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Breve al Alvaro Miguel Naupay Gusukuma 24 de febrero de 2017 2 4 GENERAL Prefacio Este es un primer borrador de notas del curso introductorio dadas a los alumnos ingresantes Universidad Nacional de de la Facultad de de Cualquier error y por favor darlas a conocer. 5 1 1. La idea de fue motivada por ...

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Breve Introducción al Cálculo Alvaro Miguel Naupay Gusukuma 24 de febrero de 2017

2

Índice general Prefacio

5

1. Límites 1.1. Introducción . . . . . . . . . 1.2. Idea intuitiva . . . . . . . . . 1.3. Valor absoluto . . . . . . . . 1.4. Definición formal de límite 1.5. Álgebra de límites . . . . . . 1.6. Recta tangente a una curva

7 . . . . . .

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7 7 13 14 16 22

2. Derivada 23 2.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Definición formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. Integral 33 3.1. Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2. Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3

4

ÍNDICE GENERAL

Prefacio Este es un primer borrador de notas del curso introductorio dadas a los alumnos ingresantes Universidad Nacional de Ingeniería de la Facultad de Ingeniería de Petróleo. Cualquier error y equivocación tipográfica por favor darlas a conocer.

5

6

Prefacio

CAPÍTULO 1

Límites 1.1. Introducción La idea de límite fue motivada por tres grandes problemas I. Hallar la recta tangente en un punto dado de una curva. II. Hallar la velocidad de un objeto en un instante dado. III. Hallar el área bajo una curva. En este y en los otros capítulos trabajaremos con funciones de una sola variable f : R → R, funciones de variable real. l´ım −→ x→0

1.2. Idea intuitiva En la definición de límite utilizaremos la siguiente notación, ım l´ f (x) que se lee, x→c

límite de f (x) cuando x tiende a c . Definición 1: Significado intuitivo de límite

Decir que l´ım f (x) = L ∈ R, significa que f (x ) puede estar cerca de L x→c

tanto como se quiera, siempre que x este lo suficientemente cerca pero diferente de c, además x debe pertenecer al dominio de f . En esta definición, los valores que toma x cuando se aproxima a c, deben estar en el dominio de f , pero c no es necesario que esté en el dominio de f . Además el valor de L no es necesario que se encuentre en el rango de f . Al valor c se le llama punto límite 7

8

Capítulo 1. Límites

EJEMPLO 1.1: Sea la función constante f (x) = 1, determine ım l´ f (x). x→2

Solución : Cuando x está cerca de 2, f (x) es 1. Entonces escribimos l´ım f (x) = l´ım 1 = 1 x→2

x→2

 EJEMPLO 1.2: Determine l´ ım(4x − 5). x→3

Solución : Cuando x está cerca de 3, 4x − 5 está cerca de 4 ·3 − 5 = 7. Entonces escribimos l´ım(4x − 5) = 7 x→3

 En general las ecuaciones lineales tienen este tipo de resultado como en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 1.3: ım(ax + b). Sea a, b , c ∈ R, con a 6= 0, determine l´ x→c

Solución : Cuando x está cerca de c, ax + b está cerca de ac + b. Entonces escribimos l´ım(ax + b) = ax + b x→c

 EJEMPLO 1.4: Determine l´ ım cos x . x→0

Solución : Cuando x está cerca de 0, cos x está cerca de 0. Entonces escribimos l´ım cos x = 1 x→0

 EJEMPLO 1.5: x2 − x − 6 x→3 x −3

ım Encuentre l´

x2 − x − 6 Solución : Observemos que no está definido en x = 3, en este caso tenemos x −3 que eliminar la indeterminación con el uso del álgebra como sigue l´ım

x→3

x2 − x − 6 x −3

✘ (x − 3)(x + 2) (x✘−✘3)( x + 2) ✘ = l´ım = l´ım(x + 2) = 3 + 2 = 5 = l´ım ✘ ✘ x→3 x→3 x→3 (x✘− 3) (x − 3) ✘

