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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL FECIV NOTAS DE AULA DO MINICURSO  Minicurso ministrado em maio/2012 - Prof. Jesiel Cunha Organização: PET/Engenharia Civil Apresentação Este minicurso tem por finalidade iniciar o aluno na utilização do programa de elementos finitos A...

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Apostila minicurso ANSYS COMPLETO Ramon Vilela

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Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

1 Método dos Elementos Finitos : fundamentos e aplicações 1.1 Etapas da formulação do método Para problemas que apresentam estruturas com geometrias, condições de contorno e de carregamento complexas, a solução exata do comportamento mecânico (por exemplo, determinação do campo de deslocamentos e de tensões), obtida através de procedimentos tradicionais da matemática, não é evidente ou mesmo não é possível. Para estes casos deve-se usar um método aproximado de análise. Nesta categoria se destacam os métodos numérico-computacionais. O princípio de resolução de problemas por métodos aproximados é mostrado no diagrama a seguir.

Modelo contínuo: - I nfinitos graus de liberdade - Definido por equações diferenciais - Solução exata pelo cálculo diferencial

-

Problemas complexos: Geometria irregular Condições de contorno não usuais Carregamentos variados Vários materiais etc.

Modelo discreto: o

Método dos Elementos Finitos (MEF)

- N finito de graus de liberdade - Equações diferenciais são transformadas em equações algébricas - Solução aproximada por métodos numéricos

1

Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

Alguns métodos aproximados de solução do comportamento estrutural para problemas complexos são: - Método de Rayleigh-Ritz: usa a energia do sistema; - Método dos Resíduos Ponderados e Método de Galerkin: trabalham diretamente com a equação diferencial; - Método de Diferenças Finitas: solução da equação diferencial através de equações algébricas.

Estes métodos são básicos na formulação do Método dos Elementos Finitos. Assim sendo, o MEF é essencialmente uma técnica de análise numérica que busca soluções aproximadas para problemas regidos por equações diferenciais.

No Método dos Elementos Finitos (MEF), a solução do problema, ou seja, da equação diferencial, se dá pela discretização da estrutura contínua. A idéia é de dividir a estrutura complexa em várias subestruturas, com forma geométrica e solução simples. Por exemplo, seja uma placa sob flexão com uma geometria irregular. A solução analítica (exata) deste problema não pode ser obtida diretamente, através dos princípios da física e da matemática. Assim, para obter a solução aproximada é feita uma divisão da placa em diversos subdomínios retangulares, com solução simples conhecida.

carregamento

Placa com geometria simples, com solução conhecida

condições de contorno Placa com geometria complexa, sem solução direta

A equação diferencial que rege os deslocamentos transversais de uma placa retangular sob flexão é:

∂ 4 w0 ∂ 4 w0 p ∂ 4 w0 4 + 4 + 2 2 2 = ∂x ∂y ∂x ∂y D onde p é o carregamento e D é a rigidez à flexão da placa, dada por D = 2

Eh 3 . 12(1 − ν 2 )

Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

Após a obtenção da solução desta equação diferencial, ou seja, após a obtenção da solução para um subdomínio (uma placa retangular), é feita a união de todos os subdomínios, chegando-se à estrutura com sua geometria original/real.

Na terminologia do Método dos Elementos Finitos, cada subdomínio da discretização é chamado de elemento. Nos vértices dos elementos existem pontos, conectando-os. Estes pontos são chamados de nós. A união de todos os elementos com seus nós forma a malha de elementos finitos (figura a seguir).

1

1 4

2

2 5

3

3 6

4 7

8

elemento

5 9

6 10

9 14

7

10 15

13

12

11 16

14 19

8

11

12 17

15 20

13

18

nó

16 21

- Malha de elementos finitos -

A solução geral para cada elemento é uma função aproximada, sendo chamada de função de interpolação ou função de forma, podendo ser, por exemplo, um polinômio. A solução para cada elemento é obtida em função unicamente dos valores da solução nos nós (valores nodais), que passam a ser as incógnitas do problema. Em geral, para problemas em estática, as incógnitas são os deslocamentos dos nós (translações e rotações). O grau e a forma da função de interpolação dependem da natureza e do número de incógnitas, além do número de nós. A função de interpolação deve também garantir as características de continuidade da solução. Esta continuidade é garantida pela imposição de igualdade das variáveis de campo (incógnitas) nos nós de interface entre os elementos.

Considerando um problema de análise estática de uma estrutura, as principais etapas de implementação numérico-computacional do Método dos Elementos Finitos são:

3

Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

1) Discretização do domínio - criação da malha de elementos finitos; 2) Formulação da solução para o elemento - nível elementar; 3) Formulação da solução para toda a malha (estrutura) - nível global; 4) Imposição das condições de contorno; 5) Resolução do sistema de equações - obtenção das incógnitas nos nós (deslocamentos: translações e rotações); 6) Cálculo dos resultados para todas as variáveis do problema (deformações, tensões, etc.).

1a etapa: discretização do domínio - criação da malha de elementos finitos Criar a malha significa criar os elementos, os nós e a conectividade entre eles, ou seja, definir quais os nós de cada elemento. A criação de um nó se dá simplesmente pela escolha do seu número e pela definição de suas coordenadas em relação a um sistema de referência (global) escolhido. O elemento possui também um sistema de coordenadas local, de onde é montada a solução elementar.

Z Y

Z

X

X Y Sistema de referência local

Sistema de referência global

4

Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

2a etapa: formulação da solução para o elemento - nível elementar A partir da definição da malha, deve-se obter a solução para o elemento, ou seja, deve ser explicitada a solução que leve aos valores das incógnitas nos nós. Isto é feito a partir de métodos aproximados. Tem-se principalmente: •

Método direto: é baseado no conhecido Processo dos Deslocamentos, sendo, portanto, uma técnica de fácil compreensão e aplicação, mas limitada a estruturas simples;

•

Método energético ou variacional: é baseado no cálculo da energia potencial do sistema, associada a princípios de estacionariedade, onde o ponto de mínimo representa o equilíbrio da estrutura. Esta técnica pode ser aplicada a problemas mais complexos (Ex: Rayleigh-Ritz);

•

Método dos resíduos ponderados: é um processo essencialmente matemático, que trabalha diretamente com as equações diferenciais que regem o problema físico, não necessitando da existência de um funcional (energia potencial, por exemplo).

Seja qual for o método utilizado, o resultado é um sistema de equações algébricas. No caso de problemas de análise estática, este sistema de equações representa o equilíbrio da estrutura, podendo ser colocado na seguinte forma matricial:

Ke Ue = Fe onde:

Ke: matriz de rigidez elementar; Ue: vetor elementar dos deslocamentos nodais; Fe: vetor elementar das forças nodais.

Esta expressão matricial estabelece a relação entre as forças aplicadas nos nós da estrutura e os deslocamentos correspondentes, através da matriz de rigidez. A partir da determinação das incógnitas (deslocamentos nos nós) deste sistema de equações, o cálculo das deformações, tensões e esforços é feito a partir de relações da Teoria da Elasticidade.

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Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

O significado físico dos termos da matriz de rigidez é: o coeficiente Keij representa a força no grau de liberdade i, devida ao deslocamento unitário imposto ao grau de liberdade j, estando os demais graus de liberdade bloqueados.

A ordem deste sistema de equações é dada pelo número de nós do elemento e pelo número de graus de liberdade de cada nó. Por exemplo, considerando um elemento de placa que possua 4 nós e 6 graus de liberdade por nó (3 translações e 3 rotações), o sistema terá a ordem de:

Ke 24x24 Ue 24x1 = Fe 24x1 Z w1

Z

θz1

1 2 X

4

Y

v1 Y

θy1

θx1

u1 X

3

3a etapa: formulação da solução para a estrutura - nível global A malha de elementos finitos da estrutura é o resultado da associação de todos os elementos. Assim, para obter as equações que regem o equilíbrio da estrutura, deve-se associar as equações que regem o equilíbrio do elemento. O resultado é um sistema matricial similar ao do elemento, com a dimensão expandida. Esta dimensão é função do número total de graus de liberdade da estrutura, ou seja:

K mxm U mx1 = F mx1 onde:

