Apunte USM - Mecánica de Fluidos PDF

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Mec ́anica de FluidosClaudio O. Dib* Depto de F ́ısica, Universidad T ́ecnica Federico Santa Mar ́ıa, Valpara ́ıso, Chile(Dated: 30 de noviembre de 2013)Este es un apunte para la asignatura FIS-130, de introducci ́on ala mec ́anica de fluidos. La versi ́on es preliminar y est ́a permanentemente suje...

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Mec´ anica de Fluidos Claudio O. Dib * Depto de F´ısica, Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa, Valpara´ıso, Chile (Dated: 30 de noviembre de 2013) Este es un apunte para la asignatura FIS-130, de introducci´ on a la mec´ a nica de fluidos. La versi´ on es preliminar y est´ a permanentemente sujeta a revisi´ on. Si tiene comentarios o encuentra errores, se agradecer´ a que le avise al profesor.

I.

INTRODUCCI ´ ON

Los fluidos est´an comprendidos por los l´ıquidos, gases y plasmas. Los fluidos son substancias que se distinguen de los s´olidos por una propiedad mec´anica particular: los fluidos no resisten esfuerzos de corte en forma est´atica. Se llama esfuerzo a la fuerza aplicada en la superficie de una substancia, medida por unidad de ´area de la superficie. Si la fuerza es normal (perpendicular) a la superficie, el esfuerzo se llama presi´ on, tracci´ on o compresi´ on. Si es paralela a la superficie se llama esfuerzo de corte o de cizalle. Al aplicar un esfuerzo de corte en un s´olido, ´este se deforma hasta un cierto punto y luego resiste en forma est´ atica ese esfuerzo. Un fluido, en cambio, al aplicarle esfuerzo de corte se deforma continuamente (fluye). En lenguaje cotidiano se habla de fluidos para referirse s´olo a los l´ıquidos, aunque los gases y plasmas tambi´en son fluidos. Un l´ıquido se diferencia de un gas en que el primero posee una superficie libre que no est´a definida por el recipiente que lo contiene, mientras que el gas se expande hasta donde lo limite el recipiente. A nivel at´omico, en el l´ıquido los ´atomos vecinos mantienen una distancia aproximadamente fija, mientras que en un gas las mol´eculas no est´an ligadas entre s´ı. Por lo mismo, los gases son altamente compresibles (su volumen depende mucho de la presi´on), mientras que los l´ıquidos, como tambi´en los s´olidos, en comparaci´on con los gases son m´as bien incompresibles. El estudio de los fluidos comprende tanto aspectos mec´anicos como t´ermicos. En este estudio vamos a concentrarnos en los aspectos mec´anicos. Esto es u ´til no s´olo conceptualmente sino tambi´en en la pr´actica, porque existen muchas situaciones en las que los aspectos t´ermicos pueden ser despreciados, especialmente en casos de l´ıquidos. Esto se debe a que, siendo casi incompresibles, no absorben mucha energ´ıa por trabajo, de modo que su energ´ıa interna no cambia, a menos que se les transfiera calor intencionalmente (salvo en casos de alta turbulencia donde el calor es inevitable).

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II.

´ EST ATICA DE FLUIDOS

Este es el estudio de fluidos en equilibrio mec´anico, usualmente en reposo. El equilibrio mec´anico de un fluido ocurre si cada elemento (trocito infinitesimal) del fluido se encuentra en equilibrio mec´anico, es decir si la suma de todas las fuerzas aplicadas sobre cada elemento del fluido es cero. Las fuerzas a las que est´a sometido un elemento de fluido en equilibrio son usualmente: la gravedad, las fuerzas de presi´on sobre las superficies del elemento, debido al resto del fluido a su alrededor o a la pared del recipiente.

A.

Presi´ on

Tal como definimos en el cap´ıtulo de Termodin´amica, la presi´on es la fuerza normal por unidad de ´area que ejerce un fluido sobre otro, o un fluido sobre una pared. La presi´on es, esencialmente, la medida de c´ omo act´ uan mec´anicamente entre s´ı (fuerza) dos elementos de fluido adyacentes, a trav´es de la superficie imaginaria que los separa. Dos propiedades importantes: La presi´on es una cantidad local (se puede definir en cada punto del fluido). La presi´on es una cantidad escalar (no tiene direcci´on), a pesar de que la fuerza debido a ´esta es una cantidad vectorial. La direcci´on de la fuerza de presi´on sobre un ´area infinitesimal dA dada es siempre normal a dicha ´area. La magnitud de esa fuerza es F = p dA, independiente de la orientaci´on del ´area. Esto u ´ltimo requiere de explicaci´on. Considere un elemento de fluido con forma de cubo (ver Fig. 13).

2 B.

Presi´ on vs. altura

Para que un fluido sujeto a la gravedad est´e en equilibrio dentro de un recipiente (por ejemplo el mar en la cuenca oce´anica, el agua dentro de un vaso, o la atm´osfera terrestre), cada elemento del fluido debe estar en equilibrio mec´anico. Para ello, la presi´on debe ir aumentando con la profundidad. Figura 1: Fuerzas debido a la presi´ on, sobre las caras de un elemento de fluido con forma de cubo. Las fuerzas en las dos caras perpendiculares al plano de la hoja no est´ a n dibujadas por simplicidad.

Seg´ un esto, todas las fuerzas F1 , F2 , F3 y F4 deber´ıan ser iguales. Sin embargo, para mantener al cubo en equilibrio basta con que las dos fuerzas verticales (F1 y F2 ) se cancelen entre s´ı e, independientemente las fuerzas horizontales tambi´en (F3 y F4 ). Pero no parece haber raz´on para que las fuerzas en direcciones perpendiculares sean iguales (F1 = F3 ). Una raz´on intuitiva es que si, por ejemplo, el par de fuerzas verticales fuera mayor que los pares horizontales, el fluido se empezar´ıa a achatar escurri´endose en forma horizontal. Esta intuici´on no est´a mal, pero deber´ıa haber una raz´on m´as rigurosa. La hay. EJERCICIO: Considere un elemento de fluido similar al de la Fig. 13, pero cortado por una diagonal, como en la Fig. 2. Para que el elemento est´e en equilibrio mec´anico, las tres fuerzas deben sumar cero (es decir, deben cerrar un tri´angulo). Demuestre que si la fuerza Fd es normal a la cara diagonal, entonces necesariamente√F1 = F3 . Demuestre adem´as que la magnitud de Fd es 2 veces la magnitud de F1 , el mismo factor que es el ´area diagonal de las otras dos ´areas.

Figura 3: Columna de agua en el mar, mostrando un elemento de agua en forma de cubo. Se indican las fuerzas verticales debido a la presi´ on, F1 (en la cara inferior) y F2 (en la cara superior). El peso del elemento no se muestra por simplicidad.

Consideremos el agua del mar. Tomemos una columna vertical de agua, con un elemento c´ ubico dentro de ´esta, como se ve en la Fig. 3. Midamos la altura h desde el fondo hacia arriba, y estudiemos el balance de fuerzas verticales. Hay tres fuerzas sobre el elemento: el peso hacia abajo, ρV g, la fuerza de presi´on que empuja hacia arriba desde la superficie inferior, F1 y la que empuja hacia abajo desde la superficie superior, F2 . Siendo p(h) la presi´on por debajo del elemento y p(h+dh) la presi´ on por encima, entonces el balance de fuerzas verticales sobre el elemento es:

−ρV g + F1 − F2 = 0 −ρ A dh g + p(h) · A − p(h + dh) · A = 0,

(1)

donde el volumen del elemento es V = A dh. Dividiendo todo por V , esto queda la ecuaci´on de cambio de presi´ on: Figura 2: Fuerzas debido a la presi´ on, sobre las caras de un elemento de fluido con secci´ on triangular.

EJERCICIO: Haga el mismo an´alisis pero para una figura de secci´on triangular con catetos distintos. Demuestre en este caso que si las tres fuerzas son perpendiculares a sus respectivas ´areas, sus magnitudes son proporcionales a sus respectivas ´areas. (Note que el tri´angulo de la secci´on transversal del elemento es semejante al tri´ angulo de las fuerzas).

dp = −ρg. dh

(2)

Si consideramos el agua como incompresible (su densidad no var´ıa con la presi´on), la soluci´on de esta ecuaci´on es:

p(h) = p0 − ρgh,

(3)

3 donde p0 es la presi´on en el fondo del mar (en h = 0). Esta expresi´on indica que la presi´on va disminuyendo a medida que subimos.

donde ma es la masa molar (promedio ponderado) de la atm´osfera. As´ı, la ecuaci´on para la presi´on ser´a:

EJERCICIO: En la Ec. 3, encuentre el valor de p0 , sabiendo que el mar tiene una profundidad H y que la presi´on atmosf´erica en la superficie del mar es pat .