La simplificación de (x − 3) es lícita ya que x está cerca pero diferente de 3, por lo

1.2 Idea intuitiva tanto

9

(x − 3) = 1. (x − 3)



EJEMPLO 1.6: Encontrar el límite de f (x) cuando x se aproxima a 2, donde f se define como f (x) =

½

1 ; x 6= 2 0 ; x =2

Solución : Como f (x) = 1 para todos los x diferentes de x = 2, podemos concluir que el límite es 1. Por lo tanto podemos escribir l´ım f (x) = 1 x→2

 sen x , veamos entre que valores varía f (x) cuando x x se acerca a cero por la derecha pero veamos primero el siguiente gráfico. De los razonamiento geométricos podemos obtener este hecho. En la figura está representada la circunferencia trigonométrica de radio 1 y con centro en el origen de Estudiemos la función f (x) =

⌢

coordenadas. Sea el arco AC = x. Entonces AB = sen x y AD = tan x. Pero, como se infiere de la figura (la longi⌢

tud del arco AC ) es mayor que el segmento AB y menor que el segmento AD entonces sen x 0,∃δ > 0 tal que, si x ∈ X ∩ I ′ (c, δ) ⇒ f (x) ∈ I (L, ε) EJEMPLO 1.16: ım x = 2 Demostrar que l´



x→2

EJEMPLO 1.17: ım(3x − 7) = 5 Demostrar que l´



x→4

EJEMPLO 1.18: 2x 2 − 3x − 2 =5 x→2 x −2

Demostrar que l´ ım



EJEMPLO 1.19: Sea 0 6= m ∈ R y c ∈ R , demuestre que l´ ım(mx + b) = mc + b x→c



16

Capítulo 1. Límites

EJEMPLO 1.20: ım Si c > 0 demuestre que l´

x→c

p

x=

p



c

Teorema 2: Teorema del emparedado (Sandwich) Sean f , g y h funciones que satisfacen f (x) ≤ g (x) ≤ h(x) para toda x cercana a c, excepto posiblemente en c. Si ım l´ f (x) = l´ım h(x) = L, enx→c x→c tonces l´ımg (x) = L. x→c

EJEMPLO 1.21: µ ¶ 1 ım x sen . Determine l´ x→0 ¯ x ¯ ¯ 1¯ Solución : Como ¯¯sen ¯¯ ≤ 1, luego x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x sen x ¯ = |x| ¯ sen x ¯ ≤ |x | esto es válido para todo x 6= 0. Por tanto ¯ ¯ ¯ 1 ¯¯ ¯ 0 ≤ ¯ x sen ¯ ≤ |x | x

como l´ım |x| = 0 y aplicando el teorema del emparedado tenemos que x→0

¶ 1 =0 l´ım x sen x→0 x µ



1.5. Álgebra de límites Teorema 3: Teorema prinicipal de los límites Sean n un entero positivo, k ∈ R una constante y f y g funciones que tengan límites en c. Entonces 1. l´ım k = k. x→c

2. l´ım x = c. x→c

3. l´ım k f (x) = k l´ım f (x). x→c

x→c

4. l´ım[ f (x ) ± g ( x )] = l´ım f (x) ± l´ım g (x). x→c

x→c

x→c

1.5 Álgebra de límites

17

5. l´ım[ f (x) · g (x)] = l´ım f (x) · l´ım g (x). x→c

x→c

x→c

l´ım f (x) f (x) x→c = 6. l´ım , siempre que l´ım g (x) 6= 0. x→c g (x) x→c l´ım g (x) x→c

h in 7. l´ım[ f (x)]n = l´ım f (x) . x→c

x→c

p 8. l´ım n f (x) = x→c par.

q n

l´ım f (x), siempre que l´ ım f (x) ≥ 0 cuando n sea x→c

x→c

ım f (x) = A y l´ım g (x) = B entonces 9. Si existen los límites finitos l´ l´ım f (x) x→c

g (x)

x→c

x→c

B

=A .