K: matriz de rigidez global (estrutura); U: vetor global dos deslocamentos nodais (incógnitas do problema); F: vetor global das forças nodais (forças aplicadas na estrutura). sendo m o número de graus de liberdade da estrutura, que vale:

m=

número total de nós da malha X número de graus de liberdade por nó

6

Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

Por exemplo, seja uma malha composta de 2 elementos de placa, com 6 nós, sendo 6 graus de liberdade por nó, conforme figura. u1, v1, w1 θx1, θy1, θz1

u2, v2, w2 θx2, θy2, θz2

u3, v3, w3 θx3, θy3, θz3

1

2

3

2

1 4 u4, v4, w4 θx4, θy4, θz4

5 u5, v5, w5 θx5, θy5, θz5

6 u6, v6, w6 θx6, θy6, θz6

O sistema de equações globais neste exemplo será do tipo: F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10

u1 v1 w1

24x24

θx1 θy1 θz1

Ke1

--------

u2 v2 w2

θx2 θy2 θz2

12x12

=

-----

M

M ----u6 v6 w6

Ke2 24x24 36X36

K

θx6 θy6 θz6

U

36X1

F34 F35 F36

36X1

F

Nota-se que a matriz de rigidez global K é obtida pela associação das matrizes elementares. A superposição destas matrizes (área pontilhada) ocorre por causa da imposição de condições de continuidade/compatibilidade dos deslocamentos nos nós comuns aos elementos. Um procedimento semelhante deve ser aplicado ao vetor F, impondo-se neste caso o equilíbrio das forças nos nós comuns aos elementos. Todo este procedimento deve ser feito de maneira automática, computacionalmente. 7

Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

4a etapa: imposição das condições de contorno da estrutura Nesta etapa o sistema global de equações K U = F deve ser modificado para satisfazer as condições de contorno (condições de apoio) da estrutura. Isto é feito pela imposição de valores pré-fixados para os deslocamentos nos nós. Este procedimento reduz o número de incógnitas do sistema de equações, que agora corresponde ao número “efetivo” de graus de liberdade do modelo.

5a etapa: resolução do sistema global de equações Após a imposição das condições de contorno, a solução do sistema de equações K U = F leva aos valores das incógnitas do problema (deslocamentos nos nós). Esta etapa é feita através de técnicas numéricas apropriadas, não sendo aplicada a solução direta (U = K-1 F), pois o sistema pode comportar milhares de incógnitas, onde a matriz de rigidez pode ser mal condicionada. Alguns métodos conhecidos são: Método da Eliminação de Gauss, Método de Cholesky, Método de Jocobi, Método de Gauss-Seidel. Um método eficiente deve considerar que a matriz de rigidez é simétrica e esparsa.

6a etapa: cálculo de outras grandezas mecânicas Na seqüência à determinação das incógnitas do problema (deslocamentos), a determinação de outras variáveis mecânicas é feita a posteriori, através de relações físicas. Para problemas em estática tem-se, por exemplo, as seguintes expressões da Teoria da Elasticidade: - Cálculo das deformações: utiliza-se as relações deformação-deslocamento (εxx=∂u/∂x, etc.); - Cálculo das tensões: utiliza-se as relações tensão-deformação (Lei de Hooke: σ = E ε).

Esquematicamente, as etapas de cálculo via Método dos Elementos Finitos são dadas pelo fluxograma a seguir.

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Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

Criação do modelo que representa a estrutura real ⇓ Discretização do domínio: geração da malha de elementos finitos (nós, elementos e conectividade)

Formulação da solução para o elemento - nível e e e elementar: K U = F ⇓ Obtenção das matrizes de rigidez e dos vetores e e das forças elementares (K i e F i)

Formulação da solução para a estrutura - nível global: K U = F ⇓ Montagem da matriz de rigidez e do vetor das e forças globais: F e K = Σ K i

Imposição das condições de contorno da estrutura

Resolução do sistema global de equações ⇓ Obtenção das incógnitas (deslocamentos): -1 U=K F

Cálculo das deformações, tensões e esforços

1.2 Tipos de elementos Do ponto de vista da geometria, os elementos podem ser pontuais, unidimensionais, bidimensionais, tridimensionais e axissimétricos, além de elementos com geometria específica. Evidentemente, a geometria está intimamente ligada à função estrutural que o elemento possui. Alguns tipos de elementos básicos são: (a) Elementos pontuais: massa concentrada, conexão; (b) Elementos unidimensionais: treliça, viga, cabo; (c) Elementos bidimensionais: membrana, casca e placa; (d) Elementos tridimensionais (sólidos). 9

Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

Fonte: www.jppmonteiro.googlepages.com

1.3 Tipos de análise por elementos finitos Algumas características frequentemente consideradas nas análises por elementos finitos são: - Materiais: elásticos, plásticos, viscoelásticos, viscoplásticos, isotrópicos, ortotrópicos, etc.; - Comportamento: estático (linear, não-linear), flambagem, dinâmico (modal, freqüência, transiente), térmico, mecânica dos fluidos, contato, transferência de calor, magnético, acústico, falha, fratura, fadiga, etc.; - Cargas: concentradas, distribuídas, gravidade, variação térmica, protensão.

1.4 Matriz de rigidez do elemento Conforme já explicado, a obtenção da matriz de rigidez do elemento é feita a partir de técnicas aproximadas de solução, resultando em um sistema matricial de equações (K U = F), que representa o equilíbrio da estrutura. Seja qual for a técnica de obtenção deste sistema, a matriz de rigidez elementar depende da teoria considerada, sendo função da geometria do elemento e do material da estrutura.

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Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

Para exemplificar a forma, o conteúdo e os parâmetros que influenciam a matriz de rigidez do elemento, são dados a seguir alguns casos básicos. •

Elemento de treliça tridimensional y vI

vJ uJ

uI wI

nó I

x

wJ nó J

uI

vI wI

uJ

vJ wJ uI vI wI uJ vJ wJ

Fonte: ANSYS

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Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

•

Elemento de viga bidimensional (Teoria de Timoshenko) y

θz I

θz J

vI uI

vJ uJ

x

nó J

nó I

uI

vI

θz I

uJ

vJ

θz J uI vI

θz I uJ vJ

θz J

Fonte: ANSYS

12

Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

•

Elemento de viga tridimensional (Teoria de Timoshenko)

uI

vI

wI

θx I

θy I θz I

uJ

wJ θx J θy J θz J

vJ

uI vI wI

θx I θy I θz I uJ vJ wJ

θx J θy J θz J

Fonte: ANSYS

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Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

•

Elemento de placa (Teoria de Kirchhoff) Z w1

Z

∂w1/∂x

1 2 Y

X

4

∂w1/∂y

Y

X

3

Ke 12x12 =

∫

A

BT DK B dA

: matriz de rigidez do elemento

onde: DK =

D νD νD D 0

0 0

: matriz de rigidez à flexão da placa;

( 1 - ν )D / 2

0

Eh 3 : rigidez de flexão da placa (E = módulo de elasticidade; ν = coeficiente de Poisson; D= 12( 1 - ν 2 ) h = espessura da placa); B = matriz de transformação deformações-deslocamentos nos nós, que depende das funções de interpolação do elemento.

•

Elemento de placa (Teoria de Mindlin) Z w1

Z

θx1

1 2 Y

X

4

Y

3

Ke 12x12 =

∫

A

BT DM B dA

: matriz de rigidez do elemento

onde: 14

θy1

X

Curso básico do programa de elementos finitos ANSYS

D νD 0 0 0 νD D 0 0 0 0 ( 1 - ν )D / 2 0 0 DM = 0 0 0 0 Gh 0 0 0 0 0 Gh

: matriz de rigidez à flexão da placa;

Eh 3 = rigidez de flexão da placa (E = módulo de elasticidade;ν = coeficiente de Poisson; 12( 1 - ν 2 ) h = espessura da placa); D=

G = módulo de cisalhamento do material; B = matriz de transformação deformações-deslocamentos nos nós, que depende das funções de interpolação do elemento.

1.5 Malha de elementos finitos A técnica aproximada utilizada para obter as equações do elemento deve ter uma formulação matemática que represente adequadamente o comportamento físico ao nível elementar. No entanto, quando se considera a estrutura completa, com sua complexidade (geometria, condições de contorno e de carregamento), é necessária a utilização de muitos elementos, que garantam a reprodução da geometria e consigam “acomp...