Introdução A Integrais – Cálculo Integral E Diferencial PDF

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ INTRODUÇÃO A INTEGRAIS – CÁLCULO INTEGRAL E DIFERENCIAL O conceito da integral surgiu a partir da necessidade de se calcular a área de uma região curva não simétrica. Por exemplo, a área sobre o gráfico da função f(x) = x² é difícil de ser calculado, pois não existe uma ferramenta exata para isso. Outro problema conhecido é o da distância. Sabemos calcular a distância percorrida por um objeto quando sua velocidade é constante. Isso também pode ser feito através do gráfico de velocidade em função do tempo, mas quando essa velocidade não é constante não conseguimos calcular esta distância de uma maneira tão simples. Estas foram algumas das situações para o surgimento da integral, mas lembrando que a integral possui várias aplicações além dessas, como o cálculo de áreas, volumes e suas aplicações na física e na biologia. Vale ressaltar também que isso é apenas um resumo do que seria uma integral, pois sua definição é puramente matemática e requer algum conhecimento em cálculo de limites.

Integral definida x indefinida Vamos, então, estudar sobre duas formas de integrais: integral definida e a integral indefinida. Aqui, iremos entender a diferença entre elas e ver como se calcula cada uma delas. Integral definida Suponhamos uma função f(x) ao qual seu gráfico seja curvo e que seja definida em um intervalo de a até b. Vamos então desenhar alguns retângulos dentro desse intervalo da função f(x), conforme a imagem a seguir. A integral definida pode ser interpretada como a área resultante de uma região. Além disso, ela é um valor em seu resultado final, ou seja, não depende da variável x podendo esta ser trocada por qualquer outra variável sem a alteração do valor da integral. Para se calcular uma integral definida, podemos utilizar a sua definição, porém este método requer certo conhecimento com somatório e limites já que a definição possui ambos. Podemos também utilizar as tabelas de integrais que são encontradas em livros didáticos ou mesmo na internet. Iremos mostrar a seguir alguns exemplos para que você possa compreender como se calcula uma integral definida a partir da tabela de integrais.

Integral indefinida De uma forma geral, a integral indefinida de uma função f é conhecida como sendo a primitiva de f. Em outras palavras, a integral indefinida representa toda uma família de funções que são diferenciadas por uma constante C. Alguns exemplos de integral indefinida:

Enquanto a integral definida é um número, por exemplo, o valor da área de um gráfico, a integral definida é uma função. O cálculo deste tipo de integral também é feito através da tabela de integrais que foi citada anteriormente. Um exemplo desta tabela pode ser vista a seguir....