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Mas libros gratis en http://www.leeydescarga.com QA371 R 293 1998 GRANVILLE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 0233007122 http://www.leeydescarga.com http://carlos2524.jimdo.com/ Mas libros gratis en http://www.leeydescarga.com Temas que trata...

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QA371 R 293 1998 GRANVILLE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

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Temas que trata la obra: • • • • • •

Resumen de fórmulas Variables, funciones y límites Derivación Reglas para derivar funciones algebraicas Aplicaciones de la derivada Derivadas sucesivas de una función. Aplicaciones • Derivación de funciones trascendentes. Aplicaciones • Aplicaciones a las ecuaciones para métricas y polares y al cálculo de las raíces de una ecuación • Diferenciales • Curvatura. Radio de curvatura. Círculo de curvatu ra • Teorema del valor medio y sus aplicaciones • Integración de formas elementales ordinarias • Constante de integración • Integral definida • La integración como suma • Artificios de integración • Fórmulas de reducción. Uso de la tabla de integrales • Centros de gravedad. Presión de líquidos • Trabajo. Valor medio • Series • Desarrollo de funciones en serie de potencias • Ecuaciones diferenciales ordinarias • Funciones hiperbólicas • Derivadas parciales • Aplicaciones de las derivadas parciales • Integrales múltiples • Curvas importantes • Tabla de integrales

l.

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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SIR ISAAC NEWTON

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CALCULO DIFERENCIAL

E INTEGRAL WllLlAM ANTHONY GRANVlllE Doctor en Filosofía. Doctor en Leyes Ex Presidente del Colegio de Gettisburg Edición revisada por:

PERCEY F. SMITH WllLlAM RAYMOND lONG lEY Doctores en Filosofía y Profesores de Matemáticas de la Universidad de Yale

LIMUSA http://www.leeydescarga.com

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Granville. William Anthony Cálculo diferencial e integral = Elements of differential and integral calculus / William Anthony Granville. -- México: Limusa, 2009. 704 p. : il. ; 23 x 15.5 cm. ISBN-13: 978-968-18-1178-5 Rústica. 1. Cálculo diferencial 2. Cálculo integral 1. Byngton, Steven, tr. 11. Romero Juárez, Antonio, colab. Dewey: 515.33 122/ G765c

Le: QA303

VERSiÓN AUTORIZADA EN ESPAÑOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLÉS CON EL TíTULO: ELEMENTS OF DIFFERENTIALAND INTEGRAL CALCULUS © JOHN WILEY & SONS, INC. C OLABORADOR EN LA TRADUCCiÓN: STEVEN T. BYNGTON REVISiÓN: ANTONIO ROMERO JUÁREZ PROFESOR EN LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO.

LA PRESENTACiÓN Y DISPOSICiÓN EN CONJUNTO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL SON PROPIEDAD DEL EDITOR . NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGÚN SISTEMA o MÉTODO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACiÓN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACiÓN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACiÓN) , SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. DERECHOS RESERVADOS:

© 2009,

EDITORIAL LlMUSA, S.A. DE C.v. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDE RAS 95, MÉXICO, D . F. C.P. 06040 ~ 51300700 5512 2903 )iiii [email protected]

r2J

'T"' www.nonega.com.mx CANIEM NÚM. 121 HECHO EN MÉXICO ISBN-13: 978-968-18-1178-5 45.1

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PROLOGO Esta obra es, en sus líneas generales, una edición revisada y aumentada del texto debido al profesor Grall\'ille. Los únicos cambios introducidos se reducen a pequefios detalles en las demostraciones, a la rev isión de los problemas - afiadiendo algunos de aplicación a la Economía y otros adicionales al final de cada capítulo para alumnos más aventajados- y a la redacción de un capítulo sobre Funciones hiperb6li cas, junto con algunos pjelllplos de apli cación de las eoorrlenadas cilíndricas en las integrales dobles. El cap ítulo a11adido ha sido p,.;crito sigui endo el Illétodo del libro , procurando quP fOl'llle un todo armónico con pI resto de la obra. Lai::l soluciones de la mayor parte de 10i::l problemaf' i-'P dan en pi texto. Algun as soluciones f'e Ollliten de intento para a,costulllbl'ar al estudiante a tener confianza en sí mismo. El trabajo de los autores de esta edición. se verá ampliamente CO I1lpensado si tiene la misma acogida que tUYO la primpra edición de la obra de Granville. PERCEY F. SMITH \VILLIAM

R.

