Resumen de clases de Calculo Integral PDF

Preview

Summary

En este documento se encuentra un resumen (muy resumido :v) de las clases transcurridas durante las clases virtuales del ciclo 2021-2021 bajo cátedra del ingeniero Aníbal Mantilla...

Description

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA EN GEOLOGÍA, MINAS, PETRÓLEO Y AMBIENTAL

INGENIERÍA EN GEOLOGÍA

SEGUNDO SEMESTRE – CALCULO INTEGRAL

RESUMEN DE CLASES PERIODO 2021 – 2021

FALCONÍ INFANTE CRISTIAN RAPHAEL ESTUDIANTE

ING. MANTILLA GUERRA ANIBAL RUBEN DOCENTE

Contenido 1.

Clase de presentación.............................................................................................................................................. 3 1.1.

2.

Ejercicio de muestra .......................................................................................................................................... 3

Introducción al Calculo Integral............................................................................................................................ 3 2.1.

Definición de la Integral ................................................................................................................................. 4

2.1.1.

La integral indefinida ............................................................................................................................. 4

2.1.2.

La integral definida. _ ............................................................................................................................. 5

2.1.3.

Propiedades de las integrales ................................................................................................................. 5

2.2.

Métodos de integración ................................................................................................................................... 6

2.2.1.

Método de sustitución ............................................................................................................................. 6

2.2.2.

Método de las fracciones parciales. _ .................................................................................................... 6

2.2.3.

Método de Integración por partes. _ ..................................................................................................... 7

2.2.4.

Método de tabulación ............................................................................... ¡Error! Marcador no definido.

1.

Clase de presentación

1.1.Ejercicio de muestra Un sistema consiste en un resorte (restituidor) y un cuerpo cuadrado (amortiguador), se encuentran soportando a un cuerpo rectangular de masa “m” (Fig. 1). Se desea conocer el desplazamiento vertical que tiene el cuerpo rectangular provocado por el peso del mismo. b

k

∑ 𝐹 = 𝐹 − 𝐹𝑏 − 𝐹𝑘 = 𝑚 ∗ 𝑎

𝐹−𝑏∗𝑣−𝑘∗𝑥 =𝑚∗𝑎

m

x

𝐹 − 𝑏 ∗ 𝑥 , − 𝑘 ∗ 𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑥 ,,

𝐹(𝑠) − 𝑏(𝑠) ∗ 𝑥(𝑠) − 𝑘 ∗ 𝑥(𝑠) = 𝑚𝑠 2 𝑥(𝑠)

m Figura 1.

𝐹(𝑠) = 𝑏(𝑠) ∗ 𝑥(𝑠) + 𝑘 ∗ 𝑥(𝑠) = 𝑚𝑠 2 𝑥(𝑠) = 𝑥(𝑠)[𝑚𝑠 2 + 𝑏𝑠 + 𝑘] 𝑥(𝑠)

𝐹(𝑠)

=

1/𝑚 𝑏 𝑚

𝑠2 + 𝑠+

𝑘 𝑚

;

𝑥(𝑠) =

1 𝑚 𝑏 𝑘 𝑠2 + 𝑠+ 𝑚 𝑚

∗ 𝐹(𝑠)

En esta clase se toma en cuenta el uso de diferenciales en ecuaciones, siendo como una muestra de lo que a fines de semestre o en medio del posterior nivel se visualizará.

2. Introducción al Calculo Integral Tomando en cuenta una relación física en el análisis de la potencia de un sistema, se tiene por ecuación que 𝑃 = 𝜏 ∗ 𝜔, donde 𝜏 es la inercia y 𝜔 es la velocidad angular del sistema (Fig. 2). Pero, esto solo es válido sí la

inercia es constante, de variar, se tendría la siguiente relación: ∆𝑃 = 𝜏 ∗ ∆𝜔, es decir: 𝑑𝑃 = 𝜏 ∗ 𝑑𝜔. Por lo

tanto, es necesario establecer una suma de pequeños fragmentos en proporciones de 𝑑𝜔 (Fig. 3) para obtener

𝑏

𝑃 = ∫ 𝜏𝑑𝜔 𝑎

un valor que aproxime más efectivamente al resultado exacto. Es ahí, donde se aplica el mecanismo de Integración.

Donde a es el valor más pequeño que la integral de diferencial de omega (𝑑𝜔)

puede tomar; Por lógica, b representa el valor más grande que tomará 𝑑𝜔.

τ

τ

a

ω

Δω

b

ω

Figura 3.

Figura 2.

