Apostila Completa Cálculo Diferencial e Integral PDF

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENICÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALGUARULHOS – SPSUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 2 DERIVADA E COEFICIENTE ANGULAR 3 DEFINIÇÃO DE DERIVADA 4 TAXA DE VARIAÇÃO CURVA EM UM DADO PONTO 5 DERIVADA COMO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE A UMA 6 TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO 6 Regra da constante 6 Reg...

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

GUARULHOS – SP

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 3 2 DERIVADA E COEFICIENTE ANGULAR ............................................................... 4 3 DEFINIÇÃO DE DERIVADA ................................................................................... 8 4 TAXA DE VARIAÇÃO ........................................................................................... 13 5 DERIVADA COMO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE A UMA CURVA EM UM DADO PONTO ................................................................................ 15 6 TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO ................................................................................ 19 6.1 Regra da constante ............................................................................................. 19 6.2 Regra da potência ............................................................................................... 20 6.3 Regra da linearidade: soma e diferença ............................................................. 20 6.4 Regra do produto e do quociente ........................................................................ 21 6.5 Regras de derivação em problemas aplicados ................................................... 22 7 O QUE É UMA FUNÇÃO? .................................................................................... 24 7.1 Derivada de funções ........................................................................................... 27 7.2 Técnicas de diferenciação .................................................................................. 31 7.3 Integral de funções ............................................................................................. 34 8 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA ...................................................................................... 38 8.1 Funções definidas explícita ou implicitamente .................................................... 38 8.2 Derivadas implícitas de funções ......................................................................... 41 9 DERIVADA EM GRÁFICOS E APLICAÇÕES....................................................... 46 9.1 Análise dos pontos críticos de uma função ......................................................... 46 9.2 Valor mínimo ou máximo absoluto ...................................................................... 46 9.3 Valor mínimo ou máximo local ............................................................................ 47 9.4 Teorema do valor extremo .................................................................................. 47 9.5 Teorema de Fermat ............................................................................................ 47 2

9.6 Número crítico..................................................................................................... 49 10REMODELANDO O TEOREMA DE FERMAT A PARTIR DA DEFINIÇÃO DE NÚMERO CRÍTICO ................................................................................................... 50 11INTERVALOS EM QUE UMA FUNÇÃO É CRESCENTE OU DECRESCENTE... 50 11.1 Teorema de Rolle ............................................................................................. 51 11.2 Teorema do valor médio ................................................................................... 51 11.3 Teste crescente/decrescente (C/D) .................................................................. 52 11.4 Teste da primeira derivada ............................................................................... 54 12A CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO ................................................................. 57 12.1 CÔNCAVA PARA BAIXO OU PARA CIMA ...................................................... 57 12.2 Teste da concavidade ....................................................................................... 59 12.3 Ponto de inflexão .............................................................................................. 59 12.4 Teste da segunda derivada .............................................................................. 60 13QUOCIENTE ENTRE FUNÇÕES ......................................................................... 62 14REGRA DE L’HÔPITAL ........................................................................................ 63 14.1 Produtos indeterminados .................................................................................. 67 14.2 Calcular limites indeterminados ........................................................................ 69 15ANTIDERIVADAS DE FUNÇÕES ......................................................................... 73 16ANTIDERIVADA OU PRIMITIVA COMO INTEGRAL INDEFINIDA ...................... 79 16.1 Problemas aplicados a partir das propriedades das antiderivadas ................... 82 17REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS ...................................................................... 86 17.1 Bibliografia Básica ............................................................................................ 86 17.2 Bibliografia Complementar ................................................................................ 86

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INTRODUÇÃO

Prezado aluno! O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é semelhante ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é que esse aluno faça a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão respondidas em tempo hábil. Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base e à execução das avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora que lhe convier para isso. A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser seguida e prazos definidos para as atividades. Bons estudos!

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DERIVADA E COEFICIENTE ANGULAR

De acordo com a geometria analítica, uma reta descrita em um plano cartesiano é definida pelos seus coeficientes linear e angular. O coeficiente linear trata da translação vertical de uma reta, ao passo que o coeficiente angular mostra o grau de inclinação de uma reta (STEWART, 2013). Veja um exemplo da equação de uma reta: y=a∙x+b Onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Em uma reta, o coeficiente angular pode ser dado pelo valor da tangente do ângulo dessa reta (Figura 1):

Perceba

que

a

diferença se trata do cateto oposto, enquanto

é o cateto adjacente. Dessa forma, a divisão entre eles gera a tangente do ângulo α. Esse ângulo está entre o eixo x e a reta f(x), o que pode ser visto porque o cateto adjacente é paralelo ao eixo x, indicado na Figura 1.

