CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PDF

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Lord Livin Barrera Bocanegra C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Un libro de aplicaciones orientado a las áreas de: C IENCIAS I NGENIERÍA E CONOMÍA A DMINISTRACIÓN N EGOCIOS M EDICINA LIMA - PERU 2013 Lord Livin Barrera Bocanegra [email protected] Universidad Cesar Vallejo...

Description

Lord Livin Barrera Bocanegra

C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Un libro de aplicaciones orientado a las áreas de: C IENCIAS I NGENIERÍA E CONOMÍA A DMINISTRACIÓN N EGOCIOS M EDICINA

LIMA - PERU 2013

Lord Livin Barrera Bocanegra [email protected] Universidad Cesar Vallejo Los Olivos Lima - Perú

Cálculo Diferencial e Integral de Funciones de una Variable c Lord Livin Barrera Bocanegra ⃝ Edición a cargo: Editorial San Marcos Lima, Enero de 2013 Primera edición Tiraje: 2000 ejemplares ISBN: 000-0000-00-000-0 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú: 2013-00000 Impreso en Perú Printed in Perú

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Este libro está sujeto a copyright y no puede ser reproducido parcial o totalmente sin el consentimiento por escrito del autor. El autor se reserva todos los derechos de publicación y elogia el buen uso de este material que ha sido sometido oficialmente.

A mis Padres

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Índice general Prefacio

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Introducción

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1. Funciones, Gráficas y sus Aplicaciones 1.1. El Concepto de Función y sus Operaciones . . . . . . . 1.1.1. ¿Qué es una Función? . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Gráficando Funciones . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Operaciones Aritméticas de Funciones . . . . . 1.1.4. Composición de Funciones . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Funciones Inyectivas y sus Inversas . . . . . . . 1.1.6. Funciones Crecientes y Decrecientes . . . . . . . 1.2. Funciones Elementales y sus Aplicaciones . . . . . . . . 1.2.1. Función Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Función Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Función Cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Funciones Polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Funciones Exponenciales y Logarítmicas . . . . . . . . . 1.3.1. ¿Qué es una Función Exponencial? . . . . . . . . 1.3.2. Interés Compuesto y Anualidades . . . . . . . . 1.3.3. La Función Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Escalas Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5. Modelos de Crecimiento y de Decaimiento . . . 1.4. Funciones Trigonométricas y sus Inversas . . . . . . . . 1.4.1. La Funciones Seno y Coseno . . . . . . . . . . . 1.4.2. Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante . . . 1.5. Algo Más Acerca de Funciones . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Transformaciones de la Gráfica de una Función 1.5.2. Simetrías y Otras Propiedades de Funciones . .

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ÍNDICE GENERAL

6 2. Límite de Funciones 2.1. Comprendiendo el Concepto de Límite 2.2. Propiedades de los Límites . . . . . . . . 2.3. Límite de Funciones Trigonométricas . . 2.4. Técnicas para Evaluar Límites . . . . . . 2.5. Límites Laterales . . . . . . . . . . . . . 2.6. Definición Rigurosa de Límite . . . . . . 3. Continuidad 3.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Discontinuidades . . . . . . . . . . . 3.3. Teorema del Valor Intermedio (TVI) 3.4. Límites que Involucran Infinitos . .

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4. La Derivada 4.1. Introducción y Motivación . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. El Concepto de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Propiedades de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Velocidad y Análisis Marginal . . . . . . . . . . . . . 4.5. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Motivación y Definición . . . . . . . . . . . . 4.5.2. Regla General de Potencias . . . . . . . . . . 4.5.3. Combinando con Funciones Trigonométricas 4.5.4. Combinando Funciones Exponenciales . . . 4.6. Derivación Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Diferenciación de Ecuaciones Implícitas . . . 4.6.2. Calculando Recta Tangente . . . . . . . . . . 4.6.3. Relacionando Razones de Cambio . . . . . .