2.1. Definición de la Integral 2.1.1. La integral indefinida Se trata de la obtención de una función “primitiva” de una función que tiene en su ecuación una diferencial de “x” variable, siendo el más simple ejemplo: 𝐹(𝑡) = ∫ 𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝐶;

Donde, C es una constante

Si aplicásemos diferenciación tendríamos

𝑑𝐹(𝑡) 𝑑𝑡

=

𝑑(𝑡+𝑐 ) 𝑑𝑡

= 1 ; 𝑑𝐹(𝑡) = 𝑑𝑡

Por tanto, se describe la siguiente definición: La función resultante de integrar de una función derivada, es la función derivada en su estado primitivo, es decir, antes de ser derivada. Descrito en una fórmula se definiría:

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝐹(𝑥)

Si 𝑓𝑑𝑥 = 𝑑𝐹(𝑥); Ejemplos

a. ∫ cos(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 =

b. ∫ 𝑒 −𝑏𝜃 𝑑𝜃 = − 1

𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥)

𝑒 −𝑏𝜃 𝑏

𝑎

+ 𝐶;

+ 𝐶;

c. ∫ 𝑑𝑣 = ln[𝑣] + 𝐶; (Cuando se tiene un factor a integrar cuyo exponente sea -1, se debe realizar 𝑣

la transformación a ln por la razón de que al extraer su exponente (-1) y añadirle 1 (cuando se integra, el exponente de las variables polinomiales se incrementa en 1), el exponente resultante es 0, resultando así un error de integración.

d. ∫ 𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 = 𝜋 ∫ 𝑟 2 𝑑𝑟 = 𝜋 τ

𝑟3 3

+𝐶 τ

2.1.2. La integral definida. _ Resultado de la integración de una función f (x), obteniendo por resultado su primitiva, se procede a obtener los valores del límite superior (b) y del límite inferior (a), siendo que al valor obtenido del límite superior se le resta el del límite inferior:

𝑏 ∫𝑎 𝑓𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)] = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 𝑏

Cabe recalcar que, a diferencia de la integral indefinida, en la integral definida no se suma una constante (C) al resultado de la integración.

Ejemplos: 𝜋1 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 2

a. ∫0

𝑇

𝜋 1 1 1 1 = 2 [−𝑐𝑜𝑠𝜃] = [− cos(𝜋) + cos(0)] = [−(−1) + (1)] = (2) = 1 2 2 0 2

b. ∫2 𝑓𝜔𝑑𝜔 = 𝑓 [

𝜔2 2

]

𝑓𝑇 2 𝑇 𝑓 [𝑇 2 − 2𝑓 = − 4] = 2 2 2

2.1.3. Propiedades de las integrales a. Integral de la suma/resta de funciones. _ Cuando se tiene a integrar un conjunto de funciones, siendo que f (x) se suma/resta con g (x), teniendo como ecuación lo siguiente:

∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫[𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥] = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 b. Integral de la multiplicación de funciones. _ Teniendo dos funciones f (x) y g (x), su multiplicación se describe de la siguiente forma: Integral de f(x) por g ´(x) más la integral de g(x) por f ´(x).

∫[𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥)𝑑𝑥

2.2. Métodos de integración Existen diferentes formas de integrar una función, para diferentes casos, ya que las relaciones pueden ser tan simples como integrar dx, la cuestión cambia cuando la variable implica polinomios complejos, funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, además de funciones con fracciones polinomiales. Por lo cual es necesario conocer distintos métodos para resolver la integral. 2.2.1. Método de sustitución Consiste en cambiar los factores de una función por una variable más simple, la cual se puede integrar más fácil, sin embrago, se debe tomar en cuenta que al cambiar de variable se debe hacer lo mismo con su valor diferencial, esto se debe a que ya no se está integrando a la función original, sino a su equivalente. Explicado matemáticamente se vería lo siguiente:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥;

Donde 𝑓(𝑥) = 𝑢; Por lo que: 𝑑𝑥 =

Por lo tanto 𝑑𝑢

∫𝑢

De √𝑢

𝑢 = 𝑥2 + 2; ∫

𝑑𝑥

= 𝑓´(𝑥) =

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑓´(𝑥)

Entonces, sustituyendo u por f (x) se tiene:

Ejemplo: 𝑥 a. ∫ 2 𝑑𝑥; √𝑥 +2

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑢 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑢

𝑑𝑥

= 2𝑥:

𝑑𝑥 =

𝑑𝑢

2𝑥

1 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = ∫ = √𝑢 + 𝐶 =∫ 2√𝑢 2 √𝑢 √𝑢 2𝑥 𝑥

∗

+ 𝐶, aún no se cumple con todos los parámetros de integración, ya que la respuesta

funciona para u, pero el ejercicio original solicita en función de x. Por lo tanto: La integral resuelta se describe como: √𝑥 2 + 2 + 𝐶 b.