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A partir de dois pontos pertencentes à reta f(x), é possível determinar o valor do coeficiente angular de uma reta. Veja, no exemplo a seguir, a obtenção desse valor.

No entanto, nem todas as funções são lineares. Assim, o coeficiente linear para uma função que não é uma reta passa a ser um valor instantâneo (STEWART, 2013). Por isso, podemos utilizar a equação de uma reta como uma reta tangente à função não linear para determinar seu grau de inclinação naquele ponto (Figura 2).

Ao escolher os pontos para determinar o coeficiente angular da reta, se esses pontos forem distantes, um falso valor do coeficiente angular da reta tangente pode emergir, pois a reta tangente toca a curva em um único ponto (ponto P). Se a reta tocar em dois pontos da mesma curva, teremos um coeficiente angular de uma reta chamada de secante (reta que contém P e Q). 5

Veja, na Figura 2, que a reta tangente toca unicamente em P quando

; já

a reta secante toca em P e Q. Temos, então, de aproximar os pontos P e Q para o mais perto possível e, assim, ter o valor do coeficiente angular dessa reta (HOFFMANN, 2018). Por isso, a equação deve ser atribuída ao operador-limite para diminuir a diferença da distância entre os pontos:

Deixando de uma forma mais simples, vamos aplicar esse cálculo do coeficiente angular em cima da função no exemplo a seguir. Calcule o coeficiente angular da função a seguir no ponto P (2,1):

Onde:

Substituindo o ponto P (2,1):

Aplicando no limite:

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Analisando a função dada e a equação tangente no ponto P (2,1), (STEWART, 2013). O resultado é visto na Figura 3.

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DEFINIÇÃO DE DERIVADA

A inclinação da reta tangente apresentada anteriormente pode ser interpretada como variação instantânea da função f(x) em relação à variável x (STEWART, 2013). Com base na formulação, a derivada pode ser conceituada como:

Onde que f′ representa a derivada. Outras formas de representação de derivadas são apresentadas abaixo (STEWART, 2013):

A primeira derivada também é conhecida como notação de Lagrange, e a segunda, como notação de Leibniz. A terceira, por fim, é conhecida como notação de Newton. Veja, a seguir, um exemplo de cálculo de derivada de uma função polinomial de 3º grau. Exemplo: Calcule a derivada da função a seguir:

Aplicando o limite com h tendendo a zero:

Onde: 8

Substituindo no limite:

Agrupando os limites:

Simplificando e dividindo o que sobrou por h:

Analisando o resultado, perceba que a inclinação da reta tangente a função f(x) agora é uma função e vai variar em função do ponto escolhido. Por isso, o resultado de uma derivada será na forma de uma expressão matemática. Veja, na Figura 4, a função original f(x) e a derivada f′(x). (STEWART, 2013)

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Se percebemos bem, o resultado da derivada em comparação com a função original podemos já definir uma regra de como aplicar derivada em funções polinomiais. A técnica de derivação em polinômios é chamada de regra da potência e se baseia a seguir (STEWART, 2013):

Em um polinômio, portanto devemos olhar para o seu expoente e “descer” ele ao lado da variável, diminuindo o valor de um (HOFFMANN, 2018). Vale ressaltar que se houver um número constante a derivada é nula, pois uma reta constante não tem grau de inclinação e logo não terá derivada. Veja a seguira um exemplo de aplicação dessa técnica. Exemplo: Calcule a derivada da função polinomial a seguir: 10

Aplicando a regra da potência para cada parcela do polinômio acima:

Também é possível realizar derivadas sucessivas, ou seja, após o cálculo de uma derivada, realizar nova derivada. (STEWART, 2013) Para isso, a nomenclatura desse tipo de derivada passa a ter algumas modificações, por exemplo:

Perceba que os índices aumentam à medida que os números de derivadas aumentam. Veja, no exemplo a seguir, o cálculo de derivada sucessiva de um polinômio. Exemplo: Calcule a derivada sucessiva de terceira ordem da função polinomial a seguir:

Derivando pela primeira vez:

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Derivando pela segunda vez:

Derivando pela terceira vez:

Após vermos a definição da derivada a partir da formulação aplicada à inclinação de retas tangentes, estudamos as diferentes representações matemáticas. (STEWART, 2013). Também apresentamos a técnica de derivação de funções polinomiais e derivações sucessivas, junto com exemplos. Veja, a seguir, mais sobre o que é a taxa de variação e sua aplicação em alguns campos.

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TAXA DE VARIAÇÃO

A taxa de variação é um ponto de observação que é aplicado a diversas áreas, como na biologia, para medir a taxa de crescimento de bactérias de uma colônia em função do tempo, na engenharia, para obter a taxa de dilatação de um material em função da temperatura, na economia, para descobrir a taxa do custo de produção em função da quantidade de produtos, e na medicina, para obter taxa de dilatação da artéria em função da pressão sanguínea. Sua obtenção matemática passa pela aplicação da derivada sobre uma função determinada (STEWART, 2013). Um exemplo clássico é a taxa de variação aplicada para descobrir a velocidade de um automóvel (Figura 5). Quando utilizamos dois pontos de um trajeto e anotamos a diferença do tempo para percorrer os dois pontos, obtemos uma velocidade média, visto que há um valor de delta entre os pontos. Logo, a velocidade média é dada pela função.

Quando desejamos saber a velocidade instantânea, devemos aproximar a diferença de tempo tendendo a zero. Assim, a velocidade no momento será:

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Na Figura 5, a curva representa a função f(t), enquanto x + Δx é o ponto superior do cateto oposto, x é o ponto inferior do cateto oposto, t é o ponto mais à esquerda do cateto adjacente e t + Δt é o ponto mais à direita do cateto adjacente. A divisão entre o cateto oposto e o adjacente levam a obter o valor da tangente do ângulo α de inclinação da taxa de variação. (STEWART, 2013) Veja, a seguir, o exemplo de aplicação do cálculo de taxa de variação de evolução de uma bactéria em função do tempo. Exemplo: Dada a equação que trata da evolução do crescimento de uma bactéria em função do tempo:

1) Encontre a taxa de variação média em relação ao intervalo [3,5] s; 2) Encontre a taxa de variação instantânea quando t = 1 s 3) Encontrando os valores de bactérias nos tempos fornecidos:

A taxa de variação média será:

Para encontrar a taxa de variação instantânea, aplicamos a derivada na função f(t):

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No instante t igual 1 s, a taxa de variação instantânea será:

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DERIVADA COMO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE A UMA CURVA EM UM DADO PONTO

Ao definir a derivada, podemos utilizar três conceitos igualmente importantes. A derivada pode ser entendida como a inclinação da reta tangente a uma curva, como uma taxa de variação e como o limite de uma razão incremental (ROGAWSKI; ADAMS, 2018). A derivada é definida como a inclinação de uma reta tangente à curva, ou seja, o coeficiente angular da reta tangente, e podemos iniciar o cálculo com base nessa definição. Dadas uma curva f(x) e uma reta r tangente a essa curva que passe pelo ponto temos a seguinte ilustração (Figura 1).

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Apenas com uma única informação da reta tangente, o ponto P, não conseguiremos definir o coeficiente angular dessa reta. Para chegarmos ao valor do coeficiente angular da reta tangente, precisamos de, ao menos, dois pontos. (ROGAWSKI; ADAMS, 2018). Então, vamos considerar um segundo ponto, o ponto Q, pertencente à curva Ao traçar uma nova reta, a reta s, que passe pelo ponto P e pelo ponto Q, encontrando a inclinação dessa reta, conseguiremos, por meio do conceito de limite, chegar à inclinação da reta r. As etapas para o cálculo da inclinação da reta r são: 1) Traçar uma reta secante, a reta s; 2) Calcular a inclinação da reta s; 3) Chegar à inclinação da reta r. Ao escolher um ponto Q sobre a curva e traçar uma nova reta, temos a seguinte configuração (Figura 2).

