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Tutor: Martín Arteaga AlmazánEstudiante: Juan Jesus Trujillo ZúñigaMatricula: CTMCalculo diferencialActividad 2Tijuana, Baja California jueves, 16 de septiembre de 2021INTRODUCCIÓNEn esta actividad realizare un resumen de lo visto en los temas 5 y 6 de este curso abarcando los temas límites, interpr...

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Calculo diferencial Actividad 2

Tutor:

Martín Arteaga Almazán

Estudiante: Juan Jesus Trujillo Zúñiga Matricula:

CTM063639

Tijuana, Baja California

jueves, 16 de septiembre de 2021

INTRODUCCIÓN En esta actividad realizare un resumen de lo visto en los temas 5 y 6 de este curso abarcando los temas límites, interpretación de la gráfica, límites al infinito, asíntotas, solución de límites por medio de teoremas, límites de funciones y formas indeterminadas. También realizare dos ejercicios de funciones, así como también algunos ejercicios de limites que solucionare mediante lo visto en la lectura de la segunda semana del curso.

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Concepto y noción intuitiva de límites Los límites proporcionan un lenguaje efectivo para describir el comportamiento de una función en intervalos pequeños, así como su comportamiento general en intervalos grandes. Son utilizados además para indicar qué valor toma una función cuando se acerca a cierto valor específico de la variable independiente x, tanto por la derecha como por la izquierda. Por ejemplo Un físico desea analizar la presión del aire en una habitación, pero como ésta nunca es nula, es decir, no puede tomar un valor igual a 0, entonces sólo se puede analizar su comportamiento cuando se acerca a este valor, por la izquierda o derecha, en valores positivos y negativos de 0.01, 0.001, 0.0001, y así sucesivamente. Si se evalúa una función en un valor aproximado a la variable independiente x, que se acerca a un número en específico, entonces el límite sí existirá; en caso contrario, éste no existe. A esa notación se le conoce como límite bilateral. El límite bilateral se divide en dos límites laterales, se utilizan para indicar el comportamiento de los valores cercanos a la función a la derecha e izquierda. De manera gráfica los límites laterales se pueden visualizar como: a. Límite por la derecha: En este caso, se toman valores aproximados al valor a, los cuales se deben encontrar del lado derecho, se puede deducir entonces que, cuando se acerca la función a por la derecha, el límite es igual a L d. b. Límite por la izquierda En este caso, se toman valores aproximados al valor a, los cuales se deben encontrar del lado izquierdo, entonces se puede deducir que, cuando se acerca la función a por la izquierda, el límite es igual a Li. Entonces, de manera gráfica se establece que un límite se acerca a un valor por la izquierda o derecha siempre y cuando éste exista.

Límites cuando x tiende al infinito Los límites infinitos son aquellos en los que la función f(x) crece o decrece cuando x se aproxima a a. Este tipo de límites están relacionados de manera directa con las asíntotas de una función. Pero ¿cuál es la diferencia entre más infinito y menos infinito? Más infinito: Cantidad sin límite o sin final, crece indefinidamente hacia valores positivos. Menos infinito: Cantidad sin límite o sin final, decrece indefinidamente hacia valores negativos. Asíntotas horizontales y asíntotas verticales Los límites también permiten interpretar las funciones racionales y, en relación a cómo se establezcan los valores de los límites, se podrá establecer si presentan asíntotas verticales, horizontales u oblicuas. Entonces, ¿qué es una asíntota horizontal? Una asíntota horizontal es una línea imaginaria que es paralela al eje de las abscisas x, se forma al extenderse hacia infinito o menos infinito. La asíntota horizontal se extiende indefinidamente hacia la derecha o izquierda de la recta real, para encontrar su valor se deben evaluar valores positivos y negativos muy grandes con la finalidad de determinar hacia dónde se acerca su función y existencia. Ejemplo: En la siguiente gráfica se observa cómo, cuándo x toma valores cada vez más grandes, la función se acerca a 1, la asíntota horizontal queda en y = 1.

¿Qué es una asíntota vertical? Una asíntota vertical en un valor x ocurre cuando el valor de una función se acerca al infinito positivo o negativo y la función se evalúa en valores que se aproximan a x. Ejemplo: En la siguiente gráfica se observa cómo, cuándo x toma valores del lado izquierdo de –3, tiende hacia más infinito, tiene una asíntota vertical en x = 3.

