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Son apunte de todo el curso de electricidad y magnetismo de la carrera de ice en esime zacatenco...

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

APUNTES DE ELECTRICIDAD Y MAGETISMO

PRESENTA

DR. ARTURO MENDOZA CASTREJÓN (ACADEMIA DE FÍSICA)

CDMX

03/11/2016

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ÍNDICE INTRODUCCIÓN CAPÍTULO I TEORÍA DE VECTORES I.1 ¿Qué es un vector? I.2 Leyes del álgebra vectorial I.3 Análisis físico del Producto punto y producto cruz I.4 Operador Laplaciano [∇] CAPÍTULO II FUERZA ELÉCTRICA II.1 La carga II.2 Ley de Coulomb III.3 Principio de Superposición CAPÍTULO III CAMPO ELÉCTRICO III.1 Carga puntual III.2 Distribución de carga discreta (Principio de Superposición) III.3 Distribución de carga continua III.3.1 Lineal 𝜆 III.3.2 Superficial 𝜎 III.3.3 Volumen 𝜌 CAPÍTULO IV LEY DE GAUSS IV.1 Definición de flujo IV.2 Ecuación de continuidad IV.2.1 Ley de conservación de la carga IV.3 Definición de conductor en electrostática CAPÍTULO V POTENCIAL ELÉCTRICO V.1 Energía potencial V.2 Potencial eléctrico V.1 Dipolo eléctrico V.2 Distribución de carga continua V.3 Campo eléctrico por medio del potencial eléctrico

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CAPÍTULO VI CAPACITORES VI.1 Definición de Capacitancia VI.2 Capacitores en paralelo y en serie VI.3 Energía almacenada en un capacitor VI.4 Dieléctricos VI.5 Capacitancia y energía almacenada con dieléctricos CAPÍTULO VII TEORÍA MICROSCÓPICA DE LA CONDUCCIÓN VII.1 Corriente, densidad de corriente VII.2 Ley de Ohm VII.3 Conductividad, resistividad VII.4 Leyes de Kirchhoff CAPÍTULO VIII CAMPO MAGNÉTICO VIII.1 Definición de campo magnético VIII.2 ecuación de Lorentz VIII.3 Fuerza magnética VIII.4 Ley de Biot-Savart VIII.5 Ley de circuitos de Ampère CAPÍTULO IX INDUCTANCIA IX.1 Ley de Inducción de Faraday IX.2 Toroide

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INTRODUCCIÓN

En los últimos 10 años se han venido desarrollando nuevas técnicas de medición, las cuales permiten determinar ciertas propiedades acorde a la naturaleza del material en estado sólido (principalmente aleaciones base Fe, Zr, Cu, etc). Estas propiedades pueden ser mecánicas, térmicas, ópticas, eléctricas o magnéticas. En este trabajo nos enfocaremos a estas dos últimas propiedades. Para este propósito, se analizarán las definiciones de permitividad ϵ eléctrica y permeabilidad magnética μ. Debido a estos desarrollos, se han generado avances importantes en el diseño de nuevos dispositivos, los cuales son utilizados ampliamente en la industria. Estos dispositivos involucran en su diseño, elementos sensores: mecánicos, térmicos, ópticos, biológicos; así como dispositivos de visión nocturna, dispositivos de control y automatización, entre otros. El avance tecnológico ha representado el método funcional y fundamental para estribar los fenómenos físicos y de esta manera establecer una relación íntima entre el concepto físico (por medio de modelos simplificados) y su posible aplicación. Se dará una interpretación física rigurosa de las ecuaciones de Maxwell, se analizarán profundamente los problemas típicos y su consecuencia en la jerga de la ingeniería. Esto permitirá determinar la funcionalidad de la teoría electromagnética en el aspecto más importante para el ser humano, “mejoramiento de la calidad de vida”.

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IMPORTANCIA DE LOS VECTORES La energía eléctrica que se propaga en el espacio libre, lo hace a través de ondas electromagnéticas. Estas ondas, llamadas comúnmente ondas de radio, se propagan con cierta velocidad y consisten en campos eléctricos y magnéticos que forman un ángulo recto entre sí y también un ángulo recto con la dirección de propagación1. En un sistema de telecomunicaciones, la dirección de propagación de cierta energía es muy importante, pues establece las condiciones para tener la mayor eficiencia en la absorción de esta energía eléctrica. I.1 ¿Qué es un vector? Los fenómenos eléctricos y magnéticos anteriores a la teoría de Maxwell2, se basaban sobre el concepto de acción a distancia entre objetos electrizados y magnetizados por medio de una corriente. Faraday3 fue el único de su época que soslayó tales conceptos informales y estableció su propio dogma, esta proposición establece que todas las acciones eléctricas y magnéticas de un cuerpo sobre otro, separado por una cierta distancia, se deben a efectos de campos eléctricos y magnéticos existentes entre ellos. Aunque la idea de Faraday fue brillante, no tuvo la capacidad de formular una teoría completa y libre de contradicciones y por lo tanto lograr elevarla a rango de teoría. Este fue el éxito de Maxwell, quién dio una forma matemática muy rigurosa y de esta manera creó una estructura teórica llamada acción de campo4. Las cantidades físicas más simples son aquellas que están determinadas completamente mediante unidades conocidas, especificando un número de medición. Estas cantidades son llamadas escalares. Ejemplos: masa (kg ), temperatura (°C), tiempo (seg) y carga (Coulomb). Tenemos otras cantidades físicas, las cuales para su determinación se requiere del empleo de tres números bien definidos en un sistema de coordenadas, de esta manera es fácil determinar el cambio de posición de un objeto desde su posición original. El cambio de posición de este objeto está caracterizado por su desplazamiento, el cual es una característica incompleta, ya que, físicamente hablando es solo un idea. Para tener información suficiente y comprender la esencia de desplazamiento, es importante introducir un nuevo tipo de característica, la cual no necesitan referencia respecto del sistema de coordenadas y además ésta, establece apropiadamente reglas para su uso. Estas nuevas características de desplazamiento establecen su dirección y sentido en el espacio, además de su magnitud, a esta cantidad se le llama vector5. 1

F.E. Terman, Radio Engineering, segunda edición, Arbo editores, pág. 1 (1947). James Clerk Maxwell (1831-1879), físico británico que escribió “A Dynamical Theory of the electromagnetic field” y “A treatise on electricity and Magnetism”. 3 Michael Faraday (1791-1879), físico y químico británico, escribió tratados de electromagnetismo, electroquímica y estableció la Ley de inducción electromagnética. 4 L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Teoría clásica de los campos, Editorial Revertè, vol. 2, (1981). 5 R. Becker, Electromagnetic Field and Interactions, Blaisdell Publishing Company, pág. 3 (1964).

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Representaremos una cantidad vectorial mediante la flecha sobre la letra, por ejemplo, el vector “A” equivale a A y su magnitud A  A , que representa la longitud. Ejemplos de cantidades vectoriales: velocidad, aceleración, fuerza, campo eléctrico y magnético. La representación gráfica de un vector se hace mediante un segmento orientado OE (Fig.1); la longitud de este segmento representa su magnitud, el ángulo que forma respecto a la horizontal  (o en su defecto el ángulo respecto a la vertical  ) indica su dirección y la flecha indica su sentido. El punto O es el origen o punto de aplicación, E es el extremo del vector. La recta en que se apoya el segmento se llama directriz del vector. E

A

 O

 Fig. 1

Usaremos esta definición tanto en la parte eléctrica como en la magnética.

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UNIDAD I 1.1 Introducción a la electrostática 

La ciencia de la electricidad se originó con la observación realizada por Tales de Mileto en 600 a.c. “Un pedazo de ámbar al ser frotado atrapa pequeños trozos de paja”

El estudio del magnetismo se remonta al descubrimiento de que ciertas piedras naturales (magnetita) atraen trozos de hierro.

Magnetismo

Electricidad

Fersted, Christian en 1820 observó una relación entre ellas “La corriente eléctrica que circula por un alambre puede producir desviaciones en la aguja de una brújula”.

Electromagnetismo

En el desarrollo de esta nueva ciencia intervinieron muchos investigadores:  

Michel Faraday (1791-1867) James Clerk Maxwell (1831-1879) o Ecuaciones de Maxwell, desempeñan en el electromagnetismo, el mismo papel que las leyes de Newton del movimiento y la gravitación en la mecánica.

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Ecuaciones de Maxwell I.

∈0 ∮ 𝐸󰇍 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑞 → Ley de Gauss de la electricidad →Relación entre Carga y Campo Eléctrico

II.

∮ 𝐸󰇍 ∙ 𝑑𝑠 = 0

III.

∮ 𝐸󰇍 ∙ 𝑑𝑙 = −

→ ley de Gauss del magnetismo → campo magnético 𝑑𝛷𝐵 𝑑𝑡

→ ley de la inducción de Faraday → El efecto eléctrico de

campos magnéticos variables en el tiempo

IV.

∮ 𝐵󰇍 ∙ 𝑑𝑠 = 𝜇0 ∙ (𝜖0 ∙

𝑑𝛷𝐸 𝑑𝑡

+ 𝑖) → Ampere → El efecto magnético de campos

eléctricos variables o de corrientes

La ecuación I establece que si existe un objeto cargado en el espacio, éste generará en esa región un campo eléctrico. La ecuación II declara que el número de líneas de fuerza de campo eléctrico, que entran en una superficie cerrada, es el mismo que el número de líneas que salen de esta misma superficie. La ecuación III dice que si se tiene un flujo de campo magnético variable en el tiempo, esta variación generará en un conductor una corriente inducida por medio de un campo eléctrico. La dirección de la corriente depende de la dirección del flujo magnético. La ecuación IV permite la creación de un campo magnético debido a dos condiciones: la primera es por medio de una corriente y la otra es debido a una variación de flujo de campo eléctrico.

Maxwell dedujo que:  La luz tiene naturaleza electromagnética  Su rapidez puede determinarse de medidas puramente eléctricas y magnéticas  La óptica se conectó con el electromagnetismo. El campo de las Ecuaciones de Maxwell -

Principios fundamentales de todos los dispositivos electromagnéticos y ópticos  Motores  La radio  La T.V.  El radar de microondas

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 Los microscopios, telescopios El desarrollo del electromagnetismo no terminó con Maxwell, lo continuaron:    

Heaviside Esclarecieron la teoría H.A Lorentz H. Hertz → ondas cortas de radio Marconi → aplicaciones

1.2 Carga Eléctrica



 



“Frotando con seda una barra de vidrio y suspendiéndola con un hilo largo, puede demostrarse que existen dos tipos de carga” Pues si se frota una segunda barra con seda y se aproximan los extremos frotados de ambas, se repelerán mutuamente. Si se frota con una piel una barra de plástico (lucita), ésta atraerá la barra de vidrio Dos barras de plástico frotadas con una piel se repelerán entre sí. “Estos hechos se explican diciendo que al frotar a las barras se les suministra una carga eléctrica y que las cargas en dos barras ejercen fuerzas mutuas. “ Benjamín Franklin (1706 -1790), llamó positiva (+) a la clase de electricidad que se produce en el vidrio y negativa (-) a aquella que ocurre en el plástico y concluyó:

-Las cargas iguales se repelen y las cargas opuestas se atraen-

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“normalmente un átomo es –Neutro- (#protones = # electrones) La carga del electrón (-), protón (+), Neutro = no carga. 𝑒 → electrón → m = 9.109534x10-31 kg. → q = 1.602x10-19 C (Coulomb) El coulomb se define como la cantidad de carga que fluye a través de una sección transversal dada de un alambre en un segundo, cuando en él existe una corriente estacionaria de un Ampére q = it. 1.3 Ley de Coulomb Charles Augustin Coulomb (1736-1806) cuantificó por primera vez la atracción y repulsión eléctrica y dedujo la ley que los gobierna por medio de dos experimentos.

Si a (q1) y b (q2) están cargadas, la fuerza eléctrica en a tiende a torcer la fibra de suspensión. Coulomb compensaba este efecto torsional, haciendo girar la cabeza de la suspensión a través de un ángulo θ. Experimento I: los valores de q1,q2 se mantienen fijos y se varía la distancia r entre éstas. El resultado

1

𝐹 ∝ 𝑟2 Experimento II: ahora se deja r fija y se varía el producto de las cargas.

𝐹 ∝ 𝑞1 𝑞2 Uniendo estos resultados experimentales, tenemos la siguiente relación.

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𝑞1 𝑞 22 𝐹∝ 𝑟 Para quitar la proporción colocamos una constante k, i.e.

Donde 𝑘 =

𝐹=𝑘 ∙

1 4𝜋𝜖0

𝑞1 𝑞2 𝑟2

∈0 =8.854187818x10-12 C2/ N∙m2 (constante de permitividad en el vacío), así: 𝑁𝑚2 1 = 9.0𝑥109 2 4𝜋 ∈0 𝐶

Ley de Coulomb en forma Vectorial

𝐹= 𝑘 ∙

𝑞1 𝑞2 2 ∙ 𝑟12 𝑟12

𝑟1 = vector de posición de q1

𝑟2 = vector de posición de q2

𝑟12= vector de posición de q2 respecto a q1

Ejemplo. Si la carga total positiva y la carga total negativa, se separan a una distancia tal que su fuerza de atracción es de 4.5 N ¿Cuál debe ser su separación? Solución. Si las cargas están dadas por el valor de electrón, tenemos 𝐹= 𝑘 ∙

𝑘 𝑘 ∙ 𝑞2 𝑞2 𝑞1∙𝑞2 √ = 𝑞√ ⇒ 𝑟 = = 𝑘 ∙ 2 2 𝐹 𝑟 𝑟 𝐹

= 1.602𝑥 10−19 𝐶 √

9.0𝑥109 𝑁∙𝑚2 / 𝐶 2 4.5 𝑁

= 7.16 x 10-15m

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Ejemplo- Dos cargas puntuales, q1= +25 nC, q2 =-75 nC , están separadas por una distancia de 3.0 cm . Encuentre la magnitud y dirección: a) La fuerza eléctrica que q1 ejerce sobre q2 b) La fuerza eléctrica que q2 ejerce sobre q1 Solución a) F1sobre2= 4𝜋𝜖 ∙ 1

0

|𝑞1∙𝑞2 | 𝑟2

= 9.0𝑥109 𝑁 ∙

∙

𝑚2 𝐶2

|(+25𝑥10−19 𝐶)(−75𝑥10−4 𝐶 )| (0.030𝑚)2

⟹ 𝐹21 = 0.019𝑁

b) Por la ley de Newton F2sobre1 = 0.019N

Si existen más de dos cargas, se calcula la fuerza que sobre cualquiera de ellas (i.e. q1) ejercen todas las demás. 𝐹𝑇 = 𝐹12 + 𝐹13 + 𝐹14 + ⋯ Este es el Principio de Superposición.

Notación: 𝐹12 = fuerza que ejerce q2 sobre q1

Ejemplo. Dos cargas puntuales están situadas sobre el eje positivo de las x de un sistema de coordenadas. La carga q1 = 1.0 nC está a 2.0 cm del origen y la carga q2 = -3.0 nC está a 4.0 cm del origen ¿Cuál es la fuerza total que ejercen estas dos cargas sobre una carga q3 = 5.0 nC situada en el origen? Solución:

F1sobre3 = 4𝜋𝜖 ∙ 1

F2sobre3=

1

0

4𝜋𝜖0

∙

|𝑞1 𝑞2 | 𝑟2

|𝑞1∙ 𝑞2 | 𝑟2

= 9.0𝑥109 𝑁 ∙

= 9.0𝑥109 𝑁 ∙

𝑚2 𝐶2 𝑚2

𝐶2

∙

∙

(1.0𝑥10−9 𝐶)(5.0𝑥10−9 𝐶) (0.020𝑚)2

(3𝑥10−9 𝐶)(5.0𝑥10−9 𝐶) (0.040𝑚)2

Fx=−112𝜇𝑁 + 84𝜇𝑁 = −28𝜇𝑁 =-2.8x10-5 N

Se mueve a la izquierda,

= 1.12𝑥 10−4 = 112𝜇𝑁

= 8.4𝑥10−5 = 84𝜇𝑁

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Ejemplo. Dos cargas positivas iguales, q1 = q2 = 2.0 μC interactúan con una tercera carga puntual Q = 4.0 𝜇𝐶 . Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza total (neta) sobre Q.