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Observe que a reta s, que passa pelos pontos P e Q, é uma reta secante à curva y = f(x). (ROGAWSKI; ADAMS, 2018). Para obter a inclinação da reta s, basta calcular o coeficiente angular dessa reta, dada por:

Podemos reescrever essa equação em função da variação de x da seguinte maneira:

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Assim, definimos o coeficiente angular da reta s, a reta secante à curva. Não podemos esquecer de que o nosso objetivo é chegar à inclinação da reta tangente. Avalie o seguinte: entre o ponto P e o ponto Q, temos uma variação em x de ∆x. Se movimentarmos o ponto Q aproximando-o do ponto P, o ∆x entre esses pontos será menor. Se movimentarmos o ponto Q para uma distância cada vez menor do ponto P, o ∆x tenderá a diminuir cada vez mais, fazendo com que a reta secante se aproxime progressivamente da reta tangente (ROGAWSKI; ADAMS, 2018). Observe a Figura 3. Se calcularmos ∆x tendendo a zero e aplicarmos na fórmula da inclinação da reta s, chegaremos ao valor da inclinação da reta r. Isso se define da seguinte maneira:

Podemos observar que, ao calcular a inclinação da reta tangente, estamos utilizando o conceito de derivada.

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Entendendo o ∆x como um incremento no x1 , essa definição também é conhecida como limite da razão incremental. Para representar a derivada y = f(x), as seguintes notações são comumente utilizadas:

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TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO

Existem algumas técnicas de derivação que facilitam o cálculo da derivada. Essas técnicas são facilmente demonstradas a partir da definição de derivada utilizando o conceito de limites. Contudo, a partir da definição de derivada, também é possível deduzir regras de derivação para as funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. (ROGAWSKI; ADAMS, 2018).

6.1

Regra da constante Dada uma função constante f(x) = constante, a derivada dessa função é zero.

Avalie que a derivada representa a inclinação de uma reta. Se uma função é constante, ela é paralela ao eixo das abscissas, logo, não há inclinação. Teorema: dada uma função constante y = c, c representa um número real qualquer, e a derivada de y é o 0. f´(c)= 0 Exemplos:

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6.2

Regra da potência Dada uma função, onde x é um expoente qualquer, a regra de derivação para

esses

casos

é

a

seguinte:

Teorema: dada uma função f(x) = xn, a derivada dessa função será:

Exemplos:

6.3

Regra da linearidade: soma e diferença Vamos supor que f e g sejam duas funções diferenciáveis. (ROGAWSKI;

ADAMS, 2018). Há uma regra de soma e diferença que propõe o seguinte. Regra da soma e diferença: f + g e f – g são deriváveis de:

Regra constante vezes uma função: sendo f uma função diferençável e c um número real qualquer, temos que:

Exemplos:

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6.4

Regra do produto e do quociente Vamos supor que f e g sejam duas funções diferenciáveis. (ROGAWSKI;

ADAMS, 2018). Há uma regra de produto e quociente que propõe o seguinte. Regra do produto: sendo (f . g):

Regra

do

quociente:

sendo,

Exemplos: Y = x³ (2x + 9), entendo como f(x) = x³ e g(x) = (2x + 9) f´(x) = 3x² G´(x) = 2 Aplicando a regra temos: Y´= 3x² (2x + 9) + x³ . 2 = 6x³ + 27x² + 2x³ = 8x³ + 27x²

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6.5

Regras de derivação em problemas aplicados O conceito de derivada pode ser aplicado em diversas situações. Sempre que

conseguirmos estabelecer uma função e quisermos avaliar a variação de uma variável, à medida que outra varia, utilizamos o conceito de derivação. (ROGAWSKI; ADAMS, 2018). Exemplo: Um corpo tem sua temperatura medida em Fahrenheit em função do tempo, em minutos. A função que descreve essa relação é a seguinte:

A taxa de resfriamento, em um dado tempo t, é dada por meio da derivação da função T em relação ao tempo. Observe: T(t) = 2t² - 15t + 250

Calculando para t = 10 minutos, temos:

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O corpo resfria em 25º F a cada minuto. Exemplo: A Terra exerce uma força gravitacional

de (em newtons) sobre

um objeto com uma massa de 75 kg, onde r é a distância (em metros) do centro da Terra. Encontre a taxa de variação da força em relação à distância r na superfície da Terra, supondo que o raio da Terra seja

de...