Asíntotas oblicuas: Este tipo de asíntotas se desarrollan cuando existen funciones que son polinomios. Son expresadas con un cociente, el cual tiende a tener una asíntota oblicua representada por una función lineal. ¿Qué características tiene la función lineal? No tiene factores comunes. El grado del numerador es mayor en un grado al del denominador. El residuo que resulta al dividir los polinomios es diferente de 0.

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Entonces, si la función posee una asíntota oblicua también tiene una asíntota vertical.

Teorema de los límites El límite de la función f(x), cuando x tiende a a, es igual a L. Esto únicamente ocurre si el límite, cuando x tiende a a por la izquierda y la derecha, es igual a L. De forma matemática, se escribe como:

Límites de funciones Sea la función:

Con representación gráfica:

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En este caso, si se determina el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda y derecha:

Se obtiene que dicho límite tiende a valores positivos cada vez más grandes cuando se acerca por la derecha, pero si se acerca por la izquierda se obtienen valores más pequeños que tienden a menos infinito.

Formas indeterminadas del tipo 0/0 Existen en el cálculo de límites de funciones racionales diferentes formas indeterminadas.

Este tipo de formas indeterminadas ocurren cuando se evalúa de manera directa el valor de a. Ejemplo:

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En primer lugar, se comprueba que la función sea una forma indeterminada de la forma 0/0. Para realizar esto se separa en dos funciones, una en el numerador y otra en el denominador, y se sustituye el valor de 2.

Por lo tanto, se tiene una forma indeterminada 0/0. Entonces, ya que se comprobó que se tiene esa forma determinada, se podrá resolver el límite aplicando los siguientes pasos: Paso 1: Factorizar la función del numerador y la función del denominador.

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Paso 2: Se sustituye la factorización en la función racional inicial.

Paso 3: Se evalúa el límite en 2.

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Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a 2 es igual a –1/3.

Formas indeterminadas del tipo ∞/∞

Ejemplo:

Paso 1: Se identifica en la función el término más grande del numerador y denominador.

En este caso se simplificó la expresión debido a que se tenía la variable x tanto en el numerador como en el denominador. Paso 2: Se evalúa el valor de infinito en el término más grande de la función del numerador y denominador.

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Por lo tanto, la función racional tiende a infinito.

Funciones: 1- f(x)= A.V.

𝑥 2 +2 𝑥−1

=

x-1≠0

A.H.

No hay

x≠0+1 x≠1

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2- f(x)=

2𝑥+1 𝑥−3

A.V.

=

x-3≠0

A.H.

Horizontal =

𝑐𝑛 𝑐𝑑

2

=1 =2

x≠0+3 x≠3

Limites 1- 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝒙 = 2(2) = 4 𝒙→𝟐

2- 𝐥𝐢𝐦 (𝟐𝒙2 + 𝟔) = (2(3)2 + 6) = (2*9+6) = 18+6 = 24 𝒙→𝟑

𝟑

3

3

3- 𝐥𝐢𝐦 √𝟐𝟏𝟔𝒙² = √216(1)³ = 3√216(1) = √216 = 6 𝒙→𝟏

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CONCLUSIÓN En conclusión, pude reforzar el tema de las gráficas y su interpretación que vimos en la actividad pasada, así como también pude aprender el procedimiento para determinar limites, así como los diferentes teoremas lo cual personalmente me resulto muy interesante ya que no recordaba esos teoremas y el poder entenderlos es fundamental para realizar los ejercicios que vimos en esta actividad.

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Bibliografía CNCI. (s.f.). CNCI. Recuperado el 16 de 09 de 2021, de CNCI: https://cnci.blackboard.com/bbcswebdav/courses/BbCont10/Contenido/Ingenierias/I_Cal Dif_SEP19/m02-t05/m02-t05.html CNCI. (s.f.). CNCI. Recuperado el 16 de 09 de 2021, de CNCI: https://cnci.blackboard.com/bbcswebdav/courses/BbCont10/Contenido/Ingenierias/I_Cal Dif_SEP19/m02-t06/m02-t06.html Virtual, C. (14 de 09 de 2021). CNCI Virtual. Obtenido de CNCI: https://cncivirtualmx.sharepoint.com/sites/CALCULO709/Shared%20Documents/Forms/Al lItems.aspx?id=%2Fsites%2FCALCULO709%2FShared%20Documents%2FGeneral%2FRecor dings%2FReuni%C3%B3n%20en%20%5FGeneral%5F%2D20210814%5F092505%2DGrabaci %C3%B3n%20de%20la%20reuni%C3...