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MÉTODOS DE COMPENSACIÓN DE POLÍGONOSI. OBJETIVOS Conocer los métodos para la aplicación del cierre de poligonales.  Tomar en cuenta los procesos utilizados en cada método.II. DESARROLLO DEL TEMA TIPOS DE POLIGONALES Las poligonales pueden ser clasificadas en: a. Poligonales cerradas: Cuando el ult...

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MÉTODOS DE COMPENSACIÓN DE POLÍGONOS I. OBJETIVOS  Conocer los métodos para la aplicación del cierre de poligonales.  Tomar en cuenta los procesos utilizados en cada método. II.

DESARROLLO DEL TEMA 2.1. TIPOS DE POLIGONALES Las poligonales pueden ser clasificadas en: a. Poligonales cerradas: Cuando el ultimo vértice coincide con el primero, es decir si los extremos son concurrentes, pudiendo realizarse control de cierre angular y lineal, ofreciendo la ventaja de poder verificar en el terreno la bondad de las mediciones angulares comparando las sumas de los ángulos internos o externos medidos, con aquella teórica establecida por dos conocidos teoremas de la geometría plana: int. 180º (n - 2) ext. 180º (n 2) b. Poligonales abiertas o de enlace con control: en las que son conocidas las coordenadas de los puntos inicial y final y la orientación (rumbo) de las alineaciones inicial y final, siendo entonces posible efectuar también los controles de cierre angular y lineal. Se conocen como poligonales doblemente vinculadas y doblemente orientadas. c. Poligonales abiertas en las cuales no es posible establecer el control de cierre angular, ya que se conocen las coordenadas del punto inicial y final pero no las dos orientaciones de las alineaciones, se podrá efectuar el control de cierre lineal. d. Poligonales abiertas aisladas (no vinculada) cuando no se han referido a puntos de coordenadas conocidas, es decir el sistema de referencia es arbitrario, haciendo imposible establecer los controles de cierre. 2.2. MEDICION DE ANGULOS La misma se ejecuta con teodolito o con estación total, siguiendo alguno de los métodos conocidos, un número de veces determinado por la precisión que se persigue en el trabajo y la del aparato usado. Se debe prestar gran atención a la bisección de las señales colocadas en los vértices cuando las longitudes de los lados de la poligonal sean pequeñas. Es de especial importancia, para evitar incertidumbre y errores, establecer previamente cual, de los dos ángulos que formen parte de cada vértice se desea medir. Por ejemplo: en las poligonales abiertas se podrá decidir medir en cada vértice el ángulo que el lado precedente debe rotar en sentido de las agujas del reloj en torno al vértice para ir a coincidir con el lado sucesivo. Si la poligonal es cerrada se podrá convenir en medir los ángulos internos o bien los externos.

2.3. MEDIDA DE LOS LADOS DE UNA POLIGONAL La medida de ellos puede efectuarse: directa o indirectamente. El medio directo más común es aquel que se efectúa con las cintas de acero secundadas por las fichas, consiste en la comparación de la longitud del lado con una unidad de medida en sucesivas aplicaciones del instrumento usado (cinta) recorriendo la distancia en toda su extensión. La medida de los lados, se deberá reducir al horizonte, si la precisión del trabajo lo exige. Cada lado debe ser medido dos veces, una vez en ida y otra en vuelta, con el fin de evitar un posible error grosero. El método indirecto más común en la actualidad es el uso de la estación total o los distanciómetros electrónicos, que se utilizan en cualquier tipo de terreno y que alcanzan altísimas precisiones.

2.4. METODOS PARA LA COMPENSACION DE POLOGONALES CERRADAS En el caso de una poligonal cerrada el error lineal de cierre debe distribuirse entre todo el polígono para cerrar la figura. Hay cinco métodos para el ajuste de poligonales cerradas: 1) el método arbitrario, 2) la regla del tránsito, 3) la regla de la brújula (o de Bowditch), 4) el método de Crandall y 5) el método de mínimos cuadrados. 2.4.1. Método arbitrario: El método arbitrario de compensación de poligonales no se conforma a reglas fijas ni a ecuaciones. Más bien se distribuye el error lineal de cierre arbitrariamente, de acuerdo con el análisis del topógrafo acerca de las condiciones que prevalecieron en el campo. Por ejemplo, los lados medidos con cinta sobre terreno quebrado y que necesitaron frecuente aplome y división de la medida con cinta, tendrán probabilidades de contener errores más grandes que los lados medidos sobre terreno a nivel; por tanto, se les asignan correcciones mayores. El error total de cierre se distribuye así en forma discrecional para cerrar matemáticamente la figura, es decir, hacer que la suma algebraica de las proyecciones y la suma algebraica de las proyecciones X, sean iguales a cero. 2.4.2. Regla o método del teodolito: La corrección que se debe de aplicar a una latitud o longitud de una alineación es la corrección total por longitud y latitud. Esta regla es teóricamente mejor para los levantamientos con teodolito en los que se miden los ángulos con mayor precisión que las distancias, como en los levantamientos hechos con estadía, pero raras veces se emplea en la practica porque se obtienen diferentes resultados para cada meridiano posible Esta regla se fundamenta en dos aspectos:  Todos los errores cometidos en la poligonal son accidentales.  Las mediciones angulares son más precisas que las lineales. Las correcciones se calculan por las fórmulas siguientes: Proyección en latitud (Proyecciones Norte – Sur) Correccion en Latitud.- se emplea la siguiente formula: 𝐶𝑙𝑎𝑡 = 𝑃𝑦 × 1 ±

∆𝑦 ∑ 𝑃𝑛 − ∑ 𝑃𝑠

Donde: Clat: es la corrección de proy. Y de una línea Py: Indica la proyección que se va a corregir ∆y: Es el error de cierre en proyecciones Y ∑PN-∑PS: Es la suma aritmética de las proyecciones Y, en ellas no se considerará el signo sino que se sumaran siempre.

