Calculo integral - Libro PDF

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Unidad 1 Teorema fundamental del calculo. 1.1 Medicion aproximada de figuras amorfas. 1.2 Notacion sumatoria. 1.3 Sumas de Riemann. 1.4 Definicion de integral definida. 1.5 Teorema de existencia. 1.6 Propiedades de la integral definida. 1.7 Funcion primitiva. 1.8 Teorema fundamental del cálculo. 1.9 Calculo de integrales definidas. 1.10 Integrales Impropias. Unidad 2 Integral indefinida y metodos de integracion. 2.1 Definicion de integral indefinida. 2.2 Propiedades de integrales indefinidas. 2.3 Calculo de integrales indefinidas. 2.3.1 integrales indefinidas Directas. 2.3.2 integrales indefinidas Con cambio de variable. 2.3.3 integrales indefinidas Trigonometricas. 2.3.4 integrales indefinidas Por partes. 2.3.5 integrales indefinidas Por sustitucion trigonometrica. 2.3.6 integrales indefinidas Por fracciones parciales. Unidad 3 Aplicaciones de la integral. 3.1 Areas.

3.1.1 Area bajo la grafica de una funcion. 3.1.2 Area entre las graficas de funciones. 3.2 Longitud de curvas. 3.3 Calculo de volumenes de solidos de revolucion. 3.4 Calculo de centroides. 3.5 Otras aplicaciones. Unidad 4 Series. 4.1 Definicion de serie. 4.1.1 serie Finita. 4.1.2 serie Infinita. 4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de DAlembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy). 4.3 Serie de potencias. 4.4 Radio de convergencia. 4.5 Serie de Taylor. 4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor. 4.7 Calculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.

Medida Aproximada de Figuras Amorfas Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado. Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimar esta área. La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante. Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada. Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b. El gráfico de la función se muestra a continuación,

Para estimar el área de tal figura, considere que el área bajo la curva está compuesto por un gran número de delgadas tiras verticales. Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dx para la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x) El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona limitada.

Esto produce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola. 2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a continuación,

Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dypara la altura y xpara la longitud. El área de esta tira elemental sería, dA = x dy donde x = g(y) El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = x dy = g(y) dy 3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo. Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración, entonces A = | f(x) dx| 4 Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encima del eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b serán, A = |A1| + A2

Tomemos ahora un ejemplo para entender la solución de tales problemas, Encuentre el área de la región limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x = 4 y por el eje x. La curva y2 = x es una parábola con su vértice en el origen. El eje de x es la línea de simetría la cual es el eje de la parábola. El gráfico de la función dada sería,

El área de la región limitada es, A = y dx = dx = 2/3 [x3/2]14 = 2/3 [43/2 – 13/2] = 2/3 [8 – 1] = 14/3

Notación Sumatoria En muchas ocasiones las operaciones matemáticas requieren la adición de una serie de números para generar la suma total de todos los números de la serie. En tal escenario se hace difícil escribir la expresión que representa este tipo de operación. El problema empeora a medida que incrementan los números en la serie. Una solución es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos suspensivos y finalmente los últimos números de la serie, como se muestra a continuación,

Esta expresión representa una operación que incluye lasuma de los primeros cien números naturales. En esta expresión hemos usadolos puntos suspensivos, los tres puntos en la sucesión, para simbolizar la ausencia de números en la serie. Una solución aún mejor es hacer uso del símbolo sumatorio o sigma. Este es un tipo de técnica abreviada que ofrece una alternativa más conveniente para representar la operación sumatoria. Puede ser representada de la siguiente manera,

Aquí se representa la variable o los términos en la serie. El operador sigma es un símbolo de la Grecia antigua, donde fue utilizado como letra mayúscula del alfabeto S. Una representación típica de la operación sumatoria n utilizando el símbolo sumatorio se representa,

La variable que aparece en la parte derecha del símbolo es el “Elemento Típico”, el cual será sumado con la operación sumatoria. Siempre existe un límite inferior y un límite superior de la operación los cuales están representados por debajo y por encima del símbolo sumatorio. La variable, representando el límite de la operación, se escribe debajo del símbolo sumatorio hacia la izquierda del límite inferior. El límite de la operación se inicia a partir del valor hacia el lado derecho del índice de la variable y termina en el valor escrito sobre el símbolo sumatorio. El

límite inferior de la operación es llamado en ocasiones punto de partida, por lo tanto, el límite superior es llamado punto final. La expresión mostrada arriba se calcula como, = x1 + x2 + x3 + … + xn-1 + xn Mientras que algunos matemáticos están a favor de la escritura de la notación completa cada vez que se va a escribir una operación de notación sumatoria, algunos de ellos están a favor de escribirla solamente cuando se requiere producir la suma de algunas de las cantidades disponibles del conjunto de cantidades, y de escribir una versión abreviada cuando se va a producir la suma de los valores del conjunto completo. A modo de ejemplo, serviría a los fines en el último caso. Es posible elevar al cuadrado cada uno de los términos y luego producir la suma de todas las cantidades cuadradas. Tal operación se puede denotar como, = x12 + x22 + x32 + … + xn-12 + xn2 La notación abreviada de la expresión anterior sería x2. Es esencial recordar que esta notación es completamente diferente de ( x)2 dado que esta última expresión denota una operación en la queprimero se suman todos los términos y luego se eleva al cuadrado el resultado obtenido, mientras que la operación anterior denota una expresión en la cual se produce la suma de términos que ya estaban elevados al cuadrado. Otra operación interesante que se puede realizar utilizando el símbolo sumatorio es la sumatoria de productos vectoriales. Taloperación se puededenotarcomo,

