Areas DE Poligonos Regulares E Irregulares PDF

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esta es la parte de un informe en general llamado "areas y perimetros de regiones planas", es este solo abordamos el tema de poligonos regulares e irregulares...

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AREAS DE POLIGONOS REGULARES E IRREGULARES Los polígonos están presentes en nuestra vida diaria, formando parte de diversos diseños arquitectónicos que dan origen a los poliedros (edificios) y a su vez también formando mosaicos, además algunos elementos naturales (hojas, accidentes geográficos, frutos y verduras) también tienen formas geométricas de los polígonos. En el diseño de mosaicos para adornar paredes, jardines, fuentes y piscinas, frecuentemente son utilizados diferentes polígonos regulares que en ocasiones generan nuevas figuras que pueden ser polígonos irregulares. ¿Cómo determinar el área que ocupan los polígonos seleccionados para crear uno de estos bellos decorados? POLIGONO Un polígono es una figura plana (bidimensional) cerrada con lados rectos. Algunos ejemplos son triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc. Área de polígonos regulares

Hasta ahora se han visto las fórmulas para determinar el área de polígonos de tres y cuatro lados (triángulos y algunos cuadriláteros, respectivamente), pero también hay figuras de cinco, seis, siete, n lados y de forma regular e irregular. Un polígono regular es una figura que tiene sus lados iguales y sus ángulos congruentes (de igual medida). Para determinar la fórmula del polígono regular de cinco lados (pentágono) se hacen las siguientes consideraciones: sea el pentágono regular ABC

en donde:

Obsérvese que el pentágono está dividido en cinco triángulos de igual medida, esto es:

Lo cual se puede representar de la siguiente manera:

simplificando esta expresión se obtiene:

área del pentágono =

pero el término 5 · b determina el perímetro (p) del pentágono y "h" es el el apotema (a), en consecuencia:

área del pentágono esto significa que el área de un pentágono regular es igual al semiproducto del perímetro por el apotema. Con esta fórmula puede hallarse el área de cualquier polígono regular conociendo su apotema y la medida de uno de sus lados (su perímetro se obtiene multiplicando su número de lados por la medida de uno de ellos); por esto se le conoce como la fórmula general para obtener el área de un polígono regular.

POLIGONO IRREGULAR El cálculo del área de un polígono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo

de

áreas.

El

método

más

común

es

dividir

el polígono en N triángulos (siendo N el número de lados del polígono) y calcular la área como suma de las áreas de los triángulos.

=

[ CITATION htt \l 10250 ]

El área del polígono irregular se puede calcular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss:

Triangulación del polígono irregular

Sea P un polígono irregular. Se desea calcular su área (A). El método de triangulación consiste en dividir el polígono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en N triángulos y el área del polígono será la suma del área de esos N triángulos. 1.

Se divide el polígono en N triángulos (T1, T2, T3,…, TN) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del polígono y que todos confluyen en un mismo punto interior.

2.Se miden las alturas (h1, h2,…, hN) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del polígono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior. 3.Se calculan las áreas de los N triángulos. El área del primer triángulo es:

Utilizamos la misma fórmula para calcular el

área

los otros N-1 triángulos. 4.Sumamos las N áreas y obtenemos el área del polígono irregular:

de

[ CITATION htt \l 10250 ]

Determinante de Gauss Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss. Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial. Sean los vértices del polígono: (x1,y1), (x2,y2),…, (xN,yN). La fórmula és la siguiente:

[ CITATION htt \l 10250 ]

Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del polígono irregular.

Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos ccóncavos como en los convexos.

Referencias (s.f.). Obtenido de http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/telesec/curso1/htmlb/sec_51.html...