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Calculo Integral - Antiderivada Nostas y apuntes universidad de pamplona...

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ANTIDERIVADA

INTRODUCCIÓN Un físico que conoce la velocidad de una partícula podría desear conocer su posición en un instante dado. Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual se fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo. Un biólogo que conoce la razón a la que crece una población de bacterias puede interesarse en deducir el tamaño de la población en algún momento futuro. En cada caso, el problema es hallar una función cuya derivada sea una función conocida. Si existe tal función F, se le denomina una antiderivada de f. COMPETENCIAS  Encuentra mediante el proceso de derivación, antiderivadas generales para una función específica.  Resuelve problemas de valor inicial.  Aplica la noción de antiderivada en la solución de situaciones problemas. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: La pregunta aquí es: ¿cómo encontrar F(x) a partir de f(x)? Por ejemplo; suponga que se le pide hallar una función F que tiene la siguiente

derivada: F´( x)  4 x 3 . A partir del conocimiento de las derivadas, probablemente se diría que d F ( x )  x 4 , ya que ( x 4 )  4x 3 . Llamamos a la dx función F una antiderivada de F´.

Otras

antiderivadas de F´( x)  4 x 3 son: G( x)  x 4  5 y H ( x)  x4  36 . Como se puede observar que si

F(x) es una antiderivada de f(x), cualquier otra antiderivada es de la forma F(x) + C. Esta función se llama antiderivada general (cada valor de C nos da una antiderivada). (1)¿En que consiste el proceso de antiderivación? Teorema. Si F es una antiderivada o primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y solo si es de la forma: G(x)= F(x) +C , para todo x en I donde C es una constante arbitraria.  Notación para antiderivadas o primitivas

Si y = F(x) es una antiderivada de f, entonces se dice que F(x) es una solución de la ecuación dy  f (x ) . Cuando se diferencial de la forma dx resuelve una ecuación de este tipo, es conveniente escribir en la forma diferencial correspondiente dy= f(x) dx. La operación de encontrar todas las soluciones de esta ecuación se denomina integración, y se denota por el símbolo ∫. La solución a la ecuación dy= f(x) dx se denota por y = ∫f(x)dx = F(x) + C de donde f(x) es el integrando, dx indica la variable de integración y C es una constante. Llamamos a la ∫f(x)dx la integral indefinida de f respecto de x. (2) Realice un esquema donde señale los elementos que conforman la integración. Definición. La notación ∫f(x)dx = F(x) + C donde C es una constante arbitraria, significa que es una primitiva de f. Esto es, F′(x) = f(x) para todo x en el dominio de f. F(x) + C representa una familia de funciones (para cada uno de los valores de C se tiene una función de esta familia); dicha familia de antiderivadas es llamada la integral indefinida de la función f (x) y se denota con el símbolo ∫ f (x)dx, o sea ∫ f (x)dx = F(x) + C donde F '(x) = f(x)  Reglas básicas de integración La naturaleza inversa de la integración y la derivación se refleja en el hecho de que mediante la sustitución de F′(x) por f(x) en esta definición obtenemos: ∫F´(x)dx = F(x) + C “inversa”

La integración es la de la derivación

Además si, ∫f(x)dx = F(x) + C entonces:

d  f ( x)dx   f ( x ) dx

La derivación es la

“inversa” de la integración Estas dos ecuaciones permiten obtener directamente fórmulas de integración a partir de

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fórmulas de derivación, como se muestra en el siguiente resumen:

xa 1 ln es una x a 2a

f ( x) 

C. Compruebo que

antiderivada de f ( x ) 

1 2

a  x2 D. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) está dada por 2x – 1. Si f(0)=1 halle la función f(x). E. Encuentre la antiderivada más general de la función dada:

1. 𝑓(𝑥) = 9𝑥2 − 4𝑥 + 3 2. 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 8𝑥 + 1 3. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥 2 + 3𝑥 − 7 4. 𝑓(𝑥) = 10𝑥 4 − 6𝑥 3 + 5

5. 𝑓(𝑥) =

6. 𝑓(𝑥) =

1

𝑥3 4

𝑥7

−

−

3

𝑥2 7 𝑥4

7. 𝑓(𝑥) = 3√𝑥 + 1

+𝑥 1

√𝑥

8. 𝑓(𝑥) = √𝑥3 − 2 𝑥 −2 + 5 9. 𝑓(𝑥) = 10. 𝑓(𝑥) = ACTIVIDAD A. Llevar a clase las formulas básicas de integración. B. Completar la siguiente tabla Integral Reescribir Integrar Simplificar original

F.

11. 𝑓(𝑥) =

6

3

−

√𝑥 3𝑥5

3

√𝑥 6

−𝑥

5 2𝑥 ⁄4

+7

5⁄ 3

+ 6𝑥

1⁄ 4

+ 3𝑥 −4

Determinar si el enunciado es falso o verdadero. Si es falso, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo demuestre. 12. Cada antiderivada o primitiva de una función polinómica de n grado es una función polinómica de grado (n+1) 13. La antiderivada o primitiva de f(x) es única. 14. Si f´(x) = g(x) entonces ∫g(x) dx = f(x) + c.

G. Evaluar las siguientes integrales indefinidas y comprobar el resultado por derivación

15. ∫(𝑥 2 + 2)𝑑𝑥

3

16. ∫(𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥

17. 18.

3 ∫ (𝑥 ⁄2

1 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 1 ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥

23. ∫(√𝑥 4 + 1)𝑑𝑥 1 24. ∫ (√𝑥 + 2 𝑥) 𝑑𝑥

+ 2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 25.

19. 20. ∫ 𝑑𝑥 21. ∫ 3. 𝑑𝑡 3 22. ∫ √𝑥 2𝑑𝑥

𝑥 2 +1 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 +𝑥+1

26. ∫

√𝑥

√

𝑑𝑥

27.∫(𝑥 + 1)(3𝑥 − 2)𝑑𝑥 28. ∫(2𝑡 − 1)2 𝑑𝑡 29. ∫ 𝑦 2 √𝑦. 𝑑𝑦 30.∫(1 + 3𝑡). 𝑡 2 𝑑𝑡

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ECUACIONES DIFERENCIALES. Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales Las ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O), se caracterizan por poseer en su estructura, derivadas ordinarias de la variable dependiente. Diferenciales. Si es la derivada de la función nueva función:

, a partir de esta podemos construir una (A)

donde

representa cualquier número arbitrario diferente de cero.

A esta nueva función le llamaremos función diferencial de Ejemplos: 1. La función diferencial de

es:

2. La función diferencial de 3. La función diferencial de

es : es:

4. La función diferencial de

es:

Pero si en esta última función diferencial sustituimos

por su valor, tendremos:

de manera que (A) podría expresarse también así: (B) o también así: , si por lo tanto los diferenciales de los ejemplos anotados líneas arriba quedarían finalmente así: 1.

La función diferencial de

es:

2. 3.

La función diferencial de La función diferencial de

es : es:

4.

La función diferencial de

es:

En general, (C) donde, si

, entonces

o también

y por lo tanto (C)

puede también escribirse de la siguiente manera: Ejemplos:

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1. Si ;

, entonces

(haciendo

, con

y aplicando ( C ) )

2. Si , 3. Si

, entonces

(haciendo

, con

y aplicando (C) ) , entonces

(haciendo

, con

;

y aplicando ( C ) ) ACTIVIDAD: (1). Escriba una ecuación diferencial que sea un modelo matemático de la situación descrita. a. La tasa de cambio de una población P con respecto al tiempo t es proporcional a la raíz cuadrada de P. b. La tasa de cambio con respeto al tiempo de la velocidad de un bote costero de motor es proporcional al cuadrado de v. c. En una ciudad que tiene una población fija de P personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo del número N de personas que han oído un cierto rumor es proporcional al número de las que todavía no lo han oído. d. En una ciudad que tiene una población fija de P personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo del número N de personas que han contraído cierta enfermedad es proporcional al producto del número de personas enfermas y el número de las que no lo están. Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado: ORDEN 1: Y´=2x ORDEN 2: D²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0 ORDEN 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex ORDEN 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx Resolver una E.D.O., consiste en aplicar un conjunto de técnicas que permitan obtener, a partir de una ecuación diferencial, una expresión matemática que no presente derivadas; sino que exhiba una relación entre las variables mencionadas. Existen muchos métodos para resolver E.D.O, entre los métodos se encuentra: dy M(x).N(y) dx

Ecuaciones con Variables Separables: Son ecuaciones de la forma: Las cuales se puede resolver así:  Separar las variables. Esto significa que los términos relativos a la variable dependiente queden a un lado de la igualdad y en el otro los que representan a la otra variable. Por tanto:

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dy  M(x)dx N(y)

 Integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos de integración. Ejemplos 1.

La velocidad se expresa como

antiderivada: dy  v.dt entonces

 dv   a.dt

esto es: v 

dt

v

para calcular a y

se aplica la

dy  v.dt luego : y =  v.dt

La aceleración en pies/seg2 se expresa como:

dv la aceleración, luego a dt

dy

a = 32 y la velocidad es la antiderivada de

si despejamos a dv podemos obtener la velocidad:

 a.dt

Ejemplo 2. Un auto se mueve con velocidad constante de 40 m/s. ¿Cuál es la posición s(t) para un tiempo t, si en t=1 segundo el auto se hallaba en s= 10m? Solución. Se debe encontrar una ecuación para s(t) a partir del hecho d que v(t) =40; como ds ds  40 v(t )  , tenemos: dt dt Si se sabe que la derivada de s(t) es 40, ¿cuál será entonces s(t)? A partir de la derivada se aplica la fórmula (2) para obtener que la antiderivada general es s(t) = 40t + C (la cual se puede verificar derivando s(t) deducir que s(t)´= 40)¿Cómo se sabe el valor de c? La información adicional s(1) = 10 significa que en el tiempo 1 segundo la posición era 10 m, es decir: 10 = 40(1) + C, de donde c= -30. Por lo tanto s(t) = 40t – 30 Siempre que se tiene una condición inicial como el ejemplo anterior, es posible determinar una antiderivada particular. dy  f (x ) con y0 = f(x0), se llama problema de valor inicial y consiste en La ecuación dx encontrar y = f(x) que satisfaga las condiciones dadas. Ejemplo 3. La aceleración de dv / dt de cierto automóvil deportivo es proporcional a la diferencia entre 250 km/h y la velocidad del automóvil. Solución.

dv  k.(250  v) dt

Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en un intervalo. Por ejemplo, la ecuación diferencial Y´ = 6x 2 – 5 Tiene solución (x) = 2x3 - 5x + C

F

Para todo real C, porque al sustituir y por f(x) se llega a la identidad 6x 2 - 5 = 6x 2 - 5. Se dice que f(x) = 2x 3 - 5x + C es la solución general de y´= 6x 2 - 5 porque todas las soluciones son de esta forma. Se obtiene una solución particular asignando valores específicos a C. Por ejemplo, tomando C = 0 se obtiene la solución particular y = 2x3 – 5x. A veces se dan condiciones iniciales para determinar una solución particular, como se ilustra en el siguiente ejemplo

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Para la ecuación diferencial f´(x) = 2x -1, se le determina la solución general la cual es f(x) = x2 –x +C, la cual C puede ser cualquier constante, lo que significa que tiene infinitas soluciones, pero si se estipula que la función f(x) debe cumplir la condición f(1) = 3, o en forma equivalente que la grafica de f debe pasar por el punto (1,3). Entonces, usando la condición sobre la solución general f(x)=x2–x +C, vemos que: f(1) =(1)2 –(1) +C = 3 Por lo anterior C = 3. Así la solución particular es: f(x) = x2 –x +3 La condición f(1) = 3 es un ejemplo de condición inicial. En general, una condición inicial es una condición impuesta sobre el valor de f en un punto x=a. ACTIVIDAD: 1. Determinar la función f si se sabe que f´(x) = 3x2 – 4x +8 y f(1) = 9 2. La circulación actual de la revista Señales es de 3000 ejemplares por semana. Se espera que la circulación aumente a razón de 4+5t(2/3) ejemplares por semana, t semanas a partir de hoy, durante los próximos tres años. Con base en esta proyección, ¿cuál será la circulación de la revista dentro de 125 semanas? 3. Un fabricante sabe que el costo marginal correspondiente a la producción de x unidades de cierto componente de una fotocopiadora está dado por 30 – 0.02x. Si el costo de producir una unidad es de US $35 dólares. ¿Cuál será el costo de producir 100 unidades? 4. Se arroja hacia arriba una pelota, con velocidad de 48 pies/s desde el borde de un acantilado a 432 pies sobre el fondo. Calcule su altura sobre el fondo a los t segundos después. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? ¿Cuándo llega al fondo? 5. Una moneda se deja caer desde un edificio y toca el suelo en 6 segundos. ¿Cuál es la altura del edificio?

6. Un objeto, en caída libre, se mueve con aceleración -9.8 m/s2. 7. Encuentre una ecuación para la velocidad suponiendo que v(0)=0. 8. A partir de la ecuación para v(t) encuentre la ecuación de s(t), suponiendo que el objeto cae desde una altura de 10 m (s(0)=10). 9. Una partícula, o punto material, se mueve en línea recta y su aceleración está expresada por a(t) = 6.t + 4. Su velocidad inicial es v(0) = -6cm/s y su desplazamiento inicial s(0) = 9cm. Determine su función de posición, s(t). 10. Un balón se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 64 pies por segundo, desde una cima ubicada a 96 pies de altura. a) ¿A qué altura se encuentra el balón a los t segundos? b) ¿En qué instante alcanza su altura máxima? c) ¿A qué altura del suelo sube el balón? d) ¿En qué instante toca el balón el suelo?

11. Una lancha de motor se aleja del muelle a lo largo de una línea recta con una aceleración al tiempo t dada por a(t) = 12t – 4 pies/seg2. En el tiempo t = 0 la lancha tenía una velocidad de 8 pies/s y se encontraba a 15 pies del muelle. Calcular la distancia S(t) al embarcadero al cabo de t segundos.

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