12. vaciado de tanques ingeniería calculo integral PDF

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CLASE N°12: VACIADO DE TANQUES.OBJETIVO ESPECÍFICO Aplicar los modelos generales de las E. de primer ordenen problemas típicos de su campo profesional.COMPETENCIAS A DESARROLLAR: Modelar mediante una E. D. la ley que rige un fenómeno de cantidades variables en el tiempo.  Resolver problemas de ap...

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CLASE N°12: VACIADO DE TANQUES.

OBJETIVO ESPECÍFICO Aplicar los modelos generales de las E.D. de primer orden en problemas típicos de su campo profesional.

𝑑𝑣 𝑑𝑡

= −𝑎𝑉(𝑡) y 𝑑𝑣 = 𝐴(𝑦 )𝑑𝑦

𝑣 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑉 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

COMPETENCIAS A DESARROLLAR: 𝐴 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒  Modelar mediante una E. D. la ley que rige un fenómeno de cantidades variables en el tiempo. Relacionando ambos diferenciales obtenemos  Resolver problemas de aplicación a las ecuaciones diferenciales de primer orden. 𝑎 𝑑𝑦 = − √2𝑔ℎ 𝑑𝑥 𝐴 VACIADO TANQUES: Cuando comenzamos a vaciar un tanque por un orificio de área “a” su nivel ℎ = 𝑦(𝑡) comienza a vaciar saliendo con una velocidad 𝑉(𝑡) = √2𝑔ℎ en condiciones ideales, pero el orificio produce una contracción en el fluido la velocidad 𝑉(𝑡) = 𝑘√2𝑔ℎ Donde 𝐾 es una constante que depende de la forma del orificio.

EJEMPLO 1 Un tanque hemisférico tiene un radio máximo de 4ft y está lleno de agua, se abre un agujero circular de 1 pulgada de diámetro en el fondo del tanque ¿Cuánto tarda en vaciarse por completo? Área del orificio 𝑎 = 𝜋 𝑅²  1𝑓𝑡 = 12 𝑖𝑛 𝑅 = 1/24 𝑓𝑡

1    24 

𝑎 = 𝜋 

𝐾 = 0.6

𝐾 = 0.96

𝐾 = 0.82

Pared Delgada

Pared Gruesa

Pared Cónica

𝑔 = 32 𝑓𝑡/𝑠𝑒𝑔²

𝑔 = 9.8𝑚𝑡/𝑠𝑒𝑔²

𝑅 = ½ 𝑖𝑛

2

Por Pitágoras 𝑟 2 = 8𝑦 – 𝑦 2 𝐴(𝑦) = 𝜋 𝑟 2 Luego 𝐴(𝑦) = 𝛱 ( 8𝑦 – 𝑦 2 ) al sustituir en * obtenemos la E.D de variables separables



Por simplicidad se omite 𝐾 , retomando el tanque también la cantidad de volumen del fluido cambia y tendremos dos relaciones. Resolviendo ∫(8𝑦 1⁄2 − 𝑦 3 ⁄2 )𝑑𝑦 = −

1 ∫ 𝑑𝑡 72

𝑌(0) = 9

𝑌(𝑡) = 0

2

1

448 15

Pero nos están preguntando tiempo necesario para vaciarse 𝑡 = ? si 𝑦 = 0; Reemplazamos nuevamente y obtenemos

dy  a 2 gy dt

𝑅 =? A, a; R 𝑦 −1/2 𝑑𝑦 = −

8a dt A

𝑎 ∫ 𝑦 −1⁄2 𝑑𝑦 = −8 ∫ 𝑑𝑡 𝐴

Pero debemos encontrar 𝑐 y tenemos una condición inicial 𝑦(0) = 4 remplazamos y 448 obtenemos 𝑐 = lo que implica que la función 15 − 𝑦 5 ⁄2 = − 𝑡 + 72 5

𝐴(𝑦)

𝑌(1𝐻) = 4 𝐴 =? constantes

16 3⁄2 2 5⁄2 1 − 𝑦 =− 𝑡+𝑐 𝑦 72 3 5

16 3 ⁄2 𝑦 3

𝑎 =?

𝑎 2𝑦 −1/2 = −8 𝑡 + 𝑐 𝐴

Pero tenemos 𝑦(0) = 9 

𝑐=6

𝑎 2𝑦 −1/2 = −8 𝑡 + 6 𝐴

𝑡 = 35 𝑚𝑖𝑛 – 50 𝑠𝑒𝑔 Pero tenemos

EJEMPLO 2 Un tanque tiene la forma de un cilindro vertical, inicialmente contiene agua con una profundidad de 9 pies y un tapón en el fondo que es retirado después de 1 hora la profundidad ha descendido a 4 pies ¿Cuánto tiempo tardara el agua en salir del tanque?