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5. Aplicaciones de la Derivada 5.1. Aproximación Lineal y Aplicaciones . . . . . 5.2. Extremos Relativos . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Extremos Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Elasticidad de Demanda . . . . . . . . . . . . 5.6. Regla de L’Hopital y Formas Indeterminadas 5.7. Análisis de Funciones . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . 5.9. El Método de Newton-Raphson . . . . . . . .

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ÍNDICE GENERAL 6. Integración 6.1. La Antiderivada y la Integral Indefinida . . . . . . . 6.2. Técnicas de Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Técnica General de Potencia . . . . . . . . . . 6.2.2. Técnica de Sustitución . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. Técnica de Integración por Partes . . . . . . 6.2.4. Técnica de Fracciones Parciales . . . . . . . . 6.3. La Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Tasas Acumuladas . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Definición de Integral Definida . . . . . . . . 6.4. Evaluando Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Teorema Fundamental del Cálculo - Parte I . 6.4.2. Reglas de Integración . . . . . . . . . . . . . 6.4.3. Teorema Fundamental del Cálculo - Parte II

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7. Aplicaciones de la Integral Definida 7.1. Aplicaciones Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Área entre Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Longitud de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3. Área de Superficies de Revolución . . . . . . . . . . 7.1.4. Volumen de Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Aplicaciones en Ciencias Físicas . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Movimiento Rectilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3. Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4. Centro de Masa, Momento y el Teorema de Pappus 7.3. Aplicaciones en Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Valor Promedio de una Función . . . . . . . . . . . 7.3.2. Variables Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Aplicaciones a la Economía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Capacidad de Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Exceso de Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3. Capacidad de Producción . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4. Exceso de Producción . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.5. Equilibrio y Beneficio Social . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Integración Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. Una Revisión de Sumas de Riemann . . . . . . . . . 7.5.2. La Regla del Trapezoide . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3. La Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8. Proyectos de Matemática 631 8.1. Aplicaciones en Robótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 8.2. Colisión de Cometas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 8.3. Diseño de una Vía de Ferrocarril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 Bibliografía

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Índice Alfabético

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Prefacio E L CÁLCULO es una de las mayores conquistas del intelecto humano. Inspirados en problemas de astronomía, Newton y Leibniz desarrollaron las ideas del cálculo hace 300 años. Desde entonces, el cálculo ha sido una herramienta fundamental para resolver problemas en matemática, ciencias físicas, ingeniería; así como en ciencias sociales y biológicas.

Origen del texto: Un pedido urgente Mi interés en escribir este libro fue motivado por la necesidad de alcanzar al estudiante y al docente lo que se pide hoy en las universidades: me refiero a la matemática aplicada a los negocios, economía, administración, ciencias e ingeniería. El pedido radica en dos puntos: • Por el lado del estudiante: que le permita asimilar los conceptos de forma rápida y adquiera la suficiente habilidad para interpretar la matemática en situaciones reales; específicamente desde la carrera profesional que desarrolle. • Por el lado del docente: tener el material necesario de Cálculo de una Variable para llegar al alumno con la mejor pedagogía. Estoy seguro que hay buenos libros de Cálculo, pero algunos resultan poco claros para el lector; también estoy seguro que existen excelentes modelos matemáticos dispersos en interesantes textos cuyas explicaciones pueden cansar al lector. En este libro se evitan tales dificultades.

Presentación: Intuitiva y simple Aunque la palabra “intuitiva” tiene muchas interpretaciones, su uso aquí significa “basado en la experiencia y sin demostraciones”. Lo que hago aquí es presentar el cálculo con un enfoque atractivo y amigable, manteniendo un lenguaje bastante comprensible para que el estudiante no demore en su aprendizaje. En mi experiencia docente he notado que una buena forma de despertar el interés matemático en el estudiante es haciendo que la matemática tenga significado en su vida práctica y específicamente en su carrera profesional. Por esas razones decidí escribir un libro con una lectura amena y con bastantes ejemplos cuyas explicaciones son detalladas; también se presentan ilustraciones visuales que ayudarán a comprender mejor el desarrollo de cada aplicación.

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Prefacio

Orientación: Ciencias, ingeniería y negocios Los temas contenidos en este libro forman parte de un curso tradicional de cálculo de una variable, y está dirigido a estudiantes que cursan ciencias e ingeniería y especialmente para aquellos estudiantes involucrados en las carreras profesionales de negocios, administración y economía. Yo como matemático les digo que hay una necesidad urgente de aprender la matemática mediante este tratamiento moderno que interactúa con la vida cotidiana.

Contribución: Adaptación e imitación No soy un creador de todos los ejemplos que el lector podrá leer, lo que hice simplemente es imitar el estilo impuesto por matemáticos extranjeros, varios de ellos citados en la bibliografía. Debo destacar aquí mi especial predilección por las obras de Latorre [La], Harshbarger y Reynolds [Ha], Ron Larson [Lar], Soo Tan [Ta], Anton [An], Rogawski [Ro] y Hungerford [Hu]. Estos autores como los demás, enfatizan la matemática con elegancia y buen nivel. Lo que hice en este libro es incorporar el mismo tratamiento expuesto por estos autores haciéndolo más fácil y objetivo, manteniendo el enfoque práctico de los modelos matemáticos.

Contenidos El contenido de cada capítulo representa una visión moderna del cálculo. Su flexibilidad y suficiencia se acomoda a los requerimientos de un curso semestral de Cálculo de una Variable. Capítulo 1: Funciones, gráficas y sus aplicaciones. En este capítulo se introduce el concepto de función, su gráfica y sus operaciones. Para entender funciones de manera rápida no había modo de evitar comenzar con funciones elementales tales como: funciones lineales, polinómicas y racionales, con las que estamos familiarizados desde la escuela. A continuación se estudian funciones exponenciales y logarítmicas que como sabemos, una es inversa de la otra; entre algunas de sus aplicaciones aparecen los pronósticos de crecimiento y decrecimiento poblacional así como el cálculo de intereses compuestos. A continuación pasamos ligeramente por el estudio de funciones trigonométricas y sus inversas con la finalidad de aplicar en algunos modelos relacionados a ingeniería. Finalmente revisamos transformaciones de funciones que refuerzan la manipulación de las diversas gráficas de funciones elementales.

Prefacio

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Capítulo 2: Límite de Funciones. Matemática superior se basa en el concepto de límite y en este capítulo vemos su desarrollo. Aunque éste es uno de los conceptos más difíciles de la matemática, nuestra presentación deja de ser misteriosa. Desarrollamos propiedades de límites y algunas técnicas para evaluarlas. Varios modelos en física son tratados usando límites laterales y algunos modelos en negocios y economía se resuelven usando límites involucrando infinitos. Para no perder el rigor del concepto de límite, la última sección está dedicada a explicar su definición en términos de deltas y épsilon. Capítulo 3: Continuidad. Aquí vemos el concepto de continuidad como una consecuencia del concepto de límite. Su relevancia es fundamental en los problemas cotidianos y en este capítulo se modelan problemas de negocios, administración e ingeniería. Para ayudar a comprender mejor este concepto se hacen ilustraciones gráficas y nos apoyamos en propiedades vistas en el capítulo 2. Capítulo 4: la Derivada. En este capítulo, nuestro desarrollo de los temas se enriquece exponencialmente. Cada vez que hablamos de derivadas queremos decir “razón de cambio”, y las razones de cambio aparecen en todas partes, incluso cuando el lector lee esta línea ¿cómo? La razón de cambio motivó a Newton y Leibniz a fundamentar el cálculo, y este es el eje central en toda la matemática. En este capítulo se estudia con detalle todas las propiedades de derivadas, haciendo gran énfasis en la regla de la cadena y en derivación implícita. Muchas aplicaciones relacionadas a los negocios, economía e ingeniería son vistas con base en datos reales, explicando línea por línea; además se plantea una gran variedad de ejercicios que en su mayoría el lector no tendrá dificultad para resolverlos, aunque algunos de ellos pueden reducirse a cálculos formales simples.

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Prefacio

Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada. Ya habíamos dicho en el capítulo anterior que las derivadas proveen gran cantidad de material, y aquí lo que hacemos es continuarlo. En este capítulo se hace especial énfasis en aproximaciones lineales y optimización. En situaciones relacionadas ha empresas, el problema de maximizar o minimizar recursos es indispensable y aquí se resuelven tales problemas. Aquí también se describe de manera ligera el comportamiento geométrico de curvas mediante el uso de la primera y la segunda derivada, y los conceptos comunes en esta parte son la concavidad, punto crítico y punto de inflexión. Esto último proporciona al estudiante algunas técnicas de optimización que podrá revisarlo con más amplitud en un curso de matemática II. Capítulo 6: Integración. Aunque la idea de integral es más antigua que la idea de derivada, tradicionalmente es estudiado en el orden de este libro. Integrar es el proceso inverso a derivar, o sea, hallar la función que originó la derivada, y nuestro entrenamiento en derivadas nos facilita este trabajo. En este capítulo se desarrollan técnicas de integración, que son procedimientos similares a los que aparecen en el capítulo de derivadas. Inicialmente se presenta a la integral indefinidas y se estudian algunas de sus propiedades, luego se usan aproximaciones del cálculo de área para conseguir definir integral definida. Finalmente, haciendo uso del teorema fundamental del cálculo se estudian integrales definidas aplicándolos a modelos matemáticos concretos. Capítulo 7: Aplicaciones de Integración. Aquí nos dedicamos a las aplicaciones en economía y negocios. Se estudian algunas aplicaciones de oferta y demanda como: gasto de consumo, capacidad para gastar, exceso de consumo, equilibrio, producción, exceso de producción y beneficio social total. Para facilitar nuestra comprensión nos apoyamos en los conceptos vistos en el capítulo 1 y en las propiedades de derivadas. Una gran variedad de

Prefacio

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ejemplos pueden verse con soluciones simples. También se desarrollan valores promedios de funciones de producción y costos, interpretándolos en términos de áreas de regiones planas. Capítulo 8: Proyectos de matemática. Finalizamos el libro con el llamado “horizonte matemático”. En este capítulo se presentan algunos proyectos interesantes tales como: Aplicaciones a la Robótica, Colisión de Cometas y Diseño de la Vía de un Ferrocarril. En estos tópicos volcamos nuestra experiencia en matemática I. Cada material está diseñado de modo que el alumno debe resolver los ejercicios sugeridos para completar la solución del proyecto. Una visión para estos proyectos es presentarlo computacionalmente. Debo reconocer que en este capítulo he sido influenciado por la obra de Anton [An] que con magnífica pedagogía explica cada proyecto.

Agradecimientos Me siento en deuda con las personas que colaboraron por ayudarme a hacer posible la edición de esta obra, de todos ellos me he nutrido con un poco de sus conocimientos: a la Ing. Veronica Tello Mendivil por su asesoría en química; a mi amigo el físico Arturo Dávila Obando por compartir conmigo algunas discusiones de física matemática; a mi colega el economista Dante Pino Archondo por sus interpretaciones técnicas de los diversos modelos económicos; a mi amigo el maestro Denis Morales Saavedra por sugerirme una mejor presentación didáctica del libro; al matemático Carlos Deudor Gómez por proporcionarme algunas fuentes bibliográficas; al maestro José Vallejos Decheco por sus correcciones a la redacción; a mis alumnos de ingeniería industrial: Jorge Villanueva Espejo y Hober Rivera Gonzales por sus desarrollos del proyecto sobre Aplicaciones en Robótica; a mis alumnos de ingeniería ...