Calculo-integral - Formulario de Integrales basicas PDF

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Formulario de Integrales basicas...

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CECYT No. 4

GUÍA DE CÁLCULO INTEGRAL

GUÍA DE: CÁLCULO INTEGRAL

Índice 1. Presentación.

2

2. Antiderivada y Primitiva.

3

3. Integral Indefinida (Repaso).

3

4. Constante de Integración.

4

5. Integral Indefinida (Repaso).

4

6. Técnicas de Integración.

5

A. Método de Integración Por Partes.

5

B. Método de Integración Por Sustitución Trigonométrica.

6

C. Método de Integración Por Fracciones Parciales Simples.

7

7. Integral Definida.

7

8. Áreas de Superficies Limitadas Por Curvas Planas y Volúmenes de Sólidos de Revolución.

7

8.1 Área.

9

8.2 Volumen.

9

9. Calculo de Volúmenes de Sólidos de Revolución y de Área entre Curvas.

11

10. Longitud de Arco.

12

11. Trabajo.

12

12. Leyes de Crecimiento y Decaimiento

13

13. Integrales Dobles.

13

14. Bibliografía

14

1

CECYT No. 4

GUÍA DE CÁLCULO INTEGRAL

1. Presentación. El Cálculo Infinitesimal es una de las herramientas matemáticas más importantes desarrolladas por el hombre. Es la base de muchos campos de la ciencia, entre ellos la física, y su uso tiene una gran influencia en muchas áreas de la vida moderna: científicos, ingenieros e incluso economistas lo utilizan para crear modelos que se ajusten a las situaciones de diario. Se trata de una excelente arma para el estudio de la naturaleza. Como la mayoría de los grandes descubrimientos de la ciencia, el cálculo infinitesimal1 no surgió de la noche a la mañana, sino que es obra de muchos matemáticos de distintas épocas. Por sus contribuciones decisivas, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz se consideran sus padres con igualdad de derechos, pero en su época estos dos personajes sostuvieron una agria disputa por la prioridad. Esta polémica, quizá la más célebre de la historia de la ciencia, mostró lo mejor y lo peor de ambos personajes e influyó de manera determinante en la evolución posterior de las matemáticas en Europa. En lo que a la disputa sobre la prioridad se refiere, hoy casi todos los estudios están de acuerdo en que Newton y Leibniz desarrollaron paralelamente el cálculo sin plagiarse: seguramente Newton antes que

Leibniz, aunque púbico su trabajo mucho después.

Polémicas al margen, lo cierto es que ambos fueron capaces de construir los sólidos cimientos del edificio que es el cálculo infinitesimal. Porque a diferencia de lo que ha ocurrido con otras teorías científicas, parece difícil que el cálculo vaya a sufrir un profundo cambio en el futuro. Si Leibniz y Newton levantaran la cabeza, estarían orgullosos de que el cálculo infinitesimal hoy en día siga siendo en esencia igual a lo que ellos mismos desarrollaron… aunque no deberían estarlo tanto de la polémica que mantuvieron y sus consecuencias (Daniel Martín Reina2 2007). Consideremos aquí que, al igual que en la aritmética hay operaciones mutuamente inversas, en el cálculo pasa la mismo. La operación inversa del Cálculo Diferencial es el Cálculo Integral y viceversa. Es decir dada la diferencial, encontrar la función primitiva de la expresión diferencial dada. 1

En 1665 Newton sentó las bases del cálculo infinitesimal en torno al novedoso concepto de fluxión, lo que hoy en día se conoce como derivada, la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. 2 Revista ¿cómo ves? Así fue Newton vs. Leibniz, páginas 26-29.

2

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2. ANTIDERIVADA Y PRIMITIVA 1. Encuentre la Antiderivada de cada una de las siguientes funciones. a. f(x)= x2 - 3x +5

b. f(x)= 17x6 - 3x4 – 43x2 – 8

d. f(x)= x2 (x3 – 7x2 +3x+5)

e. f(x) 

5x7  4x 3 x2

c. f(x)= x78 + 3x96 – 2x100 5x 2  4 x x

f. f(x) 

