Formulario de derivadas e integrales UAN PDF

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Universidad Autónoma de Nayarit Unidad Académica de Ciencias Básicas e Ingenierías Programa Académico de Ingeniería Mecánica Cálculo Diferencial Fco. Javier Jara Ulloa

PRESENTACIÓN El presente formulario es un material de apoyo para los estudiantes de cálculo diferencial e integral del Programa Académico de Ingeniería Mecánica de la Unidad Académica de Ciencias e Ingenierías de la UAN. Su objetivo es brindar las herramientas mínimas necesarias para los cursos de cálculo diferencial e integral de dicho programa académico. Sin embargo, no se limita al uso de otras tablas o formularios que puedan coadyuvar a la consolidación de los estudiantes en el manejo y aplicación de las fórmulas. Está constituido por fórmulas de diversas áreas, tales como: Elementos básicos del álgebra, con los productos notables y la factorización. Geometría plana, con las propiedades de los ángulos, triángulos, polígonos y la circunferencia. Trigonometría, presente con las fórmulas de senos, cosenos, tangente y las identidades trigonométricas básicas. Geometría analítica, con las ecuaciones de la pendiente, ángulo de inclinación, recta, parábola, circunferencia y elipse. Cálculo diferencial e integral, con las fórmulas de derivadas e integrales. Espero que este material sea de utilidad y contribuya al desarrollo de habilidades y competencias matemáticas para los estudiantes de ingeniería.

M.C. Francisco Javier Jara Ulloa

Universidad Autónoma de Nayarit Unidad Académica de Ciencias Básicas e Ingenierías Programa Académico de Ingeniería Mecánica Cálculo Diferencial Fco. Javier Jara Ulloa

ALGEBRA Productos notables (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2

Binomio al cuadrado

Triángulo de Pascal

(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦2

Binomios conjugados

(𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑦3 Binomio al cubo (𝑥 + 𝑦)4 = 𝑥 4 + 4𝑥 3 𝑦 + 6𝑥 2 𝑦 2 + 4𝑥𝑦 3 + 𝑦4 Binomio a la cuarta (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 Binomio con término común Factorización Leyes de los exponentes 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = (𝑥 + 𝑦)2 Trinomio cuadrado perfecto 𝑚 𝑛 𝑚+𝑛 Raíz del primer término, signo del segundo, raíz del tercer término y 1. 𝑎 𝑎 = 𝑎 la expresión se eleva al cuadrado 𝑎𝑚 2. 𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛 𝑎 2 2 𝑥 − 𝑦 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) Diferencia de cuadrados 𝑥 3 ± 𝑦 3 = (𝑥 ± 𝑦)(𝑥 2 ∓ 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) Suma y diferencia de cubos Desigualdades |𝑥| < 𝑎 ↔ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 |𝑥| > 𝑎 ↔ 𝑥 > 𝑎 ó 𝑥 < −𝑎 Fórmula general

𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Vértice o eje de simetría

𝑥=

𝑏 − 2𝑎

𝑥=

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

Raíces o intersecciones con el eje x

3. (𝑎 𝑚 )𝑛 = 𝑎 𝑚𝑛

4. (𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 5. 𝑎−𝑛 =

1

𝑎𝑛

6. 𝑎0 = 1 𝑎 𝑛

7. ( 𝑏) = 𝑎 −𝑛

8.- ( ) 𝑏

𝑎𝑛

𝑏𝑛 𝑏 𝑛

=( ) 𝑎

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TRIGONOMETRÍA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

ANGULOS ESPECIALES

Ángulo Grados Radianes

𝑠𝑒𝑛𝛼 =

𝑎

𝑐𝑜𝑠𝛼 =

𝑡𝑎𝑛𝛼 =

𝑎

𝑐𝑜𝑡𝛼 =

𝑠𝑒𝑐𝛼 =

𝑐

𝑐

𝑏

𝑏

𝑐𝑠𝑐𝛼 =

𝑐

0 30 45 60 90 120

𝑏

135

𝑏

𝑎 𝑐

𝑎

150 180 210 225 240 270 300 330 345 360

0 𝜋⁄ 6 𝜋⁄ 4 𝜋⁄ 3 𝜋⁄ 2 2𝜋⁄ 3 3𝜋⁄ 4 5𝜋⁄ 6 𝜋 7𝜋⁄ 6 5𝜋⁄ 4 4𝜋⁄ 3 3𝜋⁄ 2 5𝜋⁄ 3 11𝜋⁄ 6 7𝜋⁄ 4 2𝜋

Seno

Cosen o

Tangente

0 1/2

1 √3/2 √2/2 1/2 0 −1/2

0 √3/3 1

−√3/2 −1 −√3/2

−√3/3 0 −√3/3 1

√2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2

−√2/2

−√2/2

−√2/2 −1/2

0 −1/2

−√3/2 −1 −√3/2 −1/2 −√2/2 0

0

1/2

√3/2 √2/2 1

√3 ±∞ √3 −1

√3 ±∞

−√3

−√3/3 −1 0

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1 9.- sen 2   cos 2   1 1. csc  sen 10.- 1  cot 2   csc 2  2.-

3.-

4.-

1  sec  cos 1  cot  tan  1  tan  cot 

1  5.cos  sec 6.-

1  sen  csc

7.-

sen  tan  cos

8.-

cos  cot  sen

LEYES DE LOS EXPONENTES 1.- 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑀𝑁 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑀 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑁 𝑀

2.- 𝑙𝑜𝑔𝑏 ( ) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑀 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑁 𝑁

3.- 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑀𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑀

11.- tan 2   1  sec 2 

4.- 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 = 1

12.- 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 2𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 13.- 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼 2

14.- 𝑐𝑜𝑠

2

15.- 𝑠𝑒𝑛

𝛼=

2

𝛼=

2

1+𝑐𝑜𝑠2𝛼 2

1−𝑐𝑜𝑠2𝛼 2

5.- 𝑙𝑜𝑔𝑏 1 = 0 6.- 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑀 =

𝑙𝑛𝑀 𝑙𝑛𝑏

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FORMULARIO GEOMETRÍA ANALÍTICA 𝑦2 −𝑦1

𝑚=

Pendiente de la recta

𝑥2 −𝑥1

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 Ecuación de la circunferencia con centro en (h, k)

𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝛼

Angulo de inclinación

𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1𝑚

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Ecuación general de la circunferencia

Angulo de inclinación

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Ecuación pendiente – ordenada al origen

(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘) vértice en (h, k)

𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑦1 Ecuación punto – pendiente 𝑦= 𝑥

𝑎

𝑦2 −𝑦1

𝑥2 −𝑥1

𝑦

+ =1 𝑏

(𝑥2 − 𝑥1 ) Ecuación de dos puntos Ecuación simétrica

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Ecuación general de la recta

Si dos rectas son paralelas, entonces: 𝑚2 = 𝑚1 Si dos rectas son perpendiculares, entonces: 1 𝑚2 = − 𝑚1 Distancia entre dos puntos 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2

(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) vértice en (h, k)

Ecuación vertical de la parábola con Ecuación horizontal de la parábola con

𝑥 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Ecuación general de la parábola vertical 𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Ecuación general de la parábola horizontal (𝑥−ℎ )2

(𝑦−𝑘 )2

+ 𝑏2 = 1 Ecuación de la elipse con centro en (h, k). Si 𝑎 > 𝑏 es horizontal y si 𝑏 > 𝑎 es vertical 𝑎2

𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

Ecuación general de la elipse

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FORMULARIO - DERIVADAS

1.  y  c  y '  0 2.  y  x  y'  1 3.  y  u  v  y '  u ' v '

11 .  y  sin u  y '  u ' cosu 12 .  y  cosu  y '  u ' senu

4.  y  cv  y '  cv ' 5.  y  u  v  y '  u ' v  v ' u

14 .  y  cot u  y '   u ' csc2 u 15 .  y  secu  y '  u ' secu tan u 16 .  y  cscu  y '  u ' cscu cotu u' 17.  y  sen  1u  y '  1 u 2

6.  y  u n  y '  nu n1u ' 7.  y  x n  y '  nx n1 vu ' uv' u 8.  y   y'  v2 v 1 9.  y  x  y '  2 x u' 10.  y  u  y '  2 u

13 .  y  tan u  y ' u ' sec2 u

18.  y  cos 1 u  y' 

 u'

1  u2 u' 19.  y  tan  1u  y'  1  u2

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20.  y  cot1 u  y '  21.  y  sec1 u  y '  22.  y  csc1 u  y' 

u' 1 u2 u' u u2 1  u' u u2 1

23.  y  e u  y '  u ' eu 24.  y  a u  y '  u ' a u ln a u' 25.  y  ln u  y'  u u ' log e 26.  y  log u  y '  u

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FORMULARIO INTEGRALES

1.   (du  dv  dw)   du   dv   dw 2.   adv  a  dv 3.   dx  x  c 4.   u ndu 

u 1 c n 1 n

du  ln u  c u u a c 6.   a udu  ln a 7.   e u du  e u  c

5.  

8.   senudu   cos u  c 9.   cosudu  sin u  c 10 .   sec 2udu  tan u  c 11 .   csc2udu   cot u  c 12 .   sec u tan udu  sec u  c

13.   csc u cot udu   csc u  c 14.  tanudu   ln cosu  c  ln secu  c 15.  cotudu  ln sinu  c 16.   secudu  ln(secu  tan u )  c 17.   cscudu  ln(csc u  cot u )  c 1 du u  arctan  c 2 a u a a 1 u a du 19.   2  ln c u  a 2 2a u  a 1 a u du 20.   2 2  ln c 2a a  u a u du u 21.   2 2  arcsin  c a a u du 22.   2  ln(u  u 2  a2 )  c u  a2 u 2 2 a2 u a  u  arcsin  c 23.   a 2  u 2du  a 2 2 2 u a 2 2 u 2  a 2  ln(u  u 2  a 2 )  c 24.  u  a du  2 2 18.  

2

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Integrales de la forma ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒎 𝒖𝒔𝒆𝒄𝒏 𝒖𝒅𝒖 Caso I cuando m es un entero positivo impar Se separan en

INTEGRACIÓN POR PARTES ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 Usar la técnica del ILATE para escoger u I = Inversas, L = Logarítmicas, A = Algebraicas, Trigonométricas, E = Exponenciales

T=

INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Integrales de la forma ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒎 𝒖𝒄𝒐𝒔𝒏 𝒖𝒅𝒖 Caso I m o n es un entero positivo impar Se deja como exponente par y se emplea la identidad

𝑚−1 2 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑛−1 2 𝑠𝑒𝑛 𝑢) 2 𝑐𝑜𝑠𝑢

𝑠𝑒𝑛𝑚−1𝑢𝑠𝑒𝑛𝑢 = (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑢) 𝑐𝑜𝑠𝑛−1𝑢𝑐𝑜𝑠𝑢 = (1 −

Caso II m y n son ambos enteros no negativos pares Se emplean las identidades 1 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝛼 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 2 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 2 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 2

∫ 𝑡𝑎𝑛𝑚−1 𝑢𝑠𝑒𝑐 𝑛−1 𝑢 ∙ 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑎𝑛𝑢𝑑𝑢

Y se emplea la identidad 𝑡𝑎𝑛2 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 − 1, en 𝑡𝑎𝑛𝑚−1 𝑢 ∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 − 1)

𝑚−1 2

𝑠𝑒𝑐 𝑛−1𝑢 ∙ 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑎𝑛𝑢𝑑𝑢

Coso II cuando n es entero positivo par Se separa en ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑚 𝑢𝑠𝑒𝑐 𝑛−2 𝑢𝑠𝑒𝑐 2 𝑢𝑑𝑢

