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Series de potencias Las series de potencias aproximan a su función suma. Es decir, la suma parcial de orden n, que no es más que un polinomio de grado n a lo sumo, representa una aproximación a la función suma en su dominio de convergencia. En la siguiente figura, Fig. 4.1, puede verse la función f(x) = e x junto con algunas aproximaciones mediante sumas parciales de su serie de potencias. La serie de potencias ∑n=0∞anxn es una serie infinita y luce como una función de x. Una manera fácil de ilustrar la idea de una serie de potencias que representa una función es usar una serie geométrica como ejemplo.

Una expresión de la forma ∑n=0∞an(x−a)n recibe el nombre de serie de potencias centrada en el punto a. Si escribimos f(x)=∑n=0∞an(x−a)n el dominio de esta función f(x) es el conjunto de valores de x donde la serie converge y el valor de f(x) es precisamente la suma de la serie. Toda serie de potencias converge en el punto a,

f(a)=∑n=0∞an(a−a)n=a0 Existen muchas funciones que pueden ser representadas por series de potencias Series de Potencias

Intervalo de Convergencia

sinx=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!=x−x33!+x55!−x77!+⋯

(−∞,∞)

cosx=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!=1−x22!+x44!−x66!+⋯

(−∞,∞)

ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+⋯

(−∞,∞)

ln(1+x)=∑n=0∞(−1)nxn+1n+1=x−x22+x33−x44+⋯

(−1,1]

arcsinx=sin−1x=∑n=0∞(2n)!x2n+122n(n!)2(2n+1)

[−1,1]

arctanx=tan−1x=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1

(−1,1)

sinhx=∑n=0∞x2n+1(2n+1)!

(−∞,∞)

coshx=∑n=0∞x2n(2n)!

(−∞,∞)

Radio de convergencia Una serie de potencias en torno al punto x0 es una expresión de la forma

donde x es una variable y los coeficientes an son constantes. Se dice que (C.1) converge en el punto x = r si la serie infinita (de números reales) converge; esto es, el límite de las sumas parciales

existe (como numero finito). Si este límite no existe, se dice que la serie de potencias diverge en x = r. Obsérvese que converge en x = x0 ya que

Serie de Taylor En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además, el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación Una función f (x) puede ser expresada como una expansión en serie de potencias alrededor de un punto x=x0 (llamado centro) mediante la serie infinita denominada serie de Taylor:

Las funciones que se pueden expresar mediante una serie de Taylor se denominan “funciones regulares”. La serie de Taylor también se puede expresar de manera compacta como una sumatoria:

Cuando se toma como centro x0 = 0, se obtiene un caso especial que se conoce como serie de Maclaurin:

Para una función de dos variables, la serie de Taylor (hasta los términos de primer grado) es:

Representación de funciones mediante la serie de Taylor Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor Función exponencial y logaritmo natural

Serie geométrica

Funciones trigonométricas

Teorema del binomio

Fuentes Tecnológico de Monterrey. (s. f.). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Serie de Taylor. Recuperado 10 de junio de 2020, de http://cb.mty.itesm.mx/ma3002/materiales/ma3002-serie-taylor.pdf Unican. (s. f.). Series de potencias: Definiciones. Recuperado 10 de junio de 2020, de https://www.giematic.unican.es/index.php/series/seriespot/seriespot-defbas Repositori UJI. (s. f.). Series de Potencias. Recuperado 10 de junio de 2020, de http://repositori.uji.es/xmlui/bitstream/handle/10234/7213/seriespot0910.pdf CK-12. (s. f.). Series de Potencias: Representación de Funciones y Operaciones. Recuperado 10 de junio de 2020, de https://www.ck12.org/book/ck-12-conceptosde-cálculo-en-español/section/9.14/http://tecno.cruzfierro.com/formularios/seriestaylor.pdf Representación De Funciones Mediante La Serie De Taylor. (2012, 2 diciembre). Recuperado 10 de junio de 2020, de http://representacion-funciones-serietaylor.blogspot.com civil-tec-tepic. (s. f.). Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor. Recuperado 10 de junio de 2020, de https://civil-tec-tepic.es.tl/C%E1lculode-Integrales-de-funciones-expresadas-como-serie-de-Taylor.htm Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie. (s. f.). Recuperado 10 de junio de 2020, de https://prezi.com/csj9-zwrq3ka/47-calculo-de-integrales-defunciones-expresadas-como-serie/...