2. Encuentra la primitiva de: b) y   Csc 2

a) f (x)  2 x 3  x 2  6 x

2

x 2

3

c) m  x 3  x 2 10

3. INTEGRAL INDEFINIDA 3. Resuelva las siguientes integrales.





i)  x 3  x  2 dx

ii)



v)

e d

 a  be

ix) 

 x  4 dx 2x  3 2

 5x 5  xiii)    dx 5 5 x   3 3 x  x dx xvii)  x2  1 senxdx xxi)  1  cos x ex  senx dx xxv)  e x cos x









xxix)  x2 e x dx 3

xxxiii)  xxxvii)

sen x dx x dx

15  2 x  x xli) cos send 2



2x  3dx

x  3x x 2  2 dx vi)  x 1 1 x)  dx 10 x  7 t dt xiv)  4 2 3t  1







xviii) 



xi)

x 2

3

3



2dx 2  2x

x



 2 dx x 2

2

dx x 9 1 xxiii)  dx x.ln x 3dx xxvii)  x e

xix) 

13 x 2 x

2

xxii)  x 2 e 4 x3 dn xxvi) 



xv) 

4 x  3dx 3

2 x  3dx



vii)  x  5 . x 2dx



sec 2 tg2 d 3sec 2  2

2

xxx)  cos6  dxdx

xxxi)  csc 2 9  6 x dx

3dx x  8 x  25  x  1 dx xxxviii)  1  x2 xlii)  sen 36 x. cos 6 xdx

xxxv) 

xxxiv)  2

iii)

2

2

sen 2xdx 3  cos 2 x

xxxix)  cos 4 xsen 3 xdx xliii)  ctg 3 2 x csc 2 xdx 3

iv)

 x

viii) 

2



5

 4 2 x.dx 2 xdx

6  5 x2 2x  7 xii)  dx x3 3

xvi) 

dx 2 3x

xx) 

5xdx

1  x4 cos t xxiv)  dt sent dx xxviii)  16  9 x 2 dx xxxii) 2 x  4x  3 dx xxxvi)  2x  x 2 xl)  sen 2 cos d

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4. CONSTANTE DE INTEGRACION. dy =3x2+1, dx

y=4, x=1.

dy 1 =  2x , dx x 2

y=5, x=1.

a. Determinar Y si

b. Obtenga Y si

4. Halla la ecuación de la función cuya tangente tiene una pendiente de x3-2/x2+2 para cada valor de x y cuya gráfica pasa por el punto (1,3). 5. Encuentra la ecuación de la función cuya gráfica tiene un mínimo relativo en x=1 y un máximo en x=4. 6. Se estima que dentro de t meses la población de un cierto pueblo estará cambiando a un ritmo de 4+5t2/3 personas por mes. Si la población actual es de 10,000 ¿Cuál será la población dentro de 8 meses? 7. Un estudio ambiental de una cierta comunidad sugiere que dentro de t años el nivel de monóxido de carbono en el aire estará cambiando un ritmo de 0.1 t+0.1 partes por millón por año. Si el nivel actual de monóxido de carbono en el aire es de 3.4 partes por millón, ¿Cuál será el nivel dentro de tres años? 8. El valor de reventa de una cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo que cambia con el tiempo. Cuando la maquinaria tiene t años, el ritmo al que esta cambiando su valor es 220(t-10) dólares por año. Si la maquinaria se compro nueva por 12 000 dólares, ¿Cuánto valdrá 10 años después? 9. Se lanza una bola hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies/seg., y desde una altura inicial de 80 pies. a) Halla a la función posición que describe la altura s en función de tiempo t. b) ¿Cuándo llega la bola al suelo? (Aceleración de la gravedad= –32 pies/s2) 10. Hallar la función cuya la primera derivada sea 3x2-2x+5, y tenga el valor 12 cuando x=1. 11. Determinar la ecuación de la curva de la segunda derivada cuya tangente en cada punto tenga de pendiente 2x. 5. INTEGRAL INDEFINIDA (Repaso). 12. Obtenga las siguientes integrales.

4

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a) 

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4 dx 2  5x

x2

b) 

dx 3

9  2x sen 4 xdx f)  8  cos 4 x

3

1  e)  t 2  2  dt t  

5e x  4 dx ex 2x  5 m)  2 dx x  5 x 10

c) 

tdt 5t 2  4

g) 

x3  3x dx x2  x

e 2x dx e 2x  3 9 sen2 xdx n)  3  3 cos 2 x2

k) 

p)  sec 9t tg 9tdt

q)  tag4 xdx

r) 

t)  sen 2 xdx

u) 

i) 

x) 

dx

ds 81  36s

2

1  e 2 x dx 1  e 4 ak)  3 cos 2 5 xdx x

ag) 

sec 2 7 xdx

l) 

3  2 tg 7 x

3x  7 dx x 2

o) 

