Aplicaciones DE LAS Curvas DE Nivel A DI PDF

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Curvas de Nivel, aplicaciones...

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APLICACIONES DE LAS CURVAS DE NIVEL A DISTINTOS CAMPOS DEL CONOCIMIENTO

CALCULO MULTIVARIABLE

PROFESORA: LILIANA BARON

ESTUDIANTES: ARLIS TAPIA VASQUEZ WILSON DE LOS ANGELES MOYA RIOS JAVIER ALEXANDER VILLERO ARAUJO

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS Y EDUCACION

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

VALLEDUPAR

2017

El concepto de curva de nivel es uno de los más importantes del cálculo y se aplica en varios campos del conocimiento. Se puede decir que una curva de nivel es el conjunto de puntos en el plano donde la función tiene un valor constante. También es definida como aquella línea que en un plano cartesiano une todos los puntos que tienen igualdad de condiciones y de altitud. El conjunto de curvas de nivel o la representación en un dibujo donde se hallen varias de ellas se le suele llamar mapa de contornos.

APLICACIÓN A LOS CAMPOS DE CONOCIMIENTO

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TOPOGRAFÍA

En la Topografía se usan curvas de nivel para elaborar mapas topográficos y así representar gráficamente el relieve del terreno, estos llamados mapas topográficos son usados a su vez en la planificación y ejecución de obras civiles, proyectos agrícolas y pecuarios, ordenamiento territorial y demás. Un mapa topográfico bien elaborado constituye una base de información indispensable en la planificación, ejecución y control de todo proyecto. De un mapa topográfico con curvas de nivel podemos determinar la cota o elevación de cualquier punto sobre el plano, la pendiente entre dos puntos, estimar los volúmenes de corte y relleno de material requeridos en la ejecución de una obra, proyectar trazado de vías, etc. Un ejemplo de lo que se hace en topografía, para tener alguna idea, puede ser al momento de calcular pendientes así:  La pendiente de un terreno entre dos puntos ubicados en dos curvas de nivel consecutivas es igual a la relación entre el intervalo de las curvas de nivel o equidistancia y la distancia longitudinal que los separa (figura 1). Figura 1 Pendiente del terreno

La figura 1 representa un plano de curvas de nivel con equidistancia e = 5 m.

Ecuación 1. P=

e ∗100 D

en donde: P = pendiente del terreno en %. e = equidistancia entre curvas de nivel. D = distancia horizontal entre los puntos considerados.

Como los mapas topográficos representan la proyección del terreno sobre el plano horizontal, todas las distancias que midamos sobre el son distancias en proyección horizontal. Para calcular la pendiente del terreno entre los puntos A y B de la figura 1, medimos directamente con el escalímetro, a la escala indicada, la distancia AB (20,0 m) y aplicamos la ecuación 1. e 5 P= ∗100= ∗100=25 % 20 D

Si en la figura 1, en vez de calcular la pendiente entre A y B, calculamos la pendiente entre A y B’, vemos que para salvar el mismo desnivel de 5 m la distancia horizontal es de 40 m por lo que la pendiente entre A y B’ será,

e 5 P= ∗100= ∗100=12,5 % 40 D

Como la pendiente entre dos puntos es inversamente proporcional a la distancia horizontal, la recta de máxima pendiente entre dos curvas consecutivas se obtendrá para la menor distancia entre las curvas, siendo determinada por una línea tangente a las dos curvas consecutivas, como se muestra en la figura 1 por la línea AC. (Capitulo 9, Libro Topología Plana, Prof. Leonardo Casanova, Universidad de los Andes en Venezuela).

Los conceptos de topografía para aplicar las curvas de nivel, se usan en combinación con otras muchas áreas. 

AGRICULTURA

Las curvas de nivel son también usadas en la Agricultura en lo que se llama la nivelación del terreno para la siembra y trasplante de cultivos hortícolas. La nivelación del terreno consiste en modificar el relieve hasta conseguir pendiente más uniformes para así mejorar el drenaje del suelo, mejorar la eficiencia del riego y obtener un uso más efectivo de los equipos laborales. Al realizar planos topográficos del terreno se obtiene información sobre la configuración física del terreno. En los proyectos agrícolas definen las curvas de nivel como líneas imaginarias que forman anillos uniendo los puntos con igual altura respecto al nivel del mar. Cada curva tiene una altura diferente y la distancia entre dos curvas contiguas es siempre constante, llamando a esta constante “equidistancia”, la cifra que indica la altura a la que se encuentra cada curva se le llama “cota”. En estos planos se representan los diferentes accidentes del terreno simbolizados por curvas de nivel. También puede dar otras informaciones, como la situación de ríos, lagos, embalses, caminos, carreteras, etc.

Una característica de estos planos es que cualquier punto de este se puede encontrar por medio de coordenadas. Se usa un sistema de referencia que indica las medidas angulares de latitud y longitud de un punto terrestre por lo que no existirán dos puntos que tengan la misma coordenada. La escala de un plano es la relación proporcional que existe entre la dimensión real del terreno y la dimensión del plano. Se usan dos tipos de escala: La escala numérica que se representa por una fracción (1:100), donde el primer valor indica distancia en el plano y el segundo la correspondencia con la distancia real. La escala grafica es una representación dibujada de la escala.

En conclusión, de forma general se siguen dos pasos que son:  Estudio de la topografía: Forma y superficie de la parcela.  Cálculos de nivelación: Determinar las pendientes, la altura de corte o de relleno y el volumen de tierra a remover.

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ECONOMIA

En economía el concepto de curva de nivel se aplica a lo que se le llama “Curva de Indiferencia”. Las curvas de indiferencia o de "preferencia" se definen como los conjuntos de puntos en el espacio de combinaciones de bienes para los que la satisfacción del consumidor es idéntica, es decir que, para todos los puntos pertenecientes a una misma curva, el consumidor no tiene preferencia por la combinación representada por uno sobre la combinación representada por otro. La satisfacción del consumidor se caracteriza mediante la función de utilidad en la que las variables son las cantidades de cada bien representadas por el valor sobre cada eje. Las preferencias del consumidor le permiten elegir entre diferentes canastas de consumo. Si se le ofrecen a un consumidor dos canastas diferentes, elegirá la que mejor satisface sus gustos. Si las dos satisfacen sus gustos de igual manera, se dice que el consumidor es indiferente entre las dos canastas. La teoría de las curvas de indiferencia fue desarrollada por Francis Edgeworth

en su libro Mathematical Psychics: an Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences(Física matemática; un ensayo sobre la aplicación de las matemáticas a las ciencias morales), 1881, Vilfredo Pareto las dibujó por primera vez en su libro "Manuale di economia politica con una introduzione alla scienza sociale" (Manual de economía política con introducción a las ciencias sociales), 1906. La representación gráfica que muestra el conjunto de curvas de indiferencia para un consumidor, asociadas a distintos niveles de utilidad, se denomina mapa de indiferencia. Los puntos que muestran diferentes niveles de utilidad están asociados con distintas curvas de indiferencia. Una curva de indiferencia describe las preferencias personales y así puede variar de una persona a otra. Las curvas de indiferencia representan las preferencias del consumidor y de forma genérica se pueden sacar conclusiones sobre ellas que son trasladables a las propiedades de las curvas de indiferencia: 1. Se prefieren las curvas más alejadas del origen. Los consumidores, dado el axioma de insaciabilidad, prefieren cestas de consumo con una cantidad mayor de bienes que otra con menos. Esta preferencia se refleja en las curvas de indiferencia. Como muestra la figura 1, las curvas de indiferencia más altas representan mayores cantidades de bienes que las más bajas, por tanto, el consumidor prefiere las curvas de indiferencias más altas. 2. Son decrecientes. Una disminución en el consumo de un bien se compensa con un incremento en el consumo del otro bien. También se podría expresar de forma que el incremento del consumo de un bien (X) no produce un incremento de la satisfacción total del individuo si se compensa con una disminución del consumo del otro bien (Y). Las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa. La pendiente de una curva de indiferencia refleja la tasa a la cual el consumidor está dispuesto a sustituir un bien por el otro. En la mayoría de los casos, al consumidor le agradan ambos bienes. Por consiguiente, si la cantidad de un bien se reduce, la cantidad del otro bien se debe aumentar para que el consumidor se sienta igualmente feliz. Por esta razón, la mayoría de las curvas de indiferencia tiene pendiente negativa. 1. Carácter transitivo de las curvas del que se deriva que las curvas no se cruzan y que por cada punto del espacio pasa una única curva de indiferencia. Para ver por qué no se cruzan, suponga que dos curvas de indiferencia lo hacen. Entonces, debido a que el punto A se encuentra en la misma curva de indiferencia que el punto B, los dos puntos harían que el consumidor se sienta igualmente feliz. Además, debido a que el punto B se encuentra en la misma curva de indiferencia que el punto C, estos dos puntos harían al consumidor igualmente feliz. Pero estas conclusiones implican que los puntos A y C también harían al consumidor igualmente feliz, aun cuando el punto C tiene más de ambos bienes. Esto contradice nuestro supuesto de que el consumidor siempre prefiere más de ambos