EJEMPLO 1.22: ım 2x 4 Determine l´ Solución :

x→3

h i4 l´ım 2x = 2l´ım x = 2 l´ımx = 2 [3]4 = 162 4

4

x→3

x→3

x→3



EJEMPLO 1.23: x2 − 9 . x→3 x 2 − 3x Solución : Aquí cuando x → 3 el numerador y el denominador se hacen cero, esto se 0 suele llamar una indeterminación de la forma . 0 ım Determine l´

ım(x + 3) (x − 3)(x + 3) (x + 3) l´ x2 − 9 x→3 =2 = l´ım = l´ım = l´ım 2 x→3 x→3 x→3 x − 3x x(x − 3) x l´ım x x→3

 EJEMPLO 1.24: x3 − x2 − x + 1 . x→1 x 3 + x 2 − x − 1 0 Solución : Aquí también hay la indeterminación . 0 Determine l´ ım

x 2(x − 1) − ( x − 1) x3 − x2 − x + 1 = l´ım 2 = l´ım 3 x→1 x (x + 1) − ( x + 1) x→1 x + x 2 − x − 1

l´ım(x − 1) 0 x − 1 x→1 = l´ım = =0 = l´ım = x→1 x + 1 x→1 (x + 1)(x 2 − 1) l´ım(x + 1) 2 (x − 1)(x 2 − 1)

x→1

18

Capítulo 1. Límites 

EJEMPLO 1.25: p

x +4−2 . x→0 x p Solución : Multiplicamos el numerador y el denominador por x + 4 + 2, luego p p x +4−4 ( x + 4 − 2)( x + 4 + 2) = l´ım p l´ım = p x→0 x( x + 4 + 2) x→0 x( x + 4 + 2) l´ım 1 1 1 x→0 = l´ım p = = . p x→0 x + 4 + 2 l´ım ( x + 4 + 2) 4 ım Determine l´

x→0

 EJEMPLO 1.26: p 5

(1 + x)3 − 1 . x→0 x Solución : Haciendo 1 + x = y 5, entonces p 5 (1 + x )3 − 1 y3 − 1 = l´ım 5 = l´ım x→1 y − 1 x→0 x 3 y2 + y + 1 = = 4 y + y3 + y2 + 1 5 ım Determine l´

 EJEMPLO 1.27: sen(mx ) . x→0 x

ım Sea m ∈ R \ {0}, determine l´ Solución : Tenemos

sen(mx ) m · sen(mx) sen(mx ) =m . = l´ım = m l´ım x→0 x→0 x→0 mx x mx

l´ım

 EJEMPLO 1.28: 1 − cos x . ım Determine l´ x→0 x Solución : Multiplicamos en el denominador y el numerador por 1+cos x, esto nos da 1 − cos x (1 − cos x )(1 + cos x ) 1 − cos2 x = l´ım = l´ım x→0 x→0 x→0 x (1 + cos x ) x x(1 + cos x) 2 sen x = l´ım x→0 x(1 + cos x)

l´ım

1.5 Álgebra de límites

19 ³

= l´ım

sen x

x→0

x

ımsen x l´ 0 =0 l´ım = 1· 2 (1 + cos x) x→0

´

x→0



EJEMPLO 1.29: sen 4x . ım Determine l´ x→0 tan x Solución : Tenemos que sen 4x 4sen 4x 4l´ım sen 4x 4 x→0 4x 4x l´ım ¶= =4 µ = l´ım sen x = ³ ´ x→0 tan x x→0 sen x 1 1·1 l´ım l´ım x cos x x→0 x x→0 cos x



EJEMPLO 1.30: cos2 x − cos2x ım Determine l´ . x→0 x2 Solución : sen2 x ³ sen x ´2 cos2 x − cos2x =1 l´ım = = l´ım x→0 x 2 x→0 x x2 EJEMPLO 1.31: 1 − cos5x ım Determine l´ x→0 x2 Solución : Recuerde que sen2 EJEMPLO 1.32: 1 Determine l´ım . x→∞ x Solución :

