embargo, la función es no positiva en los intervalos c 1 , c 2 y c 3 , c 4 por lo que sus áreas respectivas se calculan anteponiendo un signo menos (-) al valor de la integral. c1

Por lo tanto, A

∫

a

c2

f( x) dx

∫

c1

f ( x) dx

c3

c4

b

c2

c3

c4

∫ f ( x) dx

∫ f ( x) dx

∫ f ( x) dx

x

Ejemplo 18 : Determinar el área de la región limitada por y x

2

1

2

, x

2 , x

3, y

0

4 Solución:

0

Luego A

∫ 2

3

x x2

1

2

dx

∫ 0

x x2

1

2

dx

1 1  0   2  x2 1  2

1 1 3   2 2  x 1 0

17 20

Tercer Caso: Supongamos ahora que la región R está comprendida entre dos gráficas de funciones no negativas, esto es, R x , y / a x b g(x) y f (x) siendo f (x) 0 y g(x) 0 en a, b

b

En este caso, el área A de la región R , viene dada por A

∫

b

f ( x ) dx

∫ g (x )dx , es decir

a

a

Ejemplo 19: Determinar el área de la región plana limitada por: y2 Solución: La gráfica se muestra a continuación:

ax ; x2

b

A

∫

f ( x ) g ( x ) dx

a

El punto de intersección de las dos gráficas viene de igualar las ecuaciones y2

by

ax ; x2

by,

5 es decir, x 2

by ⇒ x 4

b2y2 ⇒ x4

b 2 ax ⇒ x x 3

b 2a 3

3

Por lo tanto, A

b 2a

∫ 0

  ax 

2

x b

  dx 

 x 2 a  3  3

2

x   3b  3

0⇒ x

b 2a 0

0

x

3

b 2a

ab 3

La fórmula anterior es también válida para los siguientes dos casos: Cuarto Caso : La región R está limitada por una función no negativa f(x) y una no positiva g(x).

R

x, y / a x b

g(x) y f ( x)

b

El área de la regiónR es

A

∫ a

siendo f ( x) 0 y g( x) 0 en a, b

 f ( x) dx  

 ∫ g ( x ) dx  a b

b

∫

f (x ) g (x ) dx

a

2x ; x Ejemplo 20: Determinar el área de la región encerrada por y2 Solución: Ahora la intersección de las gráficas resulta en los puntos: y 2 2 x ⇒ y 2 2 y 4 ⇒ y 2 2 y 8 0 ⇒ y 4 ( con x 8 )

2

Por lo tanto A

∫ 0

8

2x

2 x dx

∫ 2

2x

x 4 dx

18

y

4

y

2 (con x

2)

6

Quinto Caso: La región R está limitada por dos funciones no positivas f(x) y g(x).

R

x, y / a x b

g(x) y f (x)

siendo f (x) 0 y g(x) 0 en a , b

b   b   g ( x ) f ( x ) dx ∫a ∫a f (x ) g (x ) dx   ∫   a Ejemplo 21 : Calcular el área encerrada por : y 2 x 2 x 2 1 , eje X , eje Y , y x 6 , x b

El área de la región R es A

Solucion: De la ecuación y 2

x 2 x 2 1 resulta y

1

El área es A

∫ 0

2

x x

2

1

2

x 6 dx

∫

x x2

1

x 6 dx 10

3

( verificar)

1

Con todo lo anterior, ahora estamos en condiciones de calcular diferentes tipos de áreas planas, como veremos en los siguientes ejemplos. Ejemplo 22: Calcular el área encerrada por las gráficas dey sen x ; y cos x en 0 , Solución: Lo primero es hacer el gráfico correspondiente para determinar la posición de las curvas.

7 Observamos del gráfico que las curvas se cruzan en un punto, que calculamos haciendo: sen x cos x ⇒ tg x 1 ⇒ x 4 En seguida vemos que en el intervalo 0 , 4 la función cos x está por encima de sen x, mientras que en el intervalo 4 , es la función sen x que está por encima de cos x. 4

∫

Siendo así, A

cos x sen x dx

0

=

∫

sen x cos x dx

sen x cos x

4

cos x sen x

0

4

4

 2   2 

2 2

0

 1  

  1  

0

   

2   2  

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2

Ejemplo 23: Calcular el área encerrada por las funciones siguientes:

y1

2

x

e

y2

si 0 x 1 3  el trazo recto que une

1, 3 con

2,4

si 1 x

2

Solución: comencemos por el gráfico de las funciones

La ecuación de la recta que une los puntos 1, 3 y 2 , 4 es: y 3 4 3 ⇒ y 3 1 ⇒ y x 2 x 1