ñ)  4 sen 2 t cos tdt 24 dt

11ds cos 2 s

s)  cos3  4sds

15  2u  u 2

sen 2 t csc2 3x dx v)  3  ctg 3x 4dx z)  9  x2

dt 4t  4t  5

ae)  x x 2 1 dx

af) 

1   ah)  x 8   4x dx x   3 al)  x x  4 dx

ai)  x5 x2  4 dx

aj)  x x 1 dx

am) 8 cos 3 xdx

an)  11sen 3 2 xdx

sen  d

y) 

x x

ac) 

j) 

2

5   d)   x   dx x  5dt h)  et

ad) 

 2 du

2

w)  ab) 

 5dt t  14t  58 dx 2

2x  x 2 13dx



x 1 x



2

6. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN A. Calcular las siguientes integrales utilizando el Método de Integración por partes. a.  nxdx

x b.  xsen dx 2

t .  arc csc dt 2

h.  x arctg xdx

m.  3xsen4 xdx

x n. 11 x cos dx 3

q.  5 x 2 e 21x dx

2 4x r.  x 2sen dx s.  sec 3 12 xdx 5 3

v.  2 sec 3 4xdx

12 x 9 dx w.  4arcsen xdx x.  x 2 cos 7 5

2 d.  x nxdx

e.  arcctg xdx

2 x i.  x e dx

j.  e cos  d

2 k.  x cos xdx

ñ.  n4 xdx

o.  3 x n9 xdx

p.  7 x

t.  arctg5 xdx

u.  4 e2 x cos 9 xdx

2 c.  x sec xdx

5

y.  csc 3xdx

4

z.  x 3 e

f.  arcsec d 

x 13dx

2x

3

dx

l.  xe

11x

dx

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ab. 

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nxdx

x 1

n x 1dx x1

ac. 

2

xe x dx

ad. 

ae.  e  t cos tdt

1 x 

2

B. Calcular las siguientes integrales utilizando el Método de Integración por Sustitución Trigonométrica, de expresiones que contienen radicales de la forma:

a 2  u 2 , a2  u 2 , u2  a 2 . Tipo de raíz

2

a u

Triangulo rectángulo

función

u tan z  a

2

Identidad trigonométrica

Función auxiliar

a2  u2 u z

sec z 

hip. cat .adyac.

2 2 sec A  1  tan A

cos z 

cat.adyac. hip.

2 2 sen A  cos A  1

a

a

2

a u

2

u -a

u a

sen z 

2

sec z 

2

u a

u

z a 2  u2

u u 2 - a2

tan z 

cat. op. cat. adyac.

sec2 A  1  tan

2

A

z

a En los dibujos de los triángulos la raíz que está encerrada en el cuadro se calcula con el teorema de Pitágoras.

a.  4  x 2 dx

f. 

k. 

16  x 2 dx x2

7dx x2 3

b. 

g. 

l. 

x 2  25 dx x 33 dx 9 x 2 14dx

x2 x2  7

c. 

h. 

m. 

dx x

2

64  x

2

x 2  81 dx x

dx

4  x  2

6

3

2

d. 

dx 49  x

2

e. 

i.  121  x 2 dx

j. 

36  x 2 dx 2 x2

ñ. 

n. 

11dx x

2

4x2

23 dx

9  x  2

3

2

21dx x 2 11

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o. 

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3dx x

16  x

2

2

p. 

x 1 25  x

2

q. 

dx

36  x 2 dx x

s.  x 3 7  x 2 dx

r.  9  x 2 dx

C. Calcular las siguientes integrales utilizando el Método de Integración Descomposición en Fracciones Parciales simples. 3 x 1 dx x  4 x 5 x 2  8 x 1 dx e.  x 3 x x 7 dx i.  2 6x  x  1 8 x dx m.  3 x 4 x 2 2x3  x  3 dx . p.  2 x2 1

a. 

2



1  2x dx x  7x  10 x 3 7 dx g.  3 x  9x x 5 dx k.  x  12 x  2 2 x  3dx ñ.  3 x  x 2  2x

17 dx  3x  4 3x  2 dx f.  x  2 x 1x 1 4 xdx j.  2 5x  18x  9 x 3 dx n.  3 x x 2

b.

x

c. 

2

2

por

 2dx x  6x  5 2x3 dx h.  3 x  x 2  6x dx l.  3 x  6x 2  9x 4 dx o.  3 x 4 x

d. 