Solución

F1sobreQ=9.0𝑥 109 𝑁 ∙

0.29𝑁

𝑚2 𝐶2

∙

(4.0𝑥10−6 𝐶)(2.0𝑥10−6 𝐶) (0.50𝑚)2

=

El ángulo α está abajo del eje de las x por tanto, las componentes de estas fuerzas están dadas por: (F1sobreQ)x= (F1sobreQ)Cosα = (0.29N) 0.50𝑚 =

0.23𝑁

0.40𝑚

(F2sobreQ)y= -(F1sobreQ)Senα= -(0.29N) 0.50𝑚 = Lo mismo para F2sobreQ, pero:

−0.17𝑁

0.30𝑚

Fx= 0.23N +0.23N =0.46N Fy=-0.17N +0.17N=0 La fuerza total sobre Q está en la dirección + x y su magnitud es de 0.46N

1.4 Campo Eléctrico De la mecánica clásica, sabemos que para cada punto del espacio, en las vecindades de la tierra se le puede asociar un vector de campo gravitacional 𝑔, donde 𝑔 = 𝐹/𝑚

Este campo es la aceleración gravitacional que experimenta un cuerpo de prueba. De esta manera, un objeto de masa m colocado en un punto del espacio y dejado en libertad, experimentará una aceleración debido a la existencia de un campo vectorial (gravitacional). El flujo de agua en un río es otro ejemplo de campo vectorial, pues a cada punto en el agua se le asocia una cantidad vectorial 𝑣 (velocidad). Si 𝑔 𝑎 𝑣 no cambian con el tiempo, se dice que son campos estacionarios

Entonces, si se coloca una carga de la prueba q0 en una región cercana a una varilla cargada, existe una fuerza eléctrica

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Lo mismo sucede para un campo magnético, se coloca un imán de prueba y éste experimenta una fuerza magnética Parar definir 󰇍𝐸:

1. Se coloca +q0 en el espacio

2. Se mide la fuerza eléctrica 𝐹 q0

→ carga de prueba (puntual)

Tenemos 󰇍 = 𝐸

𝐹 𝑁 [ ] 𝑞0 𝐶

󰇍 tal que un electrón, colocado Ejemplo. ¿Cuál debe ser la magnitud de un campo eléctrico 𝐸 en este campo, experimente una fuerza eléctrica igual a su peso? Solución:

9.8𝑚 −31 𝐹 𝑚𝑔 (9.1𝑥10 𝑘𝑔)( 𝑠 2 ) = 5.6𝑥 10−11𝑁/𝐶 = 𝐸= = 1.6𝑥10−19 𝐶 𝑒 𝑞0

󰇍 para que la fuerza eléctrica anule a la fuerza ¿En qué dirección debe apuntar 𝐸 gravitacional?

Definición formal de Campo eléctrico. En la siguiente ecuación se establece el límite cuando la carga de prueba tiende a cero, esto quiere decir que la carga de prueba es lo suficientemente pequeña, de lo contrario en la carga se tendríamos ciertas cargas en movimiento provocando la existencia de corrientes internas. 𝐸 = lim𝑞0→0

𝐹 𝑞0

Líneas de fuerza de Campo eléctrico. Si la carga es positiva, las líneas de fuerza del campo eléctrico salen en todas las direcciones (divergen), entonces se dice que tenemos una fuente. Si la carga es negativa, todas las líneas convergen en un mismo punto, se dice que tenemos un sumidero. En la figura se muestra la distribución de cuatro arreglos de cargas.