   

Proyección en Longitud (Proyecciones Este – Oeste) Corrección en Longitud 𝐶𝑙𝑜𝑛𝑔 = 𝑃𝑦 × 1 ±

∆𝑥 ∑ 𝑃𝑒 − ∑ 𝑃𝑤

Donde: C Long: es la corrección de proyección X de una línea Py: Indica la proyección que se va a corregir ∆X: Es el error de cierre en proyecciones X ∑PE-∑PW: Es la suma aritmética de las proyecciones X, en ellas no se considerará el signo, sino que se sumaran siempre.

   

2.4.3. Regla de la brújula (o de Bowditch) Este método, propuesto por Nathaniel Bowditch alrededor de 1800, es el método más comun. El método asume que:  Los ángulos y las distancias son medidos con igual precisión  El error ocurre en proporción directa a la distancia  Las proyecciones se corrigen proporcionalmente a la longitud de los lados Matemáticamente tenemos, ε∆N CpNi = − ( )L ∑ Li i CpEi = − (   

ε∆N )L ∑ Li i

CpNi = corrección parcial sobre la proyección norte-sur del lado i CpEi = corrección parcial sobre la proyección este-oeste del lado i Li = longitud del lado i El signo negativo es debido a que la corrección es de signo contrario al error utilizado en los trabajos normales de topografía.

2.4.4. Método de crandall: En este método de compensación de polígonos, se distribuye primero el error de cierre angular en partes iguales entre todos los ángulos medidos. Luego se mantienen fijos los ángulos ajustados y se asignan todas las correcciones restantes a las medidas lineales, siguiendo un procedimiento de

mínimos cuadrados pesados o ponderados. El método de Crandall es más lento que los procedimientos de la regla del teodolito o de la brújula, pero es adecuado para ajustar polígonos en que las medidas lineales tienen errores aleatorios más grandes que las medidas angulares, como por ejemplo en poligonales trazadas por estadía. 2.4.5. Método de mínimos cuadrados: El método de los mínimos cuadrados, basado en la teoría de las probabilidades, compensa simultáneamente las medidas angulares y las lineales, de modo de hacer mínima la suma de los cuadrados de los residuos. Este método es válido para cualquier tipo de poligonal, sin importar la precisión relativa de las medidas de los ángulos y las distancias, en vista de que a cada cantidad medida se le puede asignar un peso relativo. Una aplicación clásica de las proyecciones es en el cálculo de coordenadas de poligonales, las que a su vez servirán para el cálculo de distancias y rumbos. 2.5. CASOS PARTICULARES a) Si desde los extremos se ha observado un único punto de coordenadas conocidas, esto es si P y Q coinciden siguen vigentes las condiciones de cierre lineal, el cierre angular, (2) tomará la siguiente forma: ( An P) ( A1P) (n 1)180º P(XP , YP) X (A1 P)

n-1

l1 A1 (X1 , Y1)

l2

l3

A 2

n An-1 A4

A3

ln-1

An (Xn , Yn)

O

Y b) Si coinciden A n con P y Q con A1 como puede convenir cuando los extremos sean intervisibles, subsisten las condiciones de cierre lineal. El cierre angular, (2) toma la forma: (An A1) (A1 An) (n 1)180º y recordando que (An A1) y (A1 An) son rumbos recíprocos que difieren en 180º y que la ecuación de condición es verdadera a menos de un numero entero de veces 180º, se llega a uno de los teoremas de la geometría plana que expresan que la suma de los ángulos internos o externos de un polígono cerrado es igual a:

i

180º (n 2) e 180º (n 2)

2.6. POLIGONAL DOBLEMENTE VINCULADA Y SIMPLEMENTE ORIENTADA Cuando desde A1 se ha observado un punto conocido P, pero desde A n no se ha observado algún punto conocido, entonces falta la condición angular (2). En tal caso se calculan directamente las coordenadas con los rumbos provenientes de los medidos y luego se opera como se ha visto en el caso general. En este caso sigue existiendo la ecuación de cierre lineal, por lo tanto es posible calcular, pero si este valor es mayor que la tolerancia establecida, no es posible saber si el error se cometió al medir lados ó ángulos, habrá que medir nuevamente todos los elementos. Resumiendo: No hay ecuación de cierre angular, hay control y compensación lineal. X P(XP , YP) (A1 P) n-1 n-1 A ln-1

l1 A1 (X1 , Y1)

l 2

l3

A 2

An

(Xn , Yn) A4

A3 O

Y 2.7. POLIGONAL DOBLEMENTE VINCULADA Y NO ORIