Apostila Integral Tripla PDF

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Capítulo 11 INTEGRAÇÃO TRIPLA 11.1

Integração Tripla sobre Paralelepípedos

Este capítulo é totalmente análogo ao anterior. Sejam R ⊂ R3 o paralelepípedo retangular definido por: R = [a, b] × [c, d] × [p, q] e a função limitada w = f (x, y, z) definida em R. Consideremos as seguintes partições de ordem n dos intervalos: [a, b], [c, d] e [p, q]:

a = x0 < x1 < ...... . . . . . . < xn = b c = y0 < y1 < ...... . . . . . . < yn = d p = z0 < z1 < ...... . . . . . . < zn = q. Subdividamos R em n3 sub-paralelepípedos:

Rijk = [xi , xi+1 ] × [yj , yj+1] × [zk , zk+1]. 349

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA

350

Figura 11.1: Subdivisão de R. Denotemos por: ∆x =

d−c q−p b−a . , ∆y = , ∆z = n n n

Escolhamos cijk ∈ Rijk e formemos a seguinte soma de Riemann: Sn =

n−1 n−1 n−1 XX X f (cijk)∆x ∆y ∆z. i=0 j=0 k=0

Definição 11.1. Se lim Sn existe e é independente da escolha dos cijk ∈ Rijk n→+∞

e da partição, denominamos este limite de integral tripla de f sobre R e a denotamos por: lim Sn =

n→+∞

ZZZ

f (x, y, z) dx dy dz R

Em tal caso f é dita integrável sobre R. Teorema 11.1. Se f é contínua em R, então f é integrável sobre R. Para a prova do teorema veja [EL].

11.1. INTEGRAÇÃO TRIPLA SOBRE PARALELEPÍPEDOS

351

Observação 11.1. No capítulo anterior vimos que se: f : [a, b] × [c, d] −→ R,

f (x, y) ≥ 0 e contínua para todo (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], a integral dupla: ZZ f (x, y) dx dy R

representa o volume do sólido:

W = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], 0 ≤ z ≤ f (x, y )}. Para integrais triplas esta interpretação geométrica não é conveniente, pois o gráfico de f é um subconjunto de R4 o qual não é possível visualizar. Mas se f (x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) ∈ R: ZZZ dx dy dz R

representa o volume de R (veja o exemplo 1). Isto se justifica, pois a soma de Riemann correspondente: Sn =

n−1 X n−1 n−1 X X ∆x ∆y ∆z i=0 j=0 k=0

é a soma dos volumes dos n sub-paralelepípedos formado pela partição; então: 3

lim Sn

n→+∞

é exatamente o volume de R. A integral tripla tem propriedades análogas às das integrais duplas. Proposição 11.1. Seja x = (x, y, z) ∈ R.

1. Linearidade da integral tripla. Se f e g são funções integráveis sobre R, então para todo α, β ∈ R, α f + β g é integrável sobre R, e: ZZZ

R





α f (x) + β g (x) dx dy dz = α

onde x = (x, y, z).

ZZZ

f (x) dx dy dz + β R

ZZZ

g(x) dx dy dz R

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA

352

2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x) ≤ f (x), para todo x ∈ R, então: ZZZ

g(x) dx dy dz ≤

R

ZZZ

f (x) dx dy dz R

3. Se R é subdividido em k paralelepípedos e f é integrável sobre cada Ri , i = 1, ..., k então f é integrável sobre R e, ZZZ

f (x) dx dy dz = R

k ZZZ X i=1

f (x) dx dy dz Ri

A prova segue diretamente das definições. Observações 11.1. 1. A noção de conteúdo nulo poder ser estendida ao paralelepípedo R de forma completamente análoga ao caso do retângulo; mudando subretângulos por sub-paralelepípedos e área por volume. 2. Como antes, o teorema é válido se o conjunto de descontinuidades de f é de conteúdo nulo. 3. Para integrais triplas continua valendo o teorema de Fubini. Agora temos 3 ! = 6 possíveis integrais iteradas. Teorema 11.2. (Fubini) Seja f : R −→ R contínua em R. Então: ZZZ

f (x, y, z) dx dy dz = R

Z b Z dZ a

c

q





f (x, y, z) dz dy dx p b

Z q Z dZ

  = f (x, y, z) dx dy dz c p a   Z dZ bZ q = f (x, y, z) dz dx dy p a c   Z bZ q Z d = f (x, y, z) dy dz dx a

p

c

= ..................

11.2. INTEGRAIS TRIPLAS SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS

353

A prova do teorema de Fubini para integrais triplas é completamente análoga à das integrais duplas, que pode ser vista no apêndice. Exemplos 11.1. ZZZ dx dy dz, onde R = [a, b] × [c, d] × [p, q]. [1] Calcule R

ZZZ

dx dy dz =

p

a

R

d

Z bZ q Z

c





dy dz dx = (d − c) (q − p) (b − a),

que é o volume de R. ZZZ xyz dx dy dz, onde R = [0, 1] × [1, 2] × [0, 3]. [2] Calcule R

ZZZ

xyz dx dy dz = R

1

[3] Calcule ZZZ

ZZZ

R

0

0

3

  Z Z 1 9 2 27 . xyz dz dx dy = x y dx dy = 8 2 1 0 

sen(x + y + z) dx dy dz, onde R = [0, π] × [0, π] × [0, π].

sen(x + y + z) dx dy dz = R

Z πZ 0

[4] Calcule ZZZ

Z 2 Z 1 Z

ZZZ

R

0

π Z π 0



 sen(x + y + z) dz dx dy = −8.

(x2 + y 2 + z 2 + x y z) dx dy dz, onde R = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]. Z 1Z 1 Z

1

 (x + y + z + x y z) dx dy dz = (x + y + z + xyz) dz dx dy 0 0 0 R   Z 1 Z 1 1 1 2 2 (x + y + = + x y)) dx dy 3 2 0 0 Z 1 9 2 y = ( + + y 2) dy = . 3 4 8 0 2

2

2

2

2

2



11.2

Integrais Triplas sobre Regiões mais Gerais

11.2.1

7.2.1 Regiões Elementares no Espaço

De forma análoga ao estudado no capítulo das integrais duplas definidas em regiões mais gerais. Consideremos W ⊂ R3 .

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA

354

11.2.2

Regiões de tipo I

A região W é do tipo I se pode ser descrita por:

W = {(x, y, z ) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, f1 (x, y) ≤ z ≤ f2 (x, y)} onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano xy e f1 , f2 : D −→ R contínuas, sendo f1 ≤ f2 .

Figura 11.2: Região de tipo I.

11.2.3

Regiões de tipo II

W é do tipo II se pode ser descrita por:

W = {(x, y, z ) ∈ R3 /(x, z) ∈ D, g1 (x, z ) ≤ y ≤ g2 (x, z)} onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano xz e g1 , g2 : D −→ R contínuas, sendo g1 ≤ g2 .

11.2. INTEGRAIS TRIPLAS SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS

355

Figura 11.3: Região de tipo II.

11.2.4

Regiões de tipo III

W é do tipo III se pode ser descrita por: W = {(x, y, z) ∈ R3 /(y, z ) ∈ D, h1 (y, z) ≤ x ≤ h2 (y, z)}

onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano yz e h1 , h2 : D −→ R contínuas, sendo h1 ≤ h2 .

Figura 11.4: Região de tipo III.

11.2.5

Região de tipo IV

A região W é de tipo IV se é do tipo I, ou tipo II, ou tipo III. como por exemplo região limitada por uma esfera, ou por um elipsóide.

356

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA

Observações 11.2. 1. Em qualquer dos casos anteriores, W é chamada região elementar do espaço. 2. As regiões W são conjuntos fechados e limitados em R3 . Alguns exemplos de regiões elementares:

Figura 11.5: Região elementar. De tipo III:

Figura 11.6: Região elementar. Em geral:

11.3. EXTENSÃO DA INTEGRAL TRIPLA

357

Figura 11.7: Região elementar.

11.3 Extensão da Integral Tripla Seja W uma região elementar em R3 tal que W ⊂ R, R um paralelepípedo como antes. Se f : W −→ R é uma função contínua, definamos f ∗ : R −→ R por ( f (x, y, z) se (x, y, z) ∈ W ∗ f (x, y, z) = 0 se (x, y, z) ∈ R − W. Se ∂W tem conteúdo nulo, então, f ∗ é integrável sobre R e definimos a integral tripla de f sobre W como: ZZZ ZZZ f (x, y, z) dx dy dz = f ∗ (x, y, z) dx dy dz. R

W

Em tal caso dizemos que f é integrável sobre W . A integral não depende da escolha do paralelepípedo R. Proposição 11.2. Seja f : W ⊂ R3 −→ R contínua. 1. Se W é do tipo I: ZZZ

f (x, y, z) dx dy dz = W

2. Se W é do tipo II:

Z Z Z D

f2 (x,y)



f (x, y, z) dz dx dy f1 (x,y)

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA

358

ZZZ

f (x, y, z) dx dy dz = W

Z Z Z

g2 (x,z)

Z Z Z

h2 (y,z)

D



f (x, y, z) dy dx dz

g1 (x,z)

3. Se W é do tipo III: ZZZ

f (x, y, z) dx dy dz =

D

W

h1 (y,z)

 f (x, y, z) dx dy dz

Observação 11.2. Observe que em todos os casos anteriores D é uma região elementar do plano e, portanto, pode ser do tipo I, II ou III; dependendo do tipo continuamos com a integral dupla. Volume : Em particular, se f (x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) ∈ W , então: ZZZ

dx dy dz = V (W ) W

onde V (W ) é o volume de W . Exemplos 11.2. [1] Calcule I =

Z

0

2

Z

4−x2

Z

x

0

0

sen(2 z) dy dz dx. 4−z

Note que: I=

ZZ  Z D

x 0

 sen(2 z) dy dz dx, 4−z

onde: D = {(x, z) / 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 − x2 }.

11.3. EXTENSÃO DA INTEGRAL TRIPLA

359

Figura 11.8:

Calculamos primeiro: Z

x

0

sen(2 z) x sen(2 z ) ; dy = 4−z 4−z

a seguir, precisamos calcular:

I=

ZZ

x sen(2 z) dz dx, 4−z D

onde consideramos D = {(x, z) / 0 ≤ x ≤ região de tipo III; logo,

I=

Z

4 0

Z

√ 4−z 0

x sen(2 z) dx dz = 4−z

Z

4 0

√

4 − z, 0 ≤ z ≤ 4} como uma

sin(2 z) 1 − cos(8) . dz = 4 2

[2] Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z + x2 = 9 e inferiormente z + y = 4, tal que y = 0 e y = 4. O sólido W é limitado superiormente por z = 9 − x2 e inferiormente por z = 4 − y. O sólido W é do tipo I.

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA

360

Figura 11.9: Sólido do exemplo [2].

W = {(x, y, z ) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, 4 − y ≤ z ≤ 9 − x2 }, Determinação de D: A região D é a projeção de W no plano xy; para determinar D basta eliminarmos z das equações ou, equivalentemente achar a interseção de ambas as superfícies: ( z = 9 − x2 z = 4 − y; obtemos x2 = y + 5 e D = {(x, y) ∈ R2 / −

-

-

√

y+5≤x≤

√

y + 5, 0 ≤ y ≤ 4}.

-

-

-

Figura 11.10: A região D.

Logo, V (W ) =

ZZZ

dx dy dz = W

Z 4 Z 0

√ y+5 Z 9−x2

√ − y+5

4−y



 dz dx dy ; então:

11.3. EXTENSÃO DA INTEGRAL TRIPLA

361

√y+5  Z 4 3    x dy V (W ) = 5x − + x y  5 − x2 + y dx dy = √ √ 3 − y+5 0 0 − y+5 4 Z 3 4 4 5  8 2 2 (y + 5) = dy = (y + 5)  15 3 0 0 √ 648 40 5 = − u.v. 3 5 Z 4Z

[3] Calcule

ZZZ

√ y+5 



x dx dy dz onde W é limitado por z = x2 + y 2, z = 2, no W

primeiro octante.

Se √ considerarmos W como região de tipo II, W é definida por 0 ≤ y ≤ z − x2 e D é a projeção de W no plano xz; fazendo y =√0 obtemos a parábola z = x2 e z = 2; logo, D é definida por 0 ≤ x ≤ z e 0 ≤ z ≤ 2, logo:

W = {(x, y, z) / 0 ≤ x ≤

√

z, 0 ≤ y ≤

√

z − x2 , 0 ≤ z ≤ 2}.

Figura 11.11: O sólido e a região do exemplo [2].

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA

362

ZZZ

Z 2 Z

 x dx dy dz = x dy dx dz 0 W  Z0 2Z0 √z  √  2 x z − x dx dz = 0 0 Z 1 2 32 z dz = 3 0 √ 8 2 . = 15 √ Z √ z z−x2



Se consideramos W como região I: √ √ W = {(x, y, z) / 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 − x2 , x2 + y 2 ≤ z ≤ 2}.

Figura 11.12: A região do exemplo [2], no plano xy .

Z

√ 2 0

Z

√ 2−x2 0

Z

√ 8 2 x dz dy dx = . 15 x2 +y 2 √ 2





11.4. EXERCÍCIOS

363

11.4 Exercícios 1. Calcule as seguintes integrais: (a)

Z

3

0

0

(b)

Z

(c)

Z

1

−1 1

(d) (e)

Z

4

(f)

Z

1 −1 x

Z

π

Z

π 2

Z

1

(x2 + y 2 + z 2 ) dx dy dz

0 1

Z

Z

x2 y 2 z 2 dx dy dz

−1 xy

x dz dy dx 1−x

Z

x2 sen(y) dz dx dy

0

y

0 1 Z x

−2

Z

0

0

0

0

Z

0

0

Z

2

Z

0

1 y

Z

sen(y) dz dx dy

0

Z

y

x2 z 4 dz dy dx

0

2. Considere o sólido limitado por x + y + z = 3, x + y − z = 1 e os planos coordenados. Calcule o volume do sólido, fazendo: (a)

Z Z Z

  dz dy dx

Z Z Z

  dx dz dy

Z Z Z

  (b) dx dy dz   Z Z Z (c) dy dx dz (d)

3. Calcule

ZZZ

x dx dy dz se W é o paralelepípedo limitado pelos plaW

nos x = 2, y = 3 e z = 1. ZZZ z 2 dx dy dz se W é o sólido limitado pelo cilindro x2 + 4. Calcule W

y 2 = 1 e pelos planos z = 0 e z = 4.

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO TRIPLA

364 5. Calcule

ZZZ

W

dx dy dz se W é o sólido limitado pelo plano (x + y + z + 1)3

x + y + z = 1 e pelos planos coordenados. ZZZ (x3 +y 3 +z 3 ) dx dy dz se W é o sólido limitado pela esfera: 6. Calcule W

(x − a)2 + (y − a)2 + (z − a)2 = a2 . ZZZ p z x2 + y 2 dx dy dz se W é o sólido limitado pelo cilin7. Calcule W

dro x2 + y 2 = 2 x e os planos y = 0, z = 0 e z = a.

8. Determine o volume do sólido limitado pelos planos 4 y + 2 x + z = 8, x = 0, y = 0 e z = 0. 9. Determine o volume do sólido limitado por z = 9 − x2 , z = 5 − y, y = 0 e y = 5.

Capítulo 12 MUDANÇA DE COORDENADAS 12.1 Introdução Sejam W ∗ uma região elementar no espaço e x, y e z as seguintes funções: x, y, z : W ∗ −→ R, onde x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) e z = z(u, v, w) são funções contínuas e com derivadas parciais contínuas num paralelepípedo aberto R tal que W ∗ ⊂ R, Estas três funções determinam uma transformação do espaço uvw no espaço xyz. De fato: T : W ∗ −→ R3 , onde T (u, v, w ) = (x(u, v, w), y (u, v, w), z(u, v, w)). A transformação T é também denotada por:   x = x(u, v, w) y = y(u, v, w)   z = z(u, v, w ), (u, v, w ) ∈ W ∗

Denotemos a imagem de W ∗ por T como W = T (W ∗ ), contida no espaço xyz. Definição 12.1. 1. T é injetiva em W ∗ se T ((u1 , v1 , w1 )) = T ((u2 , v2 , w2 )) 365

CAPÍTULO 12. MUDANÇA DE COORDENADAS

366

para todos (u1 , v1 , w1 ), (u2 , v2 , w2 ) ∈ W ∗ implica em u1 = u2, v1 = v2 e w1 = w2 . 2. O determinante Jacobiano de T é denotado e definido por: ∂x

∂u    ∂y ∂(x, y, z) = det  ∂u ∂(u, v, w)    ∂z ∂u

∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v

∂x  ∂w    ∂y  , ∂w    ∂z 

∂w

onde as derivadas parciais são calculadas no ponto (u, v, w) ∈ W ∗ . Teorema 12.1. Sejam W e W ∗ regiões elementares no espaço, T uma transformação de classe C 1 e injetiva em W ∗ . Suponha que T (W ∗ ) = W . Então para toda função integrável f sobre W temos: ZZZ

f (x, y, z) dx dy dz = W

ZZZ

W

   ∂(x, y, z)   du dv dw f (u, v, w)  ∂(u, v, w)  ∗

onde f (u, v, w) = f (x(u, v, w), y(u, v, w ), z(u, v, w )) e:    ∂(x, y, z)     ∂(u, v, w)  é o valor absoluto do determinante Jacobiano.

