CALCULO INTEGRAL PDF

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EXPLICACIÓN DE CASOS, SUMAS DE RIEMANN....

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SUMA DE RIEMANN. En matemáticas, la suma de Riemann sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann. La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

-Definición. Consideremos lo siguiente:  una función donde D es un subconjunto de los números reales  I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.  Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b Crean una partición de I P = {[x0, x1), [x1, x2),... [xn-1, xn]} Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

Donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria. Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda. Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

INTEGRAL DEFINIDA.

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por ∫ es el signo de integración. a límite inferior de la integración. b límite superior de la integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x , e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la i ntegral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero .

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

INTEGRAL INDEFINIDA.

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x) , busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x) ; dicho de otro modo las primitivas de f(x ) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x). Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x) Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx . Se lee : integral de f de x diferencial de x . ∫ es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida 1. La i ntegral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx 2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Integración de Funciones Exponenciales: Reglas

NOTACION SIGMA.

El operando matemático que nos permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos está expresado con la letra griega sigma

(sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:

Esto se lee: Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i. La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

Si queremos expresar la suma de los cinco primeros números naturales podemos hacerlo de esta forma:

INTEGRACION POR PARTES.

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u . Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v' ....