ma g dp =− p. dh RT

EJERCICIO: Demuestre que la presi´on a una profundidad ℓ bajo la superficie del agua est´a dada por:

Si suponemos que la atm´osfera es isot´ermica (en realidad no lo es), esto se puede resolver f´ acilmente:

p(ℓ) = pat + ρgℓ. EJERCICIO: Calcule cu´anta distancia hay que descender en el mar para que la presi´on aumente en 1 [atm]. EJERCICIO: Considere la columna de agua en el tubo de la Fig. 4. Siendo h la altura de la columna en el tubo, medida respecto a la superficie del agua en el recipiente inferior, determine la presi´on en la parte superior de la columna (es decir, en el aire que est´a en la parte superior del tubo). Cu´al es la m´axima altura que puede alcanzar la columna de agua? Por qu´e hay un m´aximo? Si en vez de agua, us´aramos mercurio (Hg), cu´al ser´ıa la altura m´axima? Compare el peso de toda la columna de fluido con la diferencia de presi´on entre la parte superior e inferior.

ma g dp =− dh p RT

⇒ p(h) = pat e−ma gh/RT .

(4)

(5)

La cantidad H0 = RT /ma g es una altura caracter´ıstica de la atm´osfera, que representa la altura que uno debe subir para que la presi´on decrezca en un factor 1/e. EJERCICIO: Calcule H0 para una temperatura atmosf´erica de 20o C.

D.

Flotaci´ on

Un objeto en presencia de la gravedad es empujado hacia abajo por una fuerza llamada peso. Si adem´as el objeto est´a inmerso en un fluido, el fluido empuja al objeto hacia arriba por una fuerza de flotaci´ on. La fuerza de flotaci´on es igual al peso del fluido desplazado por el objeto. Esto u ´ltimo se llama el principio de Arqu´ımedes [1], aunque no es un principio fundamental, sino una consecuencia del equilibrio mec´anico del fluido.

Figura 4: Columna de agua en un tubo invertido, cerrado en un extremo.

C.

Presi´ on en la atm´ osfera

Queremos aplicar las mismas ideas para saber c´omo cambia la presi´on de la atm´osfera a medida que subimos. La Ec. 3 sigue siendo v´alida para un gas como la atm´osfera, pero la integraci´ on no es tan simple, porque la densidad de la atm´osfera, siendo un gas, depende mucho de la presi´on y adem´as de la temperatura. Usando la Ec. de Estado del gas ideal, pV = nRT , podemos expresar la densidad en t´erminos de la presi´on y temperatura:

ρ = ma

ma n = p, V RT

Figura 5: Izquierda: las fuerzas de presi´ on sobre un trozo de fluido deben ser tales que compensen exactamente el peso del trozo para que ´este quede en equilibrio. Derecha: las mismas fuerzas de presi´ on son las que act´ uan sobre un objeto sumergido que ocupe exactamente el mismo espacio que ocupaba el trozo de fluido.

Vea la Fig. 5. Ambas figuras muestran un volumen id´entico sobre el cual el fluido exterior ejerce fuerzas de presi´on por toda la superficie. En un caso el volumen est´ a relleno por un objeto (derecha) y en el otro caso el mismo volumen est´a relleno con el fluido (izquierda). Las fuerzas de presi´on son iguales en ambos casos, porque se deben al fluido exterior, independientemente de qu´e material est´e ocupando el volumen en cuesti´on. Llamemos a la

4 suma de todas esas fuerzas de presi´on F~b (“buoyancy” –flotaci´on). En la figura izquierda, las fuerzas sobre el trozo de fluido ~ b y el peso del trozo de fluido, P ~ = mf ~g . Como son F el trozo de fluido debe estar en equilibrio, estas fuerzas ~ b + mf ~g = 0, y por lo tanto la fuerza deben sumar cero: F de flotaci´on es exactamente igual (y opuesta) al peso del fluido en el volumen en cuesti´ on: F~b = −mf ~g .

(6)

Como ~g es hacia abajo, F~b es hacia arriba. La masa del trozo de fluido se puede escribir como mf = ρf V , donde ρf es la densidad del fluido y V el volumen del trozo. De este modo, si un objeto material cualquiera, con el mismo volumen V , se sumerge en el fluido, la fuerza de flotaci´on sobre el objeto ser´a: Fb = ρf V g hacia arriba, mientras que el peso del objeto ser´a ρo V g hacia abajo. La fuerza neta sobre el objeto entonces ser´ a:

~ N = yˆ (ρf − ρo )V g, F donde yˆ es el vector unitario que apunta hacia arriba. De este modo se ve que la fuerza neta apunta hacia arriba si el fluido es m´as denso que el objeto (el objeto flota), o apunta hacia abajo si el objeto es m´as denso que el fluido (el objeto se hunde).

Figura 6: Objeto menos denso que el agua flota en la superficie sumergido parcialmente, desplazando un volumen de agua de peso igual al del objeto. Vd en color caf´ e claro, es el volumen desplazado (la parte sumergida del objeto).

que el Helio en el globo est´a siempre a una presi´on de 1 [atm]. Conociendo el perfil de presi´on de la atm´osfera en la secci´on anterior, determine hasta qu´e altura logra subir el globo. (Nota: en la realidad, la atm´osfera no es isot´ermica, de modo que el resultado que obtenga puede no ser muy realista). PREGUNTA: Hay globos que se elevan s´olo con calentar el aire interior mediante un soplete de fuego (ver Fig. 7). ¿Por qu´e logran elevarse? ¿Cu´ando es mejor tratar de elevarse, en la madrugada cuando el clima est´a fresco, o a mediod´ıa cuando hace calor?

Si el objeto es menos denso que el fluido, por ejemplo un trozo de madera en el agua, ´este queda sumergido parcialmente, desplazando la cantidad justa de agua para que la fuerza de flotaci´on compense al peso del objeto (ver Fig. 6). Eso ocurre cuando el volumen de agua desplazada, Vd , tiene una masa igual a la del objeto: mo = ρa Vd , donde ρa es la densidad del agua. Esto se deduce, como siempre, del equilibrio de fuerzas: mo g = Fb , con Fb = ρa Vd g. PREGUNTA: por qu´e un buque acorazado, que es de acero, logra flotar, siendo que el acero es un material m´as denso que el agua? EJERCICIO: Considere una esfera hueca hecha de acero. Determine la raz´on entre los radios interior y exterior de modo que la esfera apenas logre flotar. Averig¨ ue los datos que necesite. EJERCICIO: Considere un globo lleno con gas helio (gas menos denso que la atm´osfera). El globo est´a hecho de polietileno de densidad 0,9 [g/cm3 ], 0,1 [mm] de espesor y 50 [cm] de di´ametro. Suponga que la atm´osfera y el globo est´an siempre a una sola temperatura de 10 o C, y

Figura 7: Globo de aire caliente. El globo es abierto por aba jo, donde van los quemadores para calentar el aire y donde cuelga el canasto para los tripulantes.

E.

Sistemas acelerados

Considere un estanque con agua que va sobre un veh´ıculo que lleva una aceleraci´on constante y horizontal, ~a (ver Fig. 8). La pregunta es cu´ al es la inclinaci´on de la superficie del agua con respecto a la horizontal. La figura muestra el fen´omeno en forma cualitativa, pero queremos entender por qu´e ocurre y hacer predicciones cuantitativas (para eso estudiamos!). El an´alisis es co-

5 mo siempre: ley de movimiento de Newton: sobre cada P ~ = m~a. F elemento del fluido debe cumplirse

esa superficie, la presi´on tiene un solo valor (la presi´on atmosf´erica, si el estanque est´a abierto a la atm´osfera). Vea la Fig. 9. EJERCICIO: Si dentro del agua de ese estanque acelerado se suelta una piedra, en qu´e direcci´on tiende a caer? Si en medio del agua se forma una burbuja de gas, en qu´e direcci´on tiende a subir?

Figura 8: Estanque con agua, en movimiento con aceleraci´ on constante. El elemento de fluido debe estar sujeto a fuerzas de presi´ on de modo tal que se mueva con la aceleraci´ on del conjunto.

La figura muestra, como antes, un elemento infinitesimal con forma de cubo. El an´alisis de fuerzas verticales aqu´ı es id´entico a la Ec. 1, resultando en la misma ecuaci´on de gradiente de presi´ on, salvo que la altura h es aqu´ı la coordenada y : ∂p = −ρ g. ∂y

(7)

Similarmente, el an´ alisis de fuerzas horizontales es: F3 − F4 = ρV a p(x) · A − p(x + dx) · A = ρ A dx a,

EJERCICIO: Si en vez de agua, consideramos el aire dentro de la cabina de un autom´ovil que acelera, los efectos de flotaci´on deben ser similares (s´olo cambia la densidad del agua por la densidad del aire. En tal caso, si sostenemos un p´endulo sin oscilar, en qu´e direcci´on cuelga? Si sostenemos el hilo de un globo con helio, de esos que tienden a subir, en qu´e direcci´on se inclina el globo debido a la aceleraci´on del autom´ovil? Cons´ıgase un globo con helio, s´ ubase a un auto y haga el experimento (ojo: cons´ıgase adem´as un acompa˜ nante! no conduzca usted mismo mientras sostiene el globo). EJERCICIO: Determine la forma de la superficie del agua en un estanque que gira con velocidad angular constante, ω. El problema es similar al del estanque acelerado, excepto que ahora la aceleraci´on es centr´ıpeta y crece con el radio de giro seg´ un a = ω 2 r. Defina su eje vertical y como antes, y su eje horizontal r, medido desde el eje de giro. Encuentre el vector gradiente de presi´ on, como funci´on de r. La direcci´on perpendicular al gradiente de presi´on define la pendiente del perfil de la superficie del agua, que deber´ıa resultar una par´abola (la superficie es un paraboloide de revoluci´ on).

(8)

lo que se reduce a:

III.

∂p = −ρ a. ∂x

(9)

Figura 9: Vector gradiente de presi´ on y superficie del l´ıquido en el estanque con aceleraci´ on constante.

As´ı, las Ecs. 7 y 9 nos dan el gradiente de presi´ on: ∇p = −ρ(a x ˆ + g yˆ).

´ DINAMICA DE FLUIDOS

El estudio del movimiento de fluidos en general es un tema muy complejo: ecuaciones dif´ıciles de resolver y fen´omenos dif´ıciles de comprender. Dependiendo de si el fluido es m´as o menos viscoso, el movimiento puede ser laminar (ordenado y estacionario) o turbulento (desordenado y variable). Incluso en los casos m´as simples hay temas cuyas explicaciones han sido controversiales y confusas, o comportamientos que son contrarios al sentido com´ un. Adem´as, hay casos en que los fen´omenos t´ermicos deben ser incluidos, especialmente si se trata de flujos turbulentos, como tambi´en hay casos en los que no necesitan ser incluidos. En lo que vamos a estudiar, no incluiremos fen´omenos t´ermicos, pero debe quedar claro que eso es una buena aproximaci´ on en algunos casos solamente.

(10)

Este vector apunta hacia donde m´as bruscamente var´ıa la presi´on y es perpendicular a las superficies de igual presi´on (isob´aricas). En particular, la superficie del l´ıquido debe ser perpendicular al gradiente de presi´on: en toda

A.

Flujo

Tal como en el cap´ıtulo de Termodin´amica estudiamos flujo de calor, aqu´ı definimos flujo como la cantidad de

6 fluido (masa) que cruza una cierta secci´on por unidad de tiempo (ver Fig. 10). Denotaremos el flujo con la letra may´ uscula J : J=

masa que cruza la seccion A . tiempo

Figura 10: Flujo de un fluido que cruza una secci´ on de a´ rea A con velocidad v.

El flujo se relaciona con la densidad y la velocidad del fluido. Considere la Fig. 10: en un tiempo ∆t, el fluido que ha cruzado la secci´on de ´area A es el que est´a dentro del volumen coloreado (´area A y largo v∆t). En ese volumen, la masa de fluido es: ρ · A · v ∆t y, por lo tanto, el flujo es: J=

ρ · A · v ∆t = ρ v A. ∆t

Este vector es paralelo a la velocidad, y de magnitud igual a la cantidad de masa que fluye por unidad de tiempo y por unidad de ´area normal. Esta densidad de flujo es una cantidad local, es decir: est´a definida en cada punto del espacio (no en una zona extendida). Esto es an´alogo a la comparaci´on entre la masa de una substancia y su densidad: lo primero es algo propio del objeto extendido, mientras que la densidad est´ a definida localmente, en cada punto del espacio. DEF: Campo. En f´ısica, un campo es una cantidad distribuida por el espacio, y que tiene un valor definido para cada punto del espacio. En t´erminos matem´aticos, un campo es una funci´on de las coordenadas, representadas por el vector posici´on ~r. Por ejemplo, la distribuci´ on de temperatura en un material es una funci´on T (~r). Esto es el campo de temperaturas, y es una funci´on escalar del espacio. Asimismo la densidad de flujo, ~(~r), que ...