bienes que menos. Por esta razón, las curvas de indiferencia no se pueden cruzar. 2. Son curvas convexas hacia el origen, lo que significa que valoramos más un bien cuanto más escaso es. Cuando disponemos en abundancia de un bien, estamos dispuestos a prescindir de una unidad a cambio de poca cantidad del bien alternativo. Sin embargo, cuando tenemos que renunciar a algo que ya es escaso, solo mantendremos nuestro nivel de utilidad si cada unidad a la que renunciamos la compensamos con cantidades crecientes del otro bien. La pendiente de una curva de indiferencia es la tasa marginal de sustitución, es decir, la tasa a la cual la persona está dispuesta a intercambiar un bien por otro. La tasa marginal de sustitución depende usualmente de la cantidad de cada bien que el consumidor está consumiendo actualmente. En particular, debido a que las personas están más dispuestas a intercambiar los bienes que poseen en abundancia y menos dispuestas a intercambiar aquellos bienes de los que tienen poco, las curvas de indiferencia son convexas al origen. Ejemplo: Las curvas de indiferencia entre dos bienes usando la función utilidad: U =0,5 ln x +0,5 ln y

 1er Paso

Cada curva de esta figura muestra cómo la utilidad aumenta a medida que le damos al individuo más del bien “x”, pero mantenemos su consumo del bien “y” fijo. Hay una curva con “y” fija en cada uno de los valores de y = 1, y= 2, y=3, y=4, y = 5. Podemos dibujar una figura similar en el espacio “y”, U en el que fijamos “x” en varios niveles. La pendiente de estas curvas en un punto viene dada por la derivada parcial de la función de utilidad con respecto a “x”. dU 0,5 = x dx Tenga en cuenta que este valor disminuye en x para que la pendiente de las curvas de utilidad se torne más plana en niveles más altos de x (las curvas son cóncavas). Esto se conoce como disminución de la utilidad marginal, cada unidad del bien x da al consumidor menos utilidad adicional que la última.

 2do Paso Al tomar estas curvas y trazarlas en el espacio tridimensional x, y, U produce una superficie 3d como se muestra en estas dos figuras siguientes. Dada cualquier combinación de x, y podemos leer de esta figura el nivel de utilidad correspondiente. Los puntos más altos de esta superficie representan mayores niveles de utilidad (valor mayor en el eje U). Por lo tanto, el consumidor racional normalmente tratará

de consumir la combinación de x, y asociada con el punto factible más alto.

 3er Paso

Las líneas en la superficie de esta figura son contornos (o curvas de nivel). Al igual que las líneas de contorno en un mapa, representan puntos en la superficie que son de igual altura, en este caso igual utilidad. Si dos puntos se encuentran en el mismo contorno, entonces las dos parejas x, y asociados con esos puntos otorgan al individuo un nivel igual de utilidad.

 4to Paso

Si trazamos las líneas de contorno en el espacio bidimensional x, y obtenemos la curva de indiferencia conocida que representa combinaciones de x ^ y asociadas con niveles iguales de utilidad. Para dejar en claro el proceso, en primer lugar, comprobamos que la utilidad marginal es decreciente respecto a las dos variables (requisito para que las curvas sean convexas y exista equilibrio). A continuación, creamos una representación de la función en la que Z sea la utilidad. Finalmente proyectamos las curvas de nivel en el plano XY. Dentro de la teoría de la elección del consumidor que investiga el comportamiento de un agente económico en su carácter de consumidor de bienes y servicios, esta herramienta es extremadamente útil para facilitar el análisis de las consecuencias de las variaciones de los precios....