LONGLEY

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INDICE CALCULO DIFERENCIAL CAPITULO 1

Resumen de fórmulas Fórmulas de Algebra y de Geometría elementales, 3. Fórmulas de Trigo nometría plana, 4. Fórmulas de Geometría analítíca plana, 6. Fórmulas de Geometría analítica del espacio, 8. Alfabeto griego, 10. CAPITULO 11

Variables, funciones y límites Variables y constantes , 11. Intervalo de una variable, 11. Variación continua, 12 . Funciones, 12. Variables independientes y dependientes, 12. Notación de funciones. 13. La división por cero, excluída , 13 . Gráfica de una función: continuidad, 15 . Límite de una variable, 16. Límite de una función , 16. Teoremas sobre límites, 17. Funcíones contínuas y discontinuas. 17 . Infinito , 19 . Infinitésimos, 22.. Teoremas relativos a infinitésimos y límites , 23. CAPITULO III

Derivación Introducción, 25. Incrementos , 25. Comparación de incrementos 26. Derivada de una función de una variable, 27. Símbolos para representar las derivadas, 28, Funciones derivables, 30 . Reg la general para la derivación, 30. Interpretación geométr ica de la derivada, 32. CAPITULO IV

Reglas para deri v ar funciones alge braícas Importancia de la regla general. 36. Derivada de una constante. 37 . Derivada de una variable con respecto a, si mIsma, 38. Derivada de una suma, 38. Derivada del producto de una constante por una función, 39 . . Derivada del

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VIII

producto de dos funciones. 39. Derivada del producto de n funciones. siendo n un número fijo. 40. Derivada de la potencia de una función. siendo el exponente constante. 41 . D e ri vada de un cociente. 41. Derivada de una función de función. 46. Relación entre las deri va das de las funciones inversas . 47. Funciones implicitas . 49. Derivación de funciones implícitas. 49 .

CAPITULO V

Aplicaciones de la derivada Dirección de un;l curva . 52. Ecuaciones de la tangente y la normal: longitudes d e la subtangente y la subnormal, 54. Valores máximo y mínimo de una función: introdu cc ió n . 58. Funciones crecientes y decrecientes. 62. Máximos y mínimos de una función; definiciones. 64. Primer método para calcular los rr. áximos y minimos de una función. Regla guía en las aplicaÓones. 66. Máximos o mínimos cuando f' (x) se vuelve infinita y f (x) es continua. 68. Problemas sobre m0 ÓX

Valor inicial de x

-1;

ecrece cuany tienen un

aumenta,

o

nción

Valor final de x

4 4 4 4 4 4 4

2;

Óy=-19.

5.0 4.8 4.6 4.4 4.2 4.1 4.01

Incremento 1'1x

8.

Valor Valor \ Incremento 1'1!J inicial de !J final de !J

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 0.01

16 16 16 16 16 16 16

;

I

25 23.04 21. 16 19.36 17.64 16.81 16.0801

9 7.04 5.16 3.36 1.64 0.81 0.0801

cómo se el incre-

1'1!J 1'1x

9 8.8 8.6 8.4 8.2 8.1 8.01

Esta tabla pone de manifiesto que al decrecer -Óx también disminuye -Óy, mientras que la razón de los dos incrementos toma los valores sucesivos 9, 8,8, 8,6, 8,4, 8,2, 8,1, 8,01. Esta sucesión de '.'al ores nos dice que podemos hacer que el valor de la razón ~~ tan próximo a 8 corno deseemos con sólo tornar pequeño. Luego, ~ = 8. lím -...1!.. 6x---;>0

s después un ondiente Óy,

=

16) que

Observemos ahora con cuidado, mediante una tabla, comporta la razón de los incrementos de x y de y cuando mento de x decrece.

Óy = 44. , Óx =

(Art.

27

sea

a -Óx suficientemente

I1x

24. Derivada de una función de una variable. damental del Cálculo diferencial es la siguiente:

La definición fun-

La derivada * de una función es el límite de la Tazón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero.

idir los dos

Cuando el límite de esta razón existe , se dice que la función es deriooble o que tiene derivada. La definición puede darse mediante símbolos, en la forma siguiente: Dada la función (1) y =f(x), consideremos

•.