1.3 Suma de Riemann En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann. La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande. Introducción Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:

Teniendo los intervalos: La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:

donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux. Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que: Podemos obtener las siguientes igualdades:

(donde C es constante) Representación. Las sumas de Riemann más sencillas son las siguientes:

. Una suma de Riemann se interpreta como el área total de rectángulos adyacientes de anchura común

y

de alturas situados entre el eje de los abscisas y la curva de la función f (ver figura siguiente).

Sumas de Riemann S'n de una misma función, con n = 5 rectángulos; n = 10 y n = 20. Cuando crece n, el área total de los rectángulos se aproxima al área delimitado por el eje de las abscisas y la curva de f.

Teorema fundamental El teorema más elemental es el siguiente: Para toda función continua en el intervalo [0, 1] las sumas de Riemann convergen a la integral de f en el intervalo:

Prueba El intervalo I = [0,1] es un espacio métricocompacto por lo que toda función continua lo es de manera uniforme (según el teorema de Heine): la continuidad en I se escribe :

es decir que el número α depende de x (y de ε), mientras que en la continuidad uniforme se puede encontrar un número α que sirva para todos los x de I:

Tomemos un ε > 0 cualquiera, y un α > 0 que verifica la relación anterior. Luego existe un natural n tal que entera de

(basta con tomar

, la parte

).

Para todo x en

luego , lo que también se escribe:

Integrando la relación anterior en

Luego sumando los

se obtiene la siguiente:

con k variando de 0 a n - 1 se obtiene:

lo que equivale a: . El valor de ε puede ser arbitrariamente pequeño (cercano a cero) con tal de

tomar n lo suficientemente grande. Luego la relación anterior pasa al límite y da: Se demuestra de manera muy parecida la convergencia de la otra suma de Riemann, pues en

también tenemos

.

Generalizaciones A otros intervalos Si en vez de trabajar con una función definida en [0, 1] escogemos un intervalo compacto cualquiera [a, b], que seguimos cortando en n subintervalos de misma longitud obtenemos una aproximación del área bajo la curva de f por n rectángulos de área total

, aproximación que se vuelve más precisa a medida que crece n, luego el teorema es el siguiente:

La prueba es idéntica a la con el intervalo [0, 1] porque en la demostración sólo se utiliza la compacidad del intervalo. Otro argumento es emplear el cambio de variable para pasar de una función f definida en [a, b] a otra, g, definida en [0, 1]: Concretamente: Así

.

por el teorema en [0, 1], y:

con el cambio de variable: .

Ejemplo:

A otras subdivisiones Hasta el momento se ha descompuesto el intervalo de estudio, [0, 1] o [a, b] en n segmentos de misma longitud, es decir que se ha utilizado una subdivisión regular del intervalo. Una subdivisión cualquiera σ de [a, b] es definida por los números x0, x1 ... xn tales que Se denota δ(σ) la mayor longitud de los intervalos [xk-1, xk] (k entre 1 y n):

Con una subdivisión dada σ se puede definir naturalmente dos sumas que denotaremos El teorema que generaliza el teorema fundamental es el siguiente: Para toda función continua en un intervalo [a, b] las sumas de Riemann convergen hacia la integral de f cuando δ(σ) tiende hacia cero:

A otros puntos de cálculo Hasta ahora se ha calculado la función a uno u otro extremo de cada segmento, por sencillez; sin embargo la demostración del teorema sigue válida sin esta restricción, lo que permite generalizar aún más las sumas de Riemann escogiendo en cada intervalo [xk-1, xk] el punto de cálculo de la función, . La suma es entonces

.

Funciones escalonadas

. El área rojo oscuro mide

, el área total coloreada (rojo + verde) mide

El teorema es, sin sorpresa, el mismo:

Los puntos de cálculo también pueden ser implícitos, ya que para hallar la suma se precisa conocer las imágenes

y no los

mismos.

La función f siendo continua en cada intervalo [xk-1, xk], cada valor vk entre el ínfimo

y el supremo

es la imagen de un punto (por lo menos) del intervalo por lo que suma de Riemann, donde los

es una

son implícitos (y de hecho, desconocidos). En

particular son las sumas de Riemann de menor y mayor valor respectivamente asociadas a la subdivisión σ. Se llaman sumas de Darboux y corresponden a integrales de funciones escalonadas

que mejor acotan a f:

y, por definición misma de la integral de Riemann,

es el límite común de

, es decir de

cuando δ(σ) tiende hacia cero. Rapidez de Convergencia Las sumas de Riemann constituyen un método efectivo pero aproximativo de cálculo de integrales. Para obtener una precisión impuesta de antemano, ¿Cuantos cálculos se necesitan? es decir, concretamente, ¿Qué valor mínimo de n escoger? (hay que tener en cuenta que cuando crece n crece la precisión del cálculo pero también el tiempo que consumirá dicho cálculo). Más importante aún: ¿Qué método elegir? Aquí se entiende por método la manera de escoger los puntos ξk de cálculo de la función en cada intervalo [xk-1, xk].