Observação 12.1. Novamente, é possível mostrar que o teorema anterior é ainda válido se T não é injetiva num subconjunto de W ∗ que seja de conteúdo nulo.

12.2. COORDENADAS CILÍNDRICAS

12.2

367

Coordenadas Cilíndricas

Se P = (x, y, z) é um ponto no espaço xyz, suas coordenadas cilíndricas são (r, θ, z ), onde (r, θ) são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy e são definidas por:

ou, explicitamante r =

p

  x = y=  z =

r cos(θ), r sen(θ), z,

x2 + y 2 , z = z e:

 y  arctg se x, y > 0,   x  y  se x < 0, θ = π + arctg x y    2π + arctg  se x > 0, y < 0. x

3π π Se x = 0, então θ = quando y > 0 e θ = quando y < 0. Se x = y = 0, θ 2 2 não é definido.

Figura 12.1: Coordenadas cilíndricas. Esta transformação é injetiva no seguinte subconjunto: {(r, θ, z)/r > 0, θ0 < θ < θ0 + 2π, z ∈ (−∞, +∞)} e o jacobiano da transformação é:

CAPÍTULO 12. MUDANÇA DE COORDENADAS

368

∂(x, y, z) =r ∂(r, θ, z) Exemplos 12.1. [1] O cilindro circular reto C de raio a é dado por: C = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 = a2 , z ∈ (−∞, +∞)}. Em coordenadas cilíndricas x2 + y 2 = r 2 ; logo r = a, então: C = {(r, θ, z) ∈ R3 / r = a, 0 ≤ θ ≤ 2 π, z ∈ (−∞, +∞)}. [2] O cone com base num disco D de raio 1.5 centrado na origem e altura 3. Em coordenadas cilíndricas: z = z,

3 0≤r≤ , 2

0 ≤ θ ≤ 2π

logo, o cone em coordenadas cilíndricas: 3 S = {r, θ, z) ∈ R3 / 0 ≤ r ≤ , 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 < z < 3}. 2

Figura 12.2: O cone do exemplo [2]. Do teorema anterior:

12.2. COORDENADAS CILÍNDRICAS

369

Corolário 12.2. Seja f (r, θ, z ) = f (r cos(θ), r sen(θ), z); então: ZZZ

f (x, y, z) dx dy dz = W

ZZZ

r f (r, θ, z) dr dz dθ W∗

Esta igualdade ainda é válida se W ∗ = {(r, θ, z)/r ≥ 0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 2π, z ∈ (−∞, +∞)}. Em particular, se f (x, y, z) = 1 para todo (x, y, z, ) ∈ W , então: V (W ) =

ZZZ

r dz dr dθ. W∗

Exemplos 12.2. [1] Determine o volume do sólido limitado por x2 + y 2 = a2 , z = 0 e z = b; a, b 6= 0.

O sólido W é um cilindro centrado na origem, de raio a e altura z onde 0 ≤ z ≤ b. Usando coordenadas cilíndricas obtemos a nova região W ∗ definida por: W ∗ = {(r, θ, z) / 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ z ≤ b} = [0, a] × [0, 2π] × [0, b]. V (W ) = [2] Calcule

ZZZ

ZZZ

r dz dr dθ = W

Z b Z 0

0

2 π Z a 0





r dr dθ dz = π a2 b u.v.

x dx dy dz, onde W é limitado superiormente por z = 4 e W

inferormente por z = x2 + y 2 , tal que x = 0 e y = 0. O sólido W é definido por: W = {(x, y, z )/(x, y) ∈ D, x2 + y 2 ≤ z ≤ 4}. Para determinar D resolvemos o sistema: ( z = x2 + y 2 =⇒ x2 + y 2 = 4. z=4

CAPÍTULO 12. MUDANÇA DE COORDENADAS

370

Usando coordenadas cilíndricas obtemos a nova região W ∗ definida por: π W ∗ = {(r, θ, z) / r 2 ≤ z ≤ 4, 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ }; 2 D é a projeção do parabolóide no plano xy, no primeiro quadrante:

Figura...