Llamada

un valor inicial fijo de z .

ta mb ié n coeficiente

diferencial

o función

derivada.

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28

CALCULO DIFERENCIAL

Demos a x un incremento ~x; entonces obtenernos para la función y un incremento ~y, siendo el valor final de la función (2)

y

+ ~y = f (x + ~x) .

Para hallar el incremento de la función, restarnos (1) de (2); se obtiene (3) ~y = f (x Sx) - f (x)

+

Dividiendo los dos miembros por ~x, incremento de la variable independiente, resulta: (4 )

~y

f(x+~x)

~x

~x

- f(x)

El límite del segundo miembro cuando ~X-70 es, por definición, la derivada de f( x), o sea, según (1), de y, y se representa por el dy símbolo dx. Luego, la igualdad

dy dx

(A)

=

lím

¡(x + ~x) - ¡(x)

6 X-70

~x

define la derivada de y ro de f ( x) 1 con respecto a x. De (4) obtenemos también

dy _ lím ~y. dx - 6 X-70 ~x Asimismo , si u es función de t, entonces, du

dt = 6~í~0

~u

~t

=

. derIvada de u con respecto a t.

La operación de hallar la derivada de una función se llama derivación. 25. Símbolos para representar las derivadas. Puesto que l1y y I1x son siempre cantidades finitas y tienen valores definidos, la expresión

es una verdadera fracción. Pero el símbolo dy dx

ha de mirarse no como una fracción, sino como el valor límite de una f?"acción. En muchos casos veremos que este símbolo sí tiene propiedades de

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DERIVACION

fracción, y más adelante demostraremos el significado-que puede atribuirse a dy y dx, pero, por ahora, el símbolo

~;

ha de considerarse

como conjunto. Puesto que, en general, la derivada de una función de x es también función de x, se emplea también el símbolo J' (x) para representar la derivada de j(x). Luego, si y=j(x),

podemos escribir la igualdad dy dx

= J' (x)

'

que se lee "la derivada de y con respecto a x es igual a j prima El símbolo de x" d dx'

considerado por sí mismo, se llama operador derivada; indica que toda función que se escriba después de él ha de derivarse con respecto a x. Así, dy dx

-

(1

d y indica la derivada de y con respecto a x; dx

-

ix f (x) indica la derivada de j (x) con respecto a x;

d~ (2

x2+5) indica la derivada de 2 x2+5 con respecto a x.

El símbolo y es una forma abreviada de

~~ .

d El símbolo Dx se emplea por algunos autores en lugar de dx

Llle-

go, si y=j(x),

podem-os escribir las identidades dy d d y' = - = - y = - j(x) = Dxj(x) = j'(X). dx dx dx

Debe hacerse hincapié en esto: en el paso esencial de hacer que la variable es t1x y no x. El valor de x se supone fijo desde el principio. Para hacer resaltar que x = Xo desde el principio hasta el fin, podemos escribir: t1x~O,

J' (xo) =

Hm j(xo 6x~O

+ t1x)

- j(Xo)

t1x

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CALCULO DIFERENCIAL

26. Funciones derivables. De la teoría de los límites se deduce que si exist e la derivada de una función para cierto valor de la variable independiente, la fun ción misma debe ser continua para aquel valor de la variable. Sin embargo, la recíproca no es siempre cierta: se han descubierto funciones que son continuas y, a pesar de eso, no t ienen derivada. Pero tales funciones no son frecuentes en las Matemáticas aplicadas, yen este libro se consideran solamente las funciones derivables, es decir, las funciones que tienen derivada para todos los valores de la variable independiente, con excepción, a lo más, de valores aislados. 27. Regla general para la derivación. Según la definición de derivada se puede ver que el procedimiento para derivar una función y = f (x) comprende los siguientes pasos: REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIóN PRIMER PASO. Se sustituye en la función x por x + !::..x, y se calcula el nuevo valor de la función y /1y . SEGUNDO PASO . Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene /1y ( incremento de la función ) . TEIWEH PASO. Se divide /1y ( incremento de la función ) por /1x (1:ncremento de la variable independiente) . CUARTO PASO. Be calcula el límite de este cociente cuando llx ( incremento de la variable independiente) t'iende a cero. El límite así hn'uado es la den:vada buscada .

