ACTIVIDAD 6 CALCULO INTEGRAL PDF

Preview

Summary

Actividades de la materia de calculo ejercicios resueltos con procedimiento...

Description

Con base en el material consultado en la unidad resuelve el siguiente ejercicio que se plantea a continuación acerca de los siguientes temas: ➢ La integral indefinida Calcular las siguientes integrales aplicando el método de sustitución: 1. ∫ √(5𝑥 + 3)𝑑𝑥 =

2 (5𝑥 15

+ 3)3/2 + 𝐶

1

Sea 𝑢 = 5𝑥 + 3, entonces 𝑑𝑢 = 5(1) + (0)𝑑𝑥 = 5𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 = 5 𝑑𝑢. Entonces, sustituyendo:

∫ √(5𝑥 + 3)𝑑𝑥 = ∫ √𝑢 ( Luego, sabemos que ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =

𝑥 𝑛+1 𝑛+1

1 1 1 ) 𝑑𝑢 = ∫ √𝑢𝑑𝑢 = ∫ 𝑢1/2 𝑑𝑢 5 5 5

+ 𝐶, de modo que

1 1 𝑢3/2 1 2𝑢 3/2 2𝑢3/2 1 1/2 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = ( )+𝐶 = ( )+𝐶 = ( )+𝐶 = +𝐶 5 5 1/2 + 1 5 3/2 5 3 15 𝑢1/2+1

Sustituyendo de nuevo

2(5𝑥 + 3)3/2 2𝑢 3/2 +𝐶 = + 𝐶. 15 15

Por tanto ∫ √(5𝑥 + 3)𝑑𝑥 =

𝑑𝑥

2 (5𝑥 + 3)3/2 + 𝐶 15

1

2. ∫ 4𝑥−10 = 4 𝑙𝑛(4𝑥 − 10) + 𝐶

1

Sea 𝑢 = 4𝑥 − 10, entonces 𝑑𝑢 = 4(1) − (0)𝑑𝑥 = 4𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢. Entonces, 4 sustituyendo:

∫

1 1 1 1 1 𝑑𝑥 =∫ 𝑑𝑥 = ∫ ( ) ( ) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑢 4𝑥 − 10 4𝑥 − 10 𝑢 4 4 𝑢 1

Luego, sabemos que ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥) + 𝐶, de modo que

1 Sustituyendo de nuevo

1 1 𝑙𝑛(𝑢) + 𝐶 𝑑𝑢 = 4 4 𝑢

1 1 𝑙𝑛(𝑢) + 𝐶 = 𝑙𝑛|(4𝑥 − 10)| + 𝐶. 4 4

Por tanto ∫ 3. ∫ 𝑒 3𝑥 (𝑒 3𝑥 − 8)5 𝑑𝑥 =

∫

1 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|4𝑥 − 10| + 𝐶 4𝑥 − 10 4

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑢 = (𝑒 3𝑥 − 8)5

∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∗ 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 (𝑢)𝑑𝑢 , 𝑢 = 𝑔(𝑥)

𝑑𝑢 = 3𝑒 3𝑥 𝑑𝑥

,

𝑑 𝑑 3𝑥 𝑑 ( 𝑒 3𝑥 − 8) ∶ 𝑒 = 𝑒 3𝑥 ∗ 3 , 8=0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

= 𝑒 3𝑥 ∗ 3 − 0 = 3𝑒 3𝑥 1 → 𝑑𝑢 = 3𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥 𝑑𝑢 3𝑒 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 1 𝑢5 ∫ 𝑒 3𝑥 𝑢5 ∶ 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶ 3𝑒 3𝑥 3 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑢5 1 ∫ 𝑑𝑢 : = ∫ 𝑢 5 𝑑𝑢 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 3 3 1 𝑢5+1 ∫ 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑢 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 3 5+1

1 (𝑒 3𝑥 − 8)6 1 3𝑥 ∗ (𝑒 − 8)6 + 𝐶 ∶ 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 = 3 18 6

4. ∫ 𝑠𝑒𝑛(5𝑥 − 2)𝑑𝑥 = 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑢 = 5𝑥 − 2 𝑦

𝑑𝑢

1

= 5 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑥 = 5 𝑑𝑢 1 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 5 1 1 𝑆𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢 5 5 𝑑𝑥

1 cos(5𝑥 − 2) + 𝐶 = (− cos(𝑢)) 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑢 𝑦 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 = − 1 5 5 3𝑥

5. ∫ tan ( ) 𝑑𝑥= 2

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑢 = = ∫ tan(𝑢)

3𝑥 3 2 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 3 2 2

2 𝑑𝑢 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 3 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 2 𝑑𝑢 ∗∫ cos (𝑢) 3

𝑁𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑣 = cos(𝑢) 𝑦 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑣 𝑑 (cos(𝑢) = −𝑠𝑒𝑛(𝑢) = −𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢 1 ) 𝑑𝑣 𝑑𝑢 = (− 𝑠𝑒𝑛(𝑢) ∫

1 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑑𝑣 (− 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑣

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ∫ −

1

𝑣

𝑑𝑣

2 1 (− ∫ 𝑑𝑣) 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3 𝑣 2 = (− ln|𝑣| ) 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑣 3 2 3𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 (− ln|cos(𝑢)|) 𝑢 = 2 3 =

3𝑥 2 − (ln |cos ( )|) + 𝐶 3 2

6. ∫ 3

3𝑥

√𝑡 2 +3

𝑑𝑥 =

𝐸𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑑𝑥 3

∗ ∫ 𝑥 𝑑𝑥 √𝑡 2 + 3 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑦 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 =

3

3

3 √𝑡 2

+3∗

𝑥1+1

1+1

=

𝑥 +𝐶 3 +3∗ 2 2

3 √𝑡 2

7. ∫ cos(2𝑥 − 6) 𝑑𝑥 = 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑢 = 2𝑥 − 6

= ∫ cos(𝑢)

𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 , 𝑑𝑥 =

1 𝑑𝑢 2

1 𝑑𝑢 2

𝑑𝑢 =2 𝑑𝑥

1 ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 2 1 1 = 2 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑢 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 6) + 𝐶 𝑆𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 =

2

4𝑥𝑑𝑥

8. ∫ (2𝑥 2+5)4 =

𝑥 𝑆𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 4 ∗ ∫ (2𝑥 2 + 5)4 𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 = 4𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 4𝑥 1 𝑥 = ∫ 4 ∗ 𝑑𝑢 𝑢 4𝑥 1 𝑑𝑢 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 = 4 ∫ 4𝑢 4

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑢 = 2𝑥 2 + 5 1 ∫ 𝑢 −4 𝑑𝑢 4 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 1 𝑢−4+1 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑢 4∗ ∗ 4 −4 + 1 4∗

(2𝑥 2 + 5)−3 1 (2𝑥 2 + 5)−4+1 = − = 4∗ ∗ −4 + 1 4 3

1 1 = (2𝑥 2 + 5)−3 (2𝑥 2 + 5)3 ∗ 3 3 1 +𝐶 = − 3((2𝑥 2 + 5)3

𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 =

9. ∫ √𝑚 + 𝑛𝑦 𝑑𝑥 = 𝐴𝑞𝑢𝑖 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 ∫ 𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥

Por lo tanto tenemos lo siguientes

6𝑥𝑑𝑥

10. ∫ 2 (3𝑥 6∗∫

u= 3𝑥 2 − 4

−4)2

=

𝑥

= √𝑚 + 𝑛𝑦 ∗ 𝑥 + 𝐶

𝑆𝑎𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑥 = Aplicamos la sustitución 2

(3𝑥 2 −4) 𝑑𝑢

𝑑𝑥

= 6𝑥 ∫

𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎

1 1 𝑥 ∗ 𝑑𝑢 = 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 6 ∫ 𝑑𝑢 2 𝑢 6𝑥 6𝑢 2

1 1 𝑢−2+1 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 6 ∗ ∫ 𝑢 −2 𝑑𝑢 = 6 ∗ ∗ 6 6 −2 + 1

1

6∗6∗

−2+1

(3𝑥2 −4)

−2+1

1

∶ − 3𝑥 2 −4 + 𝐶

𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑢...