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El Concepto de Integral e introducción en calculo integral y Red Cálculo Integral...

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Tarea 1. El Concepto de Integral

Jullieth Andrea Murcia Norato Tutor: Jesús Armando Ortiz Romero septiembre 2021. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Ingeniería de Telecomunicaciones Calculo integral

INTRODUCCIÓN

Con esta actividad aplicaremos el conocimiento adquirido para integrales inmediatas, sumas de Riemann, teoremas de integración e integral definida y algunos teoremas en la solución de los ejercicios, adicional reforzamos el trabajo en equipo con diferentes cargos para fomentar el aprendizaje. El calculo integral es la rama de las matemáticas que se utilizan en las ciencias, tecnologías, ingenierías, etc.., que requieren de un trabajo sistemático y planificado, para cumplir el proceso fundamental de técnicas que permiten solventar problemas de los campos.

ACTIVIDAD Ejercicio 1 Integrales inmediatas. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas. Recuerde que no debe hacer uso de los métodos de integración (sustitución, integración por partes, etc.), y compruebe su respuesta derivando el resultado.

3

∫ ( x + 3 senx )dx Solución. 

Separamos cada termino con una integral, para resolverlas más sencillo.

3

∫ x dx+∫ 3 sen (x) dx 

Sacamos las constantes de las integrales.

3∫



1 dx +3 ∫ sen (x) dx x

Hallamos cada integral derivando.

∫ 3 ln|x|+∫ 3−cos( x) ∫ ( 3x + 3 senx ) dx ∫ 3∈|x|−3 cos ( x ) +C



Derivamos el resultado, comenzamos aplicando la regla de la diferencial

d d d (3∈|x |)− 3 cos( x ) + (C) dx dx dx Aplicamos las derivadas correspondientes de cada diferencial ' d' 3 d d' = − (−3 sen ( x ) )+ 0 dx x dx dx

d' 3 = +3 sen(x ) dx x Ejercicio 2. Sumas de Riemann. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann: 5

2

2

4

 Aproxime la integral definida (∫ √ x+ x +2)dx , mediante la suma de Riemann del punto izquierdo, con n=6. b

∫f

(x ) dx

a

Aproximamos la integral definida mediante la suma de Rieman del punto izquierdo, con n=6, esto significa que el área nunca va a hacer exacta, solamente será cuando n equivale a infinito.  Hallamos la base y/o

Δ x=

b−a n

Δx

de los rectángulos.

Δ x=

5− 2 3 = =0,5 6 6

 Sumamos el intervalo de

2≤ x ≤ 5 con el subintervalo de

Δx

Tengamos en cuenta que cuando es por el punto izquierdo comienza por derecho es por

x1

x 0=2

porque el límite de la integral inferior comienza desde 2 x 1=2+0,5=2,5 x 2=2,5+0,5 =3 x 3=3+0,5=3,5 x 4=3,5+ 0,5=4 x 5=4 +0,5=4,5

 Remplazamos los valores de x en la

f ( x 0 )= √ 2+

22 +2 =3 + √ 2=4.41 4

f ( x 1 )= √ 2,5+

f ( x 2 )= √ 3+

2,52 +2= √ 2,5 + 3,56 =5.14 4

32 +2= √ 3+4,25 =5.98 4

f ( x 3 )= √ 3,5+

x 0 y por el punto

2

3,5 +2= √ 3,5 + 5.06= 6.93 4

x2 f ( x )= √ x + + 2 4

f ( x 4 )= √ 4 +

42 +2=f ( x3) = √ 4 +6=8 4

f ( x 5 )= √ 4,5+

4,52 +2= √ 4+7.06= 9.11 4 5

 Luego sumamos y multiplicamos los resultados con la formula

0,5 ( 4.41 + 5.14 + 5.98+ 6.93 +8+ 9.11 ) =19.78 U 

f (x)∆ x ∑ i=0

2

Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para n=6, n=14 y compara con el resultado de la integral definida.



¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?

Podemos concluir que, al aumentar el número de rectángulos, el valor de

Δx

disminuirá y en

la suma hará que sean más rectángulos en la gráfica. Ejercicio 3. Teoremas de integración.

Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G′(�) de las siguientes funciones. Aplicar el siguiente Teorema de integración en cada ejercicio: d dx

(∫

b (x)

a (x)

)

f (t)dt =f (b(x ))⋅b ( ' ( x ) )−f ( a ( x))⋅(a ' ( x))

Ejercicio 3 x+6

F ( x )=

∫

x−2

Remplazamos el valor en

f (a) y f (b) f ( a )=

f ( a )=

f ( b )=

f ( b )=

x−2 2

(x−2) +1

dt

( a+b )2=a 2+2 ab+ b2

Aplicamos regla de binomio al cuadrado



t dt t +1 2

x−2 dt x −4 x +5 2

3 x+6 dt (3 x +6)2+1 3 x+6 2

9 x +36 x +37

dt

Aplicamos el teorema indicado f ( g ( x ) )=

3 x +6 x−2 ⋅(1) ⋅ (3 )− 2 9 x +36 x + 37 x −4 x+5 2

f ( g ( x ) )=

x−2 9 x +18 − 2 9 x +36 x +37 x −4 x +5 2

Multiplicamos en x 9x 2 (¿¿ 2+36 x +37)( x −4 x+5) (9 x+ 18 )( x2−4 x +5 )−( x−2 )( 9 x 2 +36 x+37 ) f ( g ( x ) )= ¿

9x (¿¿ 2+ 36 x + 37)( x 2−4 x + 5) 9 x 3−18 x 2−27 x +90−9 x 3 +18 x2 +35 x +74 f ( g ( x ) )= ¿

9x 2 (¿¿ 2+ 36 x + 37)( x −4 x + 5) 2 36 x + 8 x +164 f ( g( x ) )= ¿

Ejercicio 4. Integral definida. Desarrollar el ejercicio que ha elegido por medio del segundo teorema fundamental del cálculo, utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas, recuerde que no debe hacer uso de los métodos de integración (sustitución, integración por partes, etc. x (¿¿2−9) dx (x−3) 2

∫¿ −2

Solución.  2

∫ −2

Aplicamos diferencial de cuadrados 2

(x+ 3)( x−3 ) =∫ (x +3)dx x−3 −2



Aplicamos la regla de suma 2

2

−2

−2

∫ (x )dx+∫ (3)dx 

Hallamos cada integral.

2

2

2 ∫ x2 dx +∫ (3 x)dx −2 −2

2

∫ −2



(

)

x2 +3 x dx 2

Aplicamos el teorema indicado y remplazamos

b

∫f

(x ) dx = F ( b ) −F (a)

a

(−2 ) 22 +3( 2 ) − +3 (−2) 2 2 2

2 + 6 −2+ 6=12 U

2

Después de calcular la integral realizar los siguientes pasos: •

Graficar la función y sombrear la región solicitada que acaba de integrar utilizando el programa Geogebra.

• Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior

Referencias Beto. E. (2020). Integrales Inmediatas (Todos los casos paso a paso). Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=8vJhOs5yP4w Julio profe (2016). TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO - Ejercicio 1. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=JKYFrAzBpvE Montero. E. (2017). INTEGRALES INMEDIATAS. Ejercicio 1. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=wtgnI8EXf8w Matefacil. (2017). Suma de Riemann, paso a paso, MUY FÁCIL. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=ZSjzuFpBoCo Marta (2019). Reglas de integración de integrales inmediatas. Recuperado de: https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/integralesinmediatas.html Ortiz, F., & Ortiz, F. (2015). Cálculo Integral. Grupo editorial patria. (pp. 36-42). Recuperado de: https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39469?page=1...