Y se emplea la identidad 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑢 , en ∫(1 + tan2 𝑢)

𝑛−2 2

𝑡𝑎𝑛𝑚 𝑢𝑠𝑒𝑐 2 𝑢𝑑𝑢

Caso III cuando m es par y n es impar Se escribe la integral en términos de 𝑠𝑒𝑐𝑢 y se emplea la integración por partes

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Caso I Contiene √𝒂𝟐 − 𝒖𝟐

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Caso II Contiene √𝒂𝟐 + 𝒖𝟐

Caso III Contiene √𝒖𝟐 − 𝒂𝟐

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INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES Caso I Factores lineales distintos

𝑝(𝑥) = (𝑎1 𝑥 + 𝑏1 )(𝑎2 𝑥 + 𝑏2 ) … (𝑎𝑛 𝑥 + 𝑏𝑛 )

Se descompone en:

𝐶1 𝐶𝑛 𝐶2 + ⋯+ + (𝑎1 𝑥 + 𝑏1 ) (𝑎2 𝑥 + 𝑏2 ) (𝑎𝑛 𝑥 + 𝑏𝑛 )

Caso II Factores lineales repetidos 𝑝(𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛

Se descompone en:

𝐶1 𝐶𝑛 𝐶2 + ⋯+ + (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 (𝑎𝑥 + 𝑏) (𝑎𝑥 + 𝑏)2

Caso III Factor repetido y factor distinto 𝑝(𝑥) = (𝑎1 𝑥 + 𝑏1 )(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛

Caso IV Factores cuadráticos distintos (𝑎1

𝑥2

+ 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 )(𝑎2

𝑝(𝑥) = + 𝑏2 𝑥 + 𝑐2 ) … (𝑎𝑛 𝑥 2 + 𝑏𝑛 𝑥 + 𝑐𝑛 )

Se descompone en:

𝐴𝑛 𝑥 + 𝐵𝑛 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 + ⋯+ + 2 2 (𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 ) (𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑥 + 𝑐2 ) (𝑎𝑛 𝑥 2 + 𝑏𝑛 𝑥 + 𝑐𝑛 )

Caso V Factor lineal repetido y uno cuadrático distinto 𝑝(𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 (𝑎1 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 )

Se descompone en:

𝐶1 𝐶𝑛+1𝑥 + 𝐷 𝐶𝑛 𝐶2 + ⋯+ + + (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) (𝑎𝑥 + 𝑏) (𝑎𝑥 + 𝑏)2

Caso VI Factores cuadráticos repetidos 𝑝(𝑥) = (𝑎1 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 )𝑛

Se descompone en:

𝐶1 𝐶𝑛+1 𝐶𝑛 𝐶2 + + ⋯+ + (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 (𝑎1 𝑥 + 𝑏1 ) (𝑎𝑥 + 𝑏) (𝑎𝑥 + 𝑏)2

𝑥2

Se descompone en:

𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝐴𝑛 𝑥 + 𝐵𝑛 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 +⋯+ + (𝑎1 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 ) (𝑎2 𝑥 2 + 𝑏2 𝑥 + 𝑐2 )2 (𝑎𝑛 𝑥 2 + 𝑏𝑛 𝑥 + 𝑐𝑛 )𝑛

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FÓRMULAS DE APLICACIÓN Áreas Área total bajo una curva Área entre dos curvas Volúmenes Volumen por rebanadas Sólidos de revolución

𝑏

𝐴 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎 𝑏

𝐴 = ∫𝑎 |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 𝑏

𝑉 = ∫𝑎 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

𝑉 = 𝜋 ∫𝑎 [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥

Longitud de arco Longitud

𝑏

𝐿 = ∫𝑎 √1 + [𝑓´(𝑥)]2 𝑑𝑥...