+

El estudiante debe familiarizarse con esta regla, aplicando el procedimiento a muchos ejemplos . La resolución detallada de tres de estos ejemplo s se da a continuación. Nótese que los teoremas del Artículo 16 se emplean en el cuarto paso, manteniéndose x constante .

+ 5.

EJEMPLO 1.

Hal lar la derivada de la f un ción 3

Resolución.

Ap l icando los pasos s ucesi vos de la regla ge neral, obtenemos,

despué s de h acer y

Pri mer paso.

Segundo paso.

y

+ Ay

= 3 X2 =

3 (x

=

3

y

+ l'1y =

y

-

1'1 y

=

X2

X2

+ 5, + 1'1 x ) 2 + 5 + 6 x· 1'1 x + 3 (1'1 x ) 2 + 5,

3 x2+6 x.l'1x+ 3 (l'1x) 3 X2

2

+5 +5

6x'l'1x+3( óX)2

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DERIVACION

31

+ 3.l1x .

Tercer paso.

11/j = 6 x I1x

Cuarto paso.

En el segundo m iembro haga m os I1x----;'O. sul ta :

Seg ún CA)

re-

d/j = 6 x . dx

o

/j' =

bien,

~ (3 dx

X2

+ 5)'-~ 6 x.

EJEMPLO 2.

Hallar la der i vada de x 3

Resol ución.

Hagamos /j

Primer paso.

/j

+ 11/j =

= x3 (x

2 x

-

2 x

-

+ 7.

+ 7.

+ I1x) 3 -

2 (x

+ I1x) + 7 2 + (l1x) 3-

= x 3 +3 X2 'l1x+3 x. ( l1x )

Segundo paso.

/j

+ 11/j

/j

= x

3 +3

2+ (l1x) 3-2 x -

X2 .l1x + 3 x. (l1x)

x3

=

2 x-2 .l1x+ 7. 2.l1x+7

- 2x

11/j =

+7 - 2·l1x

Tercer paso.

11/j =3 x 2+3 x.l1x+(l1x)2-2. I1x

Cuart o paso.

En el se g undo mi em bro hagam os I1x----;'O. dremo s:

Según (A) ten -

'.!J¿=3x 2 - 2. dx

o

y'

bi e n ,

~ (x 3

=

2x

-

dx

+ 7) = 3 X2 -

EJEM PLO 3.

Ha l lar la deri v ada d e la función

Resol ución.

Hagamos y

Primer paso .

/j

+ l1y

=

Segundo paso .

y

+ 11/j

=

=

2.

c

?

-~ .

X2

C

(x + l1x)2

(x

c

+ I1x) 2

y

11

Tercer paso. Cuarto paso.

_

y -

- c ·l1x (2 x + I1x) x2(x+l1x)2

c -:-(x--: +---;I1-x -') -;:2

11/j = -e I1x

2 x X2 (x

+ I1x + I1x)

2

En e l segu n do miembro hagamo s I1x ----;'O. dremos :

d/j = _ c.~ =_ ~. dx

X2(X)2

x3

Según (A)

ten -

d(C) _ 2e ] - d x X2 - - x [/j /_ 3 '

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32

DIFERENCIAL

CALCULO

PROBLEMAS Calcular general.

la derivada

de cada una

lo

y=2-3

2.

y=mx+b.

3.

y=ax2.

y'=2ax.

4.

s =2

s' = 2-2

5.

q=c x" .

x.

Sol.

(_(2.

y' = -3.

y =3 x-x3.

y'

7.

u=4 v2+2 v3.

u'=8v+6v2.

8.

y=x'.

y'

9.

Q=--.

0+1 3

d u __

y=--. x2+2

dx

1lo

t+4 S=-. t

~= dt

12.

y=I-2x'

dy =

dx

x3.

6x (x2+2)

17.

x Y = x2+1 .

«v : dx «v : dx

19.

y = 3 x2 - 4 x - 5.

20.

s

=

a(2

2lo

u

=

2 v3 - 3 v2.

22.

Y = ax3

+ +

bt

+

b x?

+

ex

4

24.

y=

(2 -

x) (l-2x).

t2

25.

y=

(Ax

+

2 (l--2x)

26.

s

27.

x y=~+bX2'