𝑦(1 𝐻𝑜𝑟𝑎) = ?

𝑦 = (3600) = 4

Reemplazamos y obtenemos 1 𝑎 = 𝐴 14400 2𝑦 1⁄2 = − (

𝑡 )+6 1800

Pero nos preguntan 𝑡 =? Si 𝑦 = 0 reemplazamos y obtenemos 𝑡 = 3 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑎

= − 8𝑦 1 ⁄2 𝐴

es de Variables separables

EJEMPLO 3

𝑟=

Un tanque en forma de cono circular recto invertido (el vértice hacia abajo), tiene una fuga de agua en su vértice. El tanque mide 20 ft de altura y 8 ft de radio superior (r0); además el agujero circular tiene un radio de 0.16 ft. Determine:

8ℎ 2ℎ = 5 20

(0.16)2 × 8√ℎ 𝑑ℎ =− 4 2 𝑑𝑡 25 ℎ

𝑑ℎ −3 = −(0.16)2 × 50ℎ ⁄2 𝑑𝑡

A. La altura (h) del agua que se fuga del tanque en cualquier instante (t)

𝑑ℎ

−3 ℎ2

B. Si el tanque al principio está lleno, ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?

= −(0.16)2 × 50𝑑𝑡

3

∫ ℎ 2 𝑑ℎ = ∫ −(0.16)2 × 50𝑑𝑡 5

ℎ2 = −(0.16)2 × 50𝑡 + 𝐶 5 2 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐶, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛: 𝑡 = 0 → ℎ = 20 5

202 = −(0.16)2 × 50(0) + 𝐶 5 2 𝐶 = 715,5417 5

Se expresa h en función del tiempo: h(t) 𝑑ℎ 𝑑𝑡

=−

𝐴0 √2𝑔ℎ 𝐴𝑠

𝐴0 = 𝑐𝑡𝑒 𝑑ℎ 𝑑𝑡

=−

;

ℎ2 2 5 = −(0.16) × 50𝑡 + 715,5417 2 2

2𝑔 = 64 →

𝜋(0.16)2 √64ℎ

2

ℎ = (−3.2𝑡 + 715,5417 ) 5 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 ℎ = 0

𝜋𝑟 2

𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 ℎ 𝑐𝑜𝑛 𝑟:

𝑓𝑡 𝑔 = 32 ⁄𝑠 2

ℎ = (−3.2𝑡 + 715,5417 ) 5

𝑟 ℎ

=

8 20

2

0 = (−3.2𝑡 + 715,5417 ) 5 3.2𝑡 = 715,5417 𝑡 = 223,6068 𝑠𝑒𝑔 = 3,7268 𝑚𝑖𝑛

EJERCICIOS PROPUESTOS Aplique la ley de Torricelli para resolver los siguientes problemas: 1. Un tanque tiene la forma de un cilindro vertical; inicialmente contiene agua con una profundidad de 9 pies. Un tapón en el fondo, con forma circular de radio 1 pulgada, es retirado en el momento t = 0 horas. ¿Cuánto tardará el agua en vaciarse por completo? 2. Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al 4

hacer girar la curva y  x 3 alrededor del eje Y. Al medio día, se retira un tapón que está en el fondo, cuando la profundidad del agua en el tanque es de 12 pies. A la 1:00 p.m. la profundidad del agua es de 6 pies. ¿A qué hora estará vacío el tanque? 3. Un tanque cilíndrico de 5 pies de largo y 3 pies de radio está colocado con el eje en posición horizontal. Si se abre un agujero circular en el fondo con radio de 1 pulgada y el tanque inicialmente está lleno a la mitad de xileno ¿Cuánto tardará el líquido en vaciarse por completo? 4. Suponga que un tanque hemisférico con radio de 1 m, está lleno de agua, y tiene su lado plano como su fondo. En el fondo tiene un agujero de 1 cm de radio. Si este agujero se destapa a la 1:00 p.m. ¿a qué hora el tanque estará vacío? 5. Un tanque tiene la forma de un cono circular recto invertido (el vértice hacia abajo), tiene una fuga de agua en su vértice. Suponga que el tanque mide 20 pies de altura y 8 pies de radio, así como que el agujero tiene un radio de 2 pulgadas. Si el tanque está lleno al principio ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?

6. Suponga que se invierte el tanque cónico del problema anterior y que el agua sale por un agujero circular de 2 pulgadas de radio ubicado en el centro de la base circular. El tiempo que tardará en vaciarse desde que está llenó. ¿Es el mismo que para el tanque con el vértice hacia abajo del problema anterior?...