2



7. INTEGRAL DEFINIDA 13. Obtén las siguientes integrales definidas 1

 2 x

a)

2



 x dx 3

1

10

6 2

i)

x 1

2

m)

dx 9

j)

k)

2

2



2

3



ñ)

n)  x 1  x dx 0



h)

x 2  2 dx

5 8

x dx

1

0

1

 1  x

dx

3

4

 3  2 x  x  dx

x 2

2

dx g)  2 x 4 2

 /2



e

d)

2

3

 2  x  dx 0

 dx  c)    x 1 

f)  senxdx

2

3

4

1  1 b)   2  3 dx x  3  x 3 / 4

dx x 2



e)

1

 dx  0  1  x dx

l)



1  3 x dx

1

2





o)  x 2 x 3  1 dx 0

8. ÁREAS DE SUPERFICIES LIMITADAS POR CURVAS PLANAS Y VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

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1. Encuentre el área de la región R bajo la curva y  x 4  2x 3  2 entre 2. Determinar el área bajo la curva

y  f ( x)  x 2

3. Hallar el área limitada por la parábola

entre

y  x2  3x

x  1 y x  2

x 2 y x 3

y la recta

yx

4. Calcule el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones

y

y  x2

y x

5. Hallar el área entre la parábola y  x 2  6x  5 y la línea

y x 5

6. Encuentre el área de la región acotada entre las gráficas de y  x 2  6 y

y  2x  3  0

7. Hallar el área de la región limitada por el eje x , la curva y  6x  x 2 y las líneas verticales x 1 y x  4 8. encuentre el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones 2 y 2  x  4 y x  y2 f ( x)  x 2  1 9. Sea Calcule el volumen del sólido generado al girar la región bajo la gráfica de f entre 1 y 1 alrededor del eje x .

10. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por la curva y  x3 el eje de las y y la recta y  3 en torno del eje de las y 11. encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las parábolas y  x2 y y 2  8x alrededor del eje de las x 12. determinar el volumen del sólido que se forma al hacer girar alrededor del eje región limitada por las curvas y  x2 y y  2  x 2 13. Hallar el volumen que se forma al hacer girar alrededor del eje y la curva y  x2 , el eje y y la recta y  4 14. La región acotada por las gráficas x 2  y  2 , 2 y  x  2  0 , alrededor del eje x . Calcule el volumen del sólido resultante.

gira alrededor del eje

y

x0

y

.Calcule el volumen del sólido resultante.

8

la

el área limitada por

15. La región contenida en el primer cuadrante acotada por las gráficas de y  2x

x

x 1

y

1 3 x 8

gira

y

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8.1 ÁREA 1. Escriba la integral definida que conduzca a obtener el área de la región dada. (Calcule el área). 2

x =2-y-y

Y = 2 -x

2

3

2

Y =x

2. Encuentre el área de la región encerrada entre la curva y = x 2 + 3 y x  1 y x  2 y el eje x 3. Determinar el área bajo la curva y= -x2 +3 entre x = - 1 y x= 1 y el eje x. 4. Hallar el área limitada por la parábola y  x2  3x y la recta y  x y  x2 y 5. Calcule el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones y x

6. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de y =x 2 +2, y = -x , x= 0, x=2. 7. Obtenga el área encerrada entre y = - x 2 +2x+3 y el eje x.

8.2 VOLUMEN 1. Calcule el volumen del sólido que se forma al girar la región dada alrededor del a) eje x b) el eje y.

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2. Calcule el volumen del sólido que se forma al girar la región dada alrededor del eje y.

3. Encontrar el volumen generado por la elipse x.

9x 2 + 16y 2 = 144, gira alrededor del eje

4. Hallar el volumen del sólido formado al girar alrededor del eje x, la región limitada por  la gráfica de f( x)  sen x y el eje x( 0  x  ). 2

2 2 5. Suponga que el circulo x  y  1 gira al rededor del eje y. Calcule el volumen del sólido resultante.

6. Sea R la región limitada por y= 4 -x 2 y y=0. Calcule el volumen de los sólidos obtenidos cuando R gira alrededor de : a)el eje y b) la recta y = - 3 c) la recta y = 7 7. Calcule el volumen del sólido que se forma al hacer girar la región limitada por y = 3- x , el eje x y el eje y. Cuando la región gira alrededor de la recta dada. a) eje y

b) eje x

c) y=3

8. Calcule el volumen del sólido que se forma al girar la región dada alrededor del eje x.

9. Ob te nga el vol ume n que se fo rma al gi r ar la re gió n e n cerra da e ntre la s curva s y= x 2 , y=4 x-x 2 al re de do r d el e je y.

10

CECYT N...