Método de los rectángulos El llamado método de los rectángulos es el caso más sencillo, la de la subdivisión regular del intervalo [a, b] en n segmentos, con los puntos de cálculo de la función a un extremo de cada segmento: Sea

el valor máximo de la derivada en valor absoluto. Entonces el error entre la suma de Riemann S y la integral verifica:

Prueba: Tomemos n = 1; en tal caso, la suma es S = (b-a)f(a). Tenemos (por integración)

luego: Al pasar del caso n = 1 al caso n cualquiera se remplaza el intervalo [a, b] por otro de longitud n veces menor, es decir se remplaza en la fórmula b - a por , luego se multiplica por n el error porque hay n pequeños intervalos con la longitud anterior:

es el error máximo. Este error se alcanza con una función tan sencilla como la lineal f(x) = mx (aquí M1 = |m|) lo que implica que este método dista mucho de ser eficaz: un error en se considera enorme:

tiende muy lentamente hacia cero.

Los puntos donde se calculan la función son los centros de los intervalos Método de los puntos medios El método de los puntos medios es el segundo caso más común, es una variante del anterior, con una única diferencia: Se toman como puntos de cálculo los centros de los segmentos de la subdivisión regular. La suma es . Sea

el valor máximo de la segunda derivada en valor absoluto. Entonces el error

verifica:

.

Prueba: Tomemos como anteriormente n = 1, por tanto la suma de Riemann es

.

da, integrando entre c y x (si hace falta, se remplazan los valores absolutos por una desigualdad doble) y luego

. Observamos que .

Luego : desigualdad triangular en integrales, luego (1) da:

.

Con n cualquiera, porque hay n intervalos.

se vuelve

que se multiplica por n

El error es acotado por un término en lo que es mucho mejor que el método anterior porque converge hacia cero mucho más de prisa.

del

Áreas equivalentes El área del trapecio azul es el mismo que el del rectángulo verde y de los rectángulos adyacientes rojos Método de los trapecios El método de los trapecios consiste en aproximar la integral por el área total de los trapecios que tocan la curva en los dos vértices que no están sobre el eje horizontal (ver figura azul). La suma es La suma es

.

Tres interpretaciones del área obtenida por el método de los trapecios A primera vista (ver figura azul) no corresponde a una suma de Riemann; sin embargo como todo trapecio tiene la misma área que un rectángulo de misma base, esta suma corresponde a la figura verde, donde los puntos de cálculo de la función son abscisas de puntos de intersección de la curva con los lados horizontales de los rectángulos verdes (por ejemplo el punto A); estos puntos siempre existen, en cada intervalo [xk-1, xk], por el teorema de los valores

intermedios:

, que es la altura del rectángulo, es un valor

alcanzado por f porque pertenece al intervalo . Para estimar la rapidez de convergencia, es conveniente mirar al área equivalente roja. El área total (color rosado) está compuesta por: * dos rectángulos de media anchura, el error es acotado como en el caso de un intervalo de longitud en el método de los rectángulos (punto de cálculo en un extremo del intervalo), es decir por y

* n - 1 rectángulos de anchura con puntos de cálculo centrales (como el punto B de la figura) luego el error es acotado por

Luego el error total es inferior o igual a ; por tanto es acotado por un término en . Sin embargo, otro cálculo da un resultado más sencillo que prescinde de M1: , es decir que el error máximo es exactamente el doble del error máximo cometido en el método de los puntos medios. A pesar de lo último, este método tiene la ventaja sobre el de los puntos medios de no obligar a calcular otros valores de la función salvo los que a menudo ya se han calculado previamente a la estimación de la integral.

Definición de Integral Definida La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber, la integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella que está integrada con respecto a ciertos límites. La notación convencional de la integral definida es la siguiente,

Encima se muestra la integración definida de algún f(x) dentro del intervalo [a, b]. Es importante que la función dada, la cual será integrada para algún intervalo sea continua para el intervalo en el cual se va a integrar. La integral de Riemann es un caso especial de la integral definida en la cual x es esencialmente un número real. Una integral definida se representa más comúnmente como,

Aquí, la función dada se divide en n intervalos de igual longitud n

yi es un punto arbitrario que se selecciona de cada intervalo.

Para el ejemplo ilustrado arriba, la interpretación analítica resulta ser las líneas definidas por las expresiones, y = 0, y = f(x), x = b y x = a, como se muestra en el gráfico anterior. La suma del área sombreada es igual a nuestra expresión f(x) dx. Aquí, el número debajo del signo de la integración que es a, es el límite inferior de la integración definida, mientras que el número que está por encima del signo de la integración ...