2 1

x 1

De la gráfica se aprecia que en la región R la función y 2 está por encima de y1 , además que en punto x 1 la gráfica de y2 varía su expresión algebraica. 1

Luego se tiene que A

∫3

2

x 2 dx

0

1  = 3  3 

∫

x 2

  3x  1  2  3 

x 2 dx

1

8  1     2 4 3  2 

x3  1  x2   2x 3  0  2 23 3,83 6

x3  2  3  1

Ejemplo 24 : Calcular el área del triángulo de vértices A 0 ,1 , B 1 , 1 , C 2 , 2 Solución: Veamos el gráfico del triángulo y calculemos las ecuaciones de las líneas rectas que lo conforman. y 1 ecuación de recta que une A con B Sean y 2 ecuación de recta que une A con C y3

ecuación de recta que une B con C

8

y x y x y x

Ecuación de recta y 1 : Ecuación de recta y 2 : Ecuación de recta y 3 :

1 0 1 0 1 1

2 2x ⇒ y 2x 1 ⇒ y 1 1 x 1 1 x ⇒ y 1 ⇒ y 1 2 2 2 3 ⇒ y 1 3 x 3 ⇒ y 3x 4 1

En la región triangular, la función y 2 está por encima de las funciones y 1 e y 3 . Además, exactamente en el punto x 1 deberemos separar las integrales, pues precisamente allí se pasa de la función y 1 a la función y 3 . 1

Luego, A

 x  ∫0  2 1  =  5 x 2  1 4

 0

 2 x 1  dx    

5 x 4

2

 2 5x   1

2

 x  ∫1  2 1  5    4  

 3 x 4  dx   0 

  

5

10

1

5  ∫0  2 x  dx   

5 4

 5  

2

 5  x 5  dx 2  1

∫ 

5 4

5 4

5 2

Ejemplo 25: Calcular el área encerrada por las gráficas de las funciones: y1 1 x 2 x 1 e y2 x 1 3 en el int ervalo 0 , 2 2 2 Solución: Analicemos primeramente la función 1y 1 x 2 x 1  1 x 0 ⇒x 1 Los puntos críticos vienen dados por  2 x 1 0 ⇒ x 1 2 Los signos para cada expresión aparecen en la siguiente tabla:

Así, para x para x para x

, 1 2 la función queda

y 1 x 1 2 x ⇒ 1y 3 x 2 1 x 2x 1 ⇒ y1 x 2 ,1 la función queda y1 x 1 2 x 1 ⇒ 1y 3 x 2 1, la función queda 1y 1

1

9  3 x 2 si x 1 2  si 1 2 x 1  x  si x 1 3 x 2

Por lo tanto y 1

Analicemos ahora la función 2y

x

1

2

3

cuyo único punto crítico esx

2

1

2

Los signos de esta expresión son :

Así, parax x

, 1 2 la función queda 1

2

Por lo tanto y 2

,

y2 la función queda y2

2 x si x  x 1 si x

1

1

2

x

x

3

1 2

3

2 2

⇒ y2 ⇒ y2

2 x x 1

2

1 2

Las funciones y1 e y 2 se cruzan en dos puntos, en x 0 y en x 3 2 El valor x 3 2 se obtiene interceptando las rectas y 3x 2 e y x 1 Así el área encerrada por las 2 gráficas (área achurada) viene dada por: 1

A

∫ 0

3 2

1

2

2 x

3 x 2 dx

∫ 1

x 1

x dx

2

El cálculo final se deja para el alumno.

∫ 1

2

x 1

3 x 2 dx

∫ 3 2

3x 2

x 1 dx

10 Otros Tipos de Áreas Planas

x, y / c y d g( y) x h( y ) , es En ocasiones la región R viene descrita por R decir las funciones x g ( y ) , x h ( y ) expresan la variable x en función de la variable y. Por ejemplo:

x ln y o

x 2 y 4

o

x

2

y

3

Una región genérica R se representa gráficamente como sigue:

d

En este caso el área de la región R se calcula como A

∫ h( y )

g ( y ) dy es decir, se trata de

c

una integral en que la variable de integración es y ; los límites de integración “c” y “d” corresponden a valores constantes de esa variable. 2 Ejemplo 26: Calcule el área de la región encerrada por: 1x y 4 ; x2 Solución: El gráfico de las 2 funciones se presenta a continuación.

2y 1

Para determinar los puntos de intersección de estas gráficas, resolvemos

Su solución es y

2

4

y2

1

y

2

y2

3

0

y

2

4 12 2

y

1

y2 4 2y 1

x x 1

y

2

Además, para y1 1 se tiene x1 3 y para y2 3 se tiene x2 5 2 Luego R , / 1 3 4 2 1 x y y y x y , por lo que se deduce que 3

A 1

∫2 y 1

3 2

y 4 dy 1

∫

2

y 2 y 3 dy

 1 3  y  3

2

y

 3 3y   1

 1 9 9 9  1 3  3

32 3

3

11 Otro método: Consiste en llevar el cálculo de área a una o más integrales del tipo∫ .... dx En el mismo gráfico anterior marcamos sus funciones inversas

Ahora el área buscada debe dividirse en dos: la primera áreaA1 corresponde a la región limitada arriba por y x 4 y limitada abajo por y x 4 , lo que 3 . La segunda área A 2 corresponde a la región limitada sucede para 4 x arriba por y x 4 y limitada abajo pory 1 2 x 12 , lo que sucede para 3 x 5.

Los puntos de intersección de las gráficas son los mismos que antes y se y x 4 y x 4 encontrarían ahora resolviendo los sistemas: y 12 x 12 y 12 x 12 3

Luego, A

A1

A2

5

∫

x 4

x 4 dx

4

x 4

1 2

x

1

2

dx

3

2 x 4 3

=2 =

∫

4 3

18

3 2

35 4

2  3

3 4 2 3

3

x 42 3 4

4 3

1 4

28 3

x2

1 2

 5 x  3

32 3

Ejemplo 27: Calcular el área encerrada por x2 8 y y x 2 y 8 0 . Solución: (a) Primeramente expresaremos el área como integral en término de la variable x

12

 x 8 x2  ∫  2 8  dx 36 4 (b) Ahora expresaremos el área como integrales en términos de la variable y. 8

El área viene dada por A

2

El área viene ahora dada por A

2 ∫ 8 y dy 0

8

∫

8y

2y 8

36

2

(II) COORDENADAS POLARES.

Lo primero que haremos en esta parte es estudiar el sistema de Coordenadas Polares y la representación de curvas en dicho sistema ( o sea en coordenadas polares). Más adelante continuamos con el cálculo de áreas en coordenadas polares. Observemos que hasta este momento, sólo hemos usado gráficas de funciones dadas en términos de un sistema de coordenadas rectangulares XY. Las coordenadas polares son útiles para escribir las ecuaciones de ciertas curvas de manera bastante simple en su expresión algebraica. En seguida presentaremos la relación entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de un punto. Asociaremos el polo 0 del sistema de coordenadas polares al origen (0,0) del sistema de coordenadas rectangulares y al eje polar A con la parte positiva del eje X. Si P es un punto cualquiera del plano tal que OP r y AOP , entonces conociendo se puede determinar la posición de P. r y Las nuevas variables r y , llamados radio vector y ángulo polar respectivamente. Estas coordenadas se escriben como r , . La recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje Polar se le denomina eje a 90º . El ángulo se mide partiendo del eje polar hacia el radio vector y será positivo o negativo conforme se mida en sentido contrario o a favor de las agujas de un reloj, respectivamente. En el siguiente diseño, se muestra un punto P del plano, representado tanto en coordenadas rectangulares como polares.

13 Para el caso del punto P ´ del mismo diseño, tenemos un par de formas de representarlo en coordenadas polares. Dado que utiliza la misma recta soporte que el punto P, podemos escribirlo o bien, si con el mismo ángulo que P pero con radio vector negativo, es decir P´ r , podemos utilizar el mismo radio vector que P, quedando como usamos el ángulo P´ r ,

En un sistema de coordenadas cartesianas ( rectangulares) a cada punto P del plano le corresponde un único par ordenado de números ( x , y ) y vice-versa. Una desventaja del sistema de coordenadas polares es que, si bien cada par r , representa un único punto en el plano, cada punto del plano le corresponden un número infinito de pares de coordenadas polares.

Como se muestra en la figura siguiente, si un punto P tiene coordenadas polares ( r , ) , ese mismo punto P también tiene coordenadas polares (r , 2n ) para todo entero n.

En este curso y sólo para unificar criterios, convendremos en que cada punto P representado en coordenadas polares usando un radio vector r positivo y un ángulo polar valores entre 0º y 360º. Tal par r , será llamado par principal del punto P. Las coordenadas del polo serán 0 , , siendo un ángulo cualquiera.

estará con

Por otra parte, podemos escribir la forma en que se relacionan las coordenadas ( o variables ) rectangulares x e y con las coordenadas ( o variables ) polares r y . Del gráfico siguiente resulta que: x

o bien

r2

r cos x2

, y

y2 ,

r sen

(Ec. 1)

( ...