³ α´ 2

=

1 − cosα 2





1 =0 x→∞ x l´ım

 EJEMPLO 1.33: x 3 + 2x 2 + 3x + 4 Determine l´ım 3 . x→∞ 4x + 3 x 2 + 2 x + 1 ∞ Solución : Es una indeterminación de la forma . Dividimos por x 3 el denominador ∞

20

Capítulo 1. Límites

y numerador 3

2

x + 2x + 3x + 4 = l´ım l´ım 3 x→∞ x→∞ 4x + 3 x 2 + 2 x + 1

2

3 4 3 + 1 x x x2 = 1 3 2 4 4+ + 2 + 3 x x x 1+

+

 EJEMPLO 1.34: Determine l´ım p

3x 4 − 2

. x 8 + 3x + 4 Solución : Dividimos por x 4 x→∞

2 3 3x − 2 x4 = l´ım r = =3 l´ım p x→∞ 1 4 3 x 8 + 3x + 4 x→∞ 1+ 7 + 8 x x 3−

4

 EJEMPLO 1.35: ³p ´ p 2 2 Determine l´ım x + 8x + 3 − x + 4x + 3 . x→∞

Solución : Aquí tenemos la indeterminación de la forma ∞ − ∞. Multiplicamos y dip p vidimos la expresión dada por x 2 + 8x + 3 + x 2 + 4x + 3 ³p ´³p p p 2 + 8x + 3 − x 2 + 4x + 3 ³p ´ x x 2 + 8x + 3 + x 2 + 4x p ´ ³p x 2 + 8x + 3 − x 2 + 4x + 3 = l´ım l´ım p x→∞ x→∞ x 2 + 8x + 3 + x 2 + 4x + 3 x 2 + 8x + 3 − x 2 − 4x − 3 ´ = l´ım ³p p x→∞ 2 2 x + 8x + 3 + x + 4x + 3 = l´ım ³p x→∞

4x ´ p x 2 + 8x + 3 + x 2 + 4x + 3

= l´ım µr x→∞

4

8 3 1+ + 2 + x x

r

1+

4 3 + x x2

¶=

4 =2 2

 EJEMPLO 1.36: p

ım p Determine l´ 3 x→0

1+x −1

1+x −1

.

1.5 Álgebra de límites

21

Solución : Haciendo 1 + x = t 6, tenemos p 1+x −1 y2 + y + 1 3 y3 − 1 l´ım p = l´ = l´ ı m ım = t →1 t →1 y 2 − 1 x→0 3 1 + x − 1 2 y +1

 EJEMPLO 1.37: µ ¶ sen(2x ) 1+x Determine l´ ım . x→0 x Solución : Como ¶ µ sen(2x ) l´ım =2 y l´ım(x + 1) = 1 x→0 x→0 x entonces tenemos que µ ¶ sen(2x ) 1+x l´ım = 21 = 2 x→0 x



EJEMPLO 1.38: x ´1/x Si l´ım(1 + x) = e. Determine l´ım 1 + en función de e . x→0 x→0 2 x 1 1 Solución : Haciendo = t entonces = , luego 2 x 2t ´1/2 p ³ ³ ¢ ¡ x ´1/x 1/t 1/(2t ) 1/t 1/2 = l´ım (1 + t ) = l´ım(1 + t ) = e l´ım 1 + = l´ım (1 + t ) t →0 t →0 x→0 t →0 2 ³

1/x



Teorema 4: Composición de límites Sean X , Y ⊂ R, f : X → R, g : Y → R con f (X ) ⊂ Y . Sean a un punto de acumulación de X además b es punto de acumulación de Y y pertenece a Y . Si l´ım f (x) = b y l´ım g (t ) = c entonces l´ım g ( f (x)) = c, siempre que x→a

c = g (b).

t →b

x→a

EJEMPLO 1.39: ln(1 + x ) ım Determine l´ . x→0 x Solución : Tenemos i h ¡ ¢ ln(1 + x ) 1/x 1/x = l´ım ln(1 + x) l´ım = ln e = 1 . = ln l´ım (1 + x ) x→0 x→0 x→0 x

