Aplikasi Diferensial Harga maksimum dan minimum Aturan L'hospital Grafik fungsi rasional PDF

Preview

Summary

Aplikasi Diferensial Harga maksimum dan minimum Aturan L’hospital Grafik fungsi rasional Nilai Maksimum dan Minimum  Nilai maksimum dan minimum dapat didefinisikan sebagai berikut, apabila S adalah daerah asal f, dan memuat titik c, maka dapat dikatakan bahwa :  f(c) adalah nilai maximum f pada S ...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Aplikasi Diferensial Harga maksimum dan minimum Aturan L'hospital Grafik fungsi rasional Agus Nugraha Ginarsa

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

DIFERENSIAL MUHAMMAD PRATAMA

Mat hemat ical Business: Limit and Different ial Handout Ginanjar Syamsuar Limit Fungsi di Suat u T it ik dan di Tak Hingga Sifat Limit Fungsi unt uk Menghit ung Bent uk Tak Tent u Muhammad Irham

Aplikasi Diferensial

Harga maksimum dan minimum Aturan L’hospital Grafik fungsi rasional

Nilai Maksimum dan Minimum 

Nilai maksimum dan minimum dapat didefinisikan sebagai berikut, apabila S adalah daerah asal f, dan memuat titik c, maka dapat dikatakan bahwa :   

f(c) adalah nilai maximum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika f(c) adalah nilai maximum atau nilai minimum.

Nilai Maksimum dan Minimum 

Contoh :

y  f ( x)  1

x

dengan daerah asal S = [1,3]

Nilai Maksimum dan Minimum 



Teorema Nilai Maximum – Minimum Jadi f kontinu pada interval tertutup [a,b] maka f mencapai nilai maximum dan nilai minimum. Teorema Titik Kritis Andaikan f di definisikan pada selang (interval) I yang memuat titik c, jika f(c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah titik kritis, yaitu c berupa salah satu dari :  titik ujung dari I  titik stationer dari f (f’(c) = 0)  titik singuler dari f (f’(c) tidak ada)

Nilai Maksimum dan Minimum

Nilai Maksimum dan Minimum 

    

carilah nilai maximum dan minimum dari : f ( x)  2 x 3  3x 2 pada [-1/3,2] titik ujung adalah -1/3 dan 2: 2 titik stationer : f ( x)  6 x  6 x  0 untuk x = 0 dan x = 1 titik singuler tidak ada. f(1/3)=1; f(0)=0; f(1)=1; f(2)=-4 nilai maksimum adalah 1 (x = -1/3 atau x = 1) nilai minimum adalah -4 (x = 2)

Nilai Maksimum dan Minimum 

Kotak siku empat dibuat dari selembar papan, panjang 24 cm, dan lebar 9 cm, dengan memotong bujur sangkar pada keempat ujungnya dan melipat sisinya keatas, seperti gambar. Carilah ukuran kotak yang volumenya maximum. Berapakah volumenya ?

Nilai Maksimum dan Minimum 

Andaikan x adalah sisi bujur sangkar yang harus dipotong dan v adalah volume kotak yang dihasilkan, maka : 2 3

v  x(9  2 x)(24  2 x)  216 x  66 x  4 x

misalkan v pada [0, 4,5]. Titik stationer dicari dengan menetapkan dv/dx = 0; dv  216  132 x  12 x 2  12(18  11x  x 2 )  12(9  x)(2  x)  0 dx jadi x = 2 dan x = 9 ; titik kritis pada 0,2, dan 4,5 pada saat V(0) = 0 ; V(2) = 200 dan V(4,5) = 0, jika x = 2, maka panjang = 20 cm, dan lebar 5 cm, tinggi = 2 cm.

Aturan L’ Hospital 

Turunan bisa dipakai untuk menghitung limit fungsinya yang berbentuk :

0  ; ; 0.;   ; 00 ; 1 ;  0 0 



f ( x )  0 dan Bentuk 0 , bila Xlim a 0

maka

f ( x) f ' ( x) lim  lim X  a g ( x) X  a g ' ( x)

lim g ( x)  0

X a

Aturan L’ Hospital Contoh:



1  cos x f ' ( x ) sin x  lim  0 lim X 0 X  0 g ' ( x) 1 x

Bentuk 0. ; bila

maka

lim f ( x)  0 ,dan

X a

lim g ( x )  

X a

g ( x) g ' ( x)  lim lim f ( x).g ( x )  lim X a X a X a 1 1 ' f ( x) f ( x)

Aturan L’ Hospital Contoh:

lim x 3e

X 



3 x

x3 3x2 6x 6  lim 2 x  lim 2 x  lim 2 x  lim 2 x  0 X  e X   3e x   4e X   8e

Bentuk 00 ; bila

lim f ( x)  0

X a

lim f ( x) xa

contoh :

lim x  e x 0

x

x 0

lim x ln x

g ( x)

 e xa

dan

lim g ( x)  0

X a

lim g ( x ) ln f ( x )

1 ln x  lim x ln x  lim  lim x  lim x   0 x 0 x0 1 x0  1 x0 x x2

Grafik Fungsi Rasional 

Harga Maximum dan Minimum (Titik Balik)

dy 0 dx

Grafik Fungsi Rasional 

 

titik A dan B masing-masing menjadi harga maximum dan harga minimum, sedangkan titik C merupakan titik belok. Titik A, B, C, adalah titik balik atau harga stationer y. Dari gambar, dapat menentukan : 

harga x ditempat terjadinya titik balik, yaitu dengan dy mendiferensialkan fungsinya dan memecahkan persamaan

dx  

Harga y dititik tersebut dengan mensubstitusikan harga x yang diperoleh diatas kedalam y = f(x) Jenis masing-masing titik balik (maksimum, minimum, dan titik belok), dengan memeriksa pada

d2y 2 dx

dititik tersebut.

0

Grafik Fungsi Rasional 





2

Jika

d y 2 dx

negatif, maka y merupakan maximum.

Jika

d2y dx 2

positif, maka y merupakan minimum

2

Jika

d y 2 dx

nol, maka y adalah titik belok.

Grafik Fungsi Rasional 

x3 x 2   2x  5 Tentukan titik balik grafik fungsi y  2 dan buatlah sketsa grafik fungsinya 3



Jawab :



Titik balik, bila dy/dx = 0, maka



Untuk menentukan jenis masing-masing titik balik :

2 dy d y 2  x  x  2  2  2x 1 dx dx

x 2  x  2  0  ( x  2)( x  1)  0  x  2, x  1

Grafik Fungsi Rasional   

d2y Dititik x = 2 ; 2  4  1  3 ; positif, berarti y minimum dx 2 d y Dititik x = -1;  2  1  3; negatif, berarti y maximum 2 dx 3 2

x x   2x  5 Substitusikan kedalam y = f(x)  y  2 3 2 x = 2 → y min = 1 3

x = -1 → y max = 6 

1 6

Maka untuk x = 0 → y = 5

Grafik Fungsi Rasional

Grafik Fungsi Rasional 

Titik belok (Point of Inflexion) Titik belok secara sederhana di definisikan sebagai titik tempat lengkungan kurva berubah, yakni dari lengkung ke kanan menjadi lengkung kekiri atau dari lengkung kekiri menjadi lengkung ke kanan.

Grafik Fungsi Rasional y

dy dx

dy dx

d2 y dx2

d2 y dx2

P dan Q adalah titik belok.

Grafik Fungsi Rasional 

Untuk menentukan titik belok : 





2 d y diferensiasikan y = f(x) dua kali untuk dapat dx2 d2y selesaikan persamaan =0 2 dx 2

uji apakah ada perubahan tanda dari kiri kekanan melintasi x min. pada titik belok

d2y dx2

d y 2 dx

, jika bergerak

= 0, ada perubahan tanda.

Grafik Fungsi Rasional 

x3 x 2 Tentukan titik belok , jika ada, pada fungsi y    2 x  5 3 2

Jawab :

i.

2 dy d y 2  x  x  2  2  2x  1 dx dx

ii. titik belok = 0 → 2x-1 = 0 → x = ½ 1 iii. uji perubahan tanda untuk x  2  a dan dimana a adalah bilangan positif yang kecil.

x  1 a 2

Grafik Fungsi Rasional 

a.

1 d2y 1 x   a  2  2(  a )  1  1  2 a  1 2 dx 2  2a( negatif ) 2 d y 1 1 x   a  2  2(  a)  1  1  2a  1 dx 2 2  2a( positif ) 2



b.



d y ada perubahan tanda , saat melintasi 2 dx atau ada titik belok di x = 1/2

x = 1/2

Grafik Fungsi Rasional

x3 x 2 y    2x  5 3 2...