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Interacción carga- campo

Si 𝐹 =

1

4𝜋𝜖0

∙

𝑞∙ 𝑞0 𝑟2

⟹𝐸=

1

4𝜋𝜖 0

𝑞

∙ 𝑟2

Donde 𝑞 es la carga que genera el campo eléctrico y 𝑞0 es la carga de prueba.

Si ahora tenemos una distribución de carga discreta, usamos el Principio de Superposición 󰇍 = 𝐸 󰇍 1 + 𝐸󰇍 2 + 𝐸󰇍 3 + ⋯ 𝐸 󰇍𝑛 𝐸

Si la distribución de carga es continua, se toma un elemento diferencial de carga, el cual generará en un punto P un diferencial de campo eléctrico, como se indica en la ecuación. 𝑑𝐸 =

1 𝑑𝑞 ∙ 2 4𝜋𝜖0 𝑟

Para hallar el campo eléctrico total utilizamos el principio de superposición, i.e. 󰇍𝐸 = ∫ 𝑑𝐸󰇍 Ejemplo.- Dipolo eléctrico. Se desea encontrar el campo eléctrico en el punto P, como se indica en la figura. Solución. Dado que el sistema está formado por una distribución de carga discreta, se utiliza el principio de superposición, 󰇍 𝐸= 𝐸󰇍1 + 𝐸󰇍2

󰇍𝐸1 = 𝐸󰇍 2 =

1

4𝜋𝜖0

∙

𝑞

𝑎2 +𝑟2

Dado que tenemos los vectores E1 y E2, analizamos sus proyecciones en el eje x y y, 𝐶𝑜𝑠 ∝=

𝑆𝑒𝑛 ∝=

𝐸𝑥1 → 𝐸𝑥1 = 𝐸1 𝐶𝑜𝑠𝛼 𝐸1

𝐸𝑥1 → 𝐸𝑥1 = 𝐸1 𝑆𝑒𝑛𝛼 𝐸1

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𝐸𝑥2 𝐶𝑜𝑠 ∝= 𝐸 → 𝐸𝑥2 = 𝐸2 𝐶𝑜𝑠𝛼 2 𝑆𝑒𝑛 ∝=

𝐸𝑥2 → 𝐸𝑥2 = 𝐸2 𝑆𝑒𝑛𝛼 𝐸2

Las proyecciones en el eje x

(𝐸)𝑥 = 𝐸𝑥1 + 𝐸𝑥2 = 𝐸1 𝐶𝑜𝑠𝛼 − 𝐸2 𝐶𝑜𝑠𝛼 = 𝐸1 𝐶𝑜𝑠𝛼 − 𝐸1 𝐶𝑜𝑠𝛼 = 0

Las proyecciones en el eje y

(𝐸)𝑦 = 𝐸1 𝑆𝑒𝑛𝛼 + 𝐸2 𝑆𝑒𝑛𝛼 = 2𝐸1 𝑆𝑒𝑛𝛼

∴ (𝐸)𝑦 = 2 Si r >> a, entonces 𝐸 ≅

1 1 2𝑎𝑞 𝑞 𝑎 ∙ 2 ∙ 2 ∙ = 2 4𝜋𝜖0 (𝑎 + 𝑟 ) √𝑎2 + 𝑟 2 4𝜋𝜖0 (𝑎 + 𝑟 2 )3/2

1

4𝜋𝜖0

∙

(2𝑎)(𝑞) 𝑟3

Como 2a es la separación entre las cargas y 2aq = momento dipolar eléctrico P 𝐸=

1 𝑃 ∙ 3 4𝜋𝜖0 𝑟

Ejemplo. Una carga q1 (=+1.0x10-6 C) separada 10 cm de otra carga q2 (=+2.0x10-6 C), ¿para cuál punto a lo largo de la línea que una a las dos cargas es el campo eléctrico igual a cero? Solución:

Si 𝐸󰇍1 es el campo eléctrico debido a q1 y 𝐸󰇍2 es el correspondiente a la carga q2, 󰇍𝐸1 + 𝐸󰇍 2 = 0

y como 𝐸󰇍1 = −𝐸󰇍2 , tenemos 𝐸1 =...