∫

𝑎+𝑙𝑛𝑥 𝑥

𝑑𝑥;

𝑢 = 𝑎 + 𝑙𝑛𝑥; ∫

𝑑𝑢 𝑑𝑥

1

= ; 𝑥

𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

(𝑎 + 𝑙𝑛𝑥)2 𝑢 𝑢2 +𝐶 +𝐶 = (𝑥𝑑𝑢) = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = 2 𝑥 2

2.2.2. Método de las fracciones parciales. _

Cuando se tiene una función fraccionada, donde su denominador es un polinomio diferente al numerador, pero cuya división deja un residuo, se recurre al uso de fracciones parciales. Ejemplo: a. ∫

3𝑥2 −𝑥+1 𝑥 3 −𝑥2

3𝑥2 −𝑥+1

𝑑𝑥 = ∫ 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) 𝑑𝑥

Donde,

3𝑥2 −𝑥+1

𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)

=

𝐴

𝑥

+

𝐵

𝑥−1

+

𝐶

= 𝑥+1

𝐴(𝑥 2 −1)+𝐵(𝑥 2 +𝑥)+𝐶 (𝑥 2 −𝑥) 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)

3𝑥 2 − 𝑥 + 1 = 𝐴𝑥 2 − 𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 2 − 𝐶𝑐

3𝑥 2 − 𝑥 + 1 = 𝑥 2 (𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ) + 𝑥(𝐵 − 𝐶 ) + (−𝐴) De lo cual, se obtienen las siguientes igualdades: 3 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶; 𝐵 = 𝐶 − 1;

−1 = 𝐵 − 𝐶 ; 1 = −𝐴

3 = (−1) + (𝐶 − 1) + 𝐶 = −2 + 2𝐶 5

2𝐶 = 5;

∫(−

𝐶 = 2;

𝐵=

3

2

1 3/2 5/2 3 5 + + )𝑑𝑥 = − ln(𝑥) + ln(𝑥 − 1) + ln(𝑥 + 1) + 𝐶 𝑥 𝑥−1 𝑥+1 2 2

2.2.3. Método de Integración por partes. _ Cuando se tiene una función a integra que resulta ser un producto de funciones, es factible la aplicación de la fórmula explicada en el punto “b” de la sección 2.1.3. La cual consiste en determinar lo siguiente:

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

(Suele usarse el acrónimo “Un día vi una vaca vestida de uniforme”, lo cual personalmente me ha ayudado en momentos donde he olvidado como proceder)

Su formulación consiste en la siguiente estructura: ∫[𝑓(𝑥 ) ∗ 𝑔(𝑥 )]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥 )𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) − ∫ 𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥)𝑑𝑥

Donde: 𝑓(𝑥) = 𝑢,

𝑑𝑣 = 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥

y:

En este método se sustituyen los factores que tienden a tornarse complejos de integrar, como por ejemplo la integral de un exponencial por un trigonométrico, es ahí donde se reemplazan las variables y se obtienen ciertos valores siguiendo el siguiente procedimiento: Ejemplo: a. ∫ 𝑒 2𝑥 cos(3𝑥) 𝑑𝑥;

∫ 𝑢𝑑𝑣 = cos(3𝑥) ∗

∫ 𝑒2𝑥 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥;

𝑑𝑢 𝑑𝑥

𝑢 = cos(3𝑥); 1

2

𝑑𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥;

𝑒

2𝑥

−∫

1

2

𝑒

2𝑥

= −3 sen(3𝑥) 1

𝑣 = 𝑒 2𝑥 2

∗ (−3𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥) =

𝑒2𝑥 cos(3𝑥) 2

3 + ∫ 𝑒2𝑥 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 2

En este caso se debe volver a integrar, para este caso: 𝑑𝑢 𝑑𝑥

𝑢 = sen(3𝑥);

𝑑𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥;

∫ 𝑢𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 2𝑥 cos(3𝑥) 𝑑𝑥 =

𝑒

2𝑥

= 3 cos(3𝑥) 1

𝑣 = 𝑒 2𝑥

sen(3𝑥) 2

2

−

3

2

∫ 𝑒2𝑥 𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑑𝑥

𝑒 2𝑥 cos(3𝑥) 3 𝑒 2𝑥 sen(3𝑥) 3 2𝑥 − ∫ 𝑒 𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑑𝑥] + [ 2 2 2 2

∫ 𝑒 2𝑥 cos(3𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 2𝑥 cos(3𝑥) 𝑑𝑥 +

𝑒 2𝑥 cos(3𝑥) 3𝑒 2𝑥 sen(3𝑥) 9 + − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑑𝑥 4 2 4

9 𝑒 2𝑥 cos(3𝑥) 3𝑒 2𝑥 sen(3𝑥) + ∫ 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑑𝑥 = 2 4 4

𝑒 2𝑥 cos(3𝑥) 3𝑒 2𝑥 sen(3𝑥) 13 + ∫ 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑑𝑥 = 2 4 4

∫ 𝑒2𝑥 𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑑𝑥 =

2𝑒2𝑥 cos(3𝑥) 13

+

3𝑒2𝑥 sen(3𝑥) 13...