Observe que g (t ) = ln t y f (x) = (1 + x )1/x



22

Capítulo 1. Límites

EJEMPLO 1.40: Sea la función f (x) = x 2 y g (t ) = Solución :

f (x + t ) − f (x) , determine l´ım g (t ) t →o t

(x + t − x)(x + t + x ) t (2x + t ) (x + t )2 − x 2 = 2x = l´ım = l´ım t →0 t →0 t →0 t t t

l´ım

 EJEMPLO 1.41: Sea f : I → R dos veces derivable en el punto a interior al intervalo I .



1.6. Recta tangente a una curva EJEMPLO 1.42: Hallar la pendiente de la recta tangente a la función f (x) = x 2 en el punto x = 1 Solución :



CAPÍTULO 2

Derivada 2.1. Motivación La derivada nace del afán por resolver dos problemas importantes dentro de la historia matemática El problema de la tangente a una curva. El problema de hallar máximos y mínimos de una función Definición 1: Definición geométrica de la derivada Sea f : X → R una función continua. La derivada de la función f respecto de la variable x ∈ X y evaluada en el punto a ∈ X ∩ X ′ , que se denota como f ′ (a), es la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto (a, f (a )).

2.2. Definición formal Esta definición se propone en base a la definición geométrica. Definición 2: Derivada Sean X ⊂ R, f : X → R y a es un punto de acumulación de X que pertenece a X (a ∈ X ∩ X ′ ). Diremos que f es derivable en el punto a cuando exista el límite f ′ (a) = l´ım

x→a

∆f d f (a) f (x) − f (a) = = L = l´ım ∆x→0 ∆x dx x−a

donde L ∈ R. Donde ∆ f se lee variación de f y ∆x se lee variación de x. La notación f ′ (a ) se lee derivada de la función f respecto de la variable x y evaluada en el punto a, la notación d f (a) . alterna de f ′ (a) es dx 23

24

Capítulo 2. Derivada

Esta definición se puede escribir de otra manera haciendo t = x − a, luego el límite se convierte en f (a + t ) − f (a) f ′ (a) = l´ım t →0 t o de manera general para un x ∈ X ∩ X ′ cualquiera tenemos f ′ (x) = l´ım t →0

f (x + t ) − f (x) d f = t dx

EJEMPLO 2.1: Sea f (x) = k, donde k ∈ R es una constante real. Determine f ′ (x ). Solución :



EJEMPLO 2.2: Sea f (x) = x, la función identidad. Determine f ′ (x ). Solución :



Antes de realizar el siguiente ejemplo recordemos que à ! n X n n−i i a b (a + b)n = i i =0 EJEMPLO 2.3: Sea f (x) = x n , donde n es un entero positivo. Determine f ′ (x ). Solución :



Teorema 1: Reglas de Derivadas Sean f , g : X → R derivables en el punto x ∈ X ∩ X ′ . Entonces f ± g , f · g f y (caso g (x) 6= 0) son derivable en ese mismo punto. Se tiene g ( f ± g )′ (x) = f ′ ( x) ± g ′ ( x )

( f · g )′ ( x) = f ′ (x) · g ( x) ± f ( x) · g ′ (x ) µ ¶′ f f ′ (x ) · g ( x ) − f ( x ) · g ′ (x) (x) = g g 2(x)

Corolario 1: Sea c ∈ R entonces (c · f ) = c · f . Si f (x) 6= 0 entonces ′

′

µ ¶′ 1 f

(x) =

− f ′ (x) f 2(x)

EJEMPLO 2.4: Encuentre las derivadas de 5x 2 + 7x − 6 y 4x 6 − 3x 5 − 10x 2 + 5x + 6 Solución :



2.2 Definición formal

25

EJEMPLO 2.5: Sean g ( x) = x, h(x) = 1 + 2x y f ( x) = g (x) · h ( x). Determine f ′ (x ). Solución :



EJEMPLO 2.6: Determine la derivada de (3x 2 + 5)(2x 4 − x ). Solución :



EJEMPLO 2.7: Determine la derivada de Solución :

(3x − 5) x2 + 7



Una notación alterna que se utiliza para representa f ′ (x) es f ′ (x) = donde

df dx

df dx

se lee, derivada de la función f respecto de la variable x .

EJEMPLO 2.8: df 2 3 . Sea f (x) = 4 + . Determine dx x +1 x Solución :



EJEMPLO 2.9: Sea f (x) = x −n donde n ∈ N. Determine Solución :

df dx



EJEMPLO 2.10: Determine la derivada de sen x . Solución :



EJEMPLO 2.11: Determine la derivada de cos x . Solución :



EJEMPLO 2.12: Determine la derivada de 3sen x − 2 cos x . Solución :



EJEMPLO 2.13: Determine la derivada de f (x) = tan x . Solución :



26

Capítulo 2. Derivada

EJEMPLO 2.14: Determine la derivada de f (x) = cot x . Solución :



EJEMPLO 2.15: Determine la derivada de f (x) = loga x. Que sucede cuando a = e, donde e es la constante de Euler. Solución : µ ¶ x+t loga loga (x + t ) − loga x x ′ = l´ım f (x) = l´ım t →0 t →0 µ t ¶ µ t ¶ t t 1x 1 = l´ım loga 1 + loga 1 + = l´ım t →0 x t t →0 t x x x µ ¶ 1 t t 1 = l´ımloga 1 + = loga e x x x t →0

 Teorema 2: Regla de la cadena. Sean f : X → R, g : Y → R, f (X ) ⊂ Y , x ∈ X ∩ X ′ , y = f (x) ∈ Y ∩ Y ′ . Se existen f ′ (x) y g ′ (y ) entonces g ◦ f : X → R e derivable en el punto x y se cumple además (g ◦ f )′ ( x) = g ′ (y) · f ′ ( x) . EJEMPLO 2.16: Sea h(x) = sen(x 2), determine h ′ (x ). Solución : Denotemos g (y) = sen y y f (x) = x 2 de esto (g ◦ f )(x) = h(x). Luego haciendo y = f (x) = x 2 y aplicando la regla de la cadena tenemos h ′ (x) = (g ◦ f )′ (x) = g ′ (y) · f ′ (x) = cos y · 2x pero como y = x 2 finalmente tenemos que h ′ (x) = cos x 2 · 2x, reordenando h ′ (x ) = 2x cos x 2

 EJEMPLO 2.17: Sea f (x) = (ln x )3, determine f ′ (x ). Solución :



EJEMPLO 2.18: Sea f (x) = sen[(ln x )3], determine f ′ (x ). Solución :



2.2 Definición formal

27

EJEMPLO 2.19:

p Determine la derivada de f (x) = tan x . Solución :



EJEMPLO 2.20: Determine la derivada de f (x) = ln |x|. 1 Solución : Si x > 0 entonces f ′ (x) = . x Si x < 0 entonces f (x) = ln(−x), luego f ′ (x) =

1 −x

(−x)′ =

1 1 (−1) = x −x

 EJEMPLO 2.21: Determine la derivada de f (x) = a x , donde a > 0. Solución : Aplicando logaritmo neperiano tenemos ln( f (x)) = ln(a x )

ln( f (x)) = x ln a Derivando en ambos miembros 1 f (x)

f ′ (x) = ln a f ′ (x) = f (x) ln a f ′ (x) = a x ln a

 EJEMPLO 2.22: 2

Determine la derivada de f (x) = e x . Solución :



EJEMPLO 2.23: Sean u, v e y funciones de variable x, y = u v . Determine y ′ en función de u y v y sus derivadas. Solución : Tomemos logaritmos de la función y : ln y = v ln u Derivando respecto a x en la igualdad obtenida, tenemos: 1

1 y ′ = v ′ ln u + v u ′ y u

28

Capítulo 2. Derivada

de donde ′

µ

′

y = y v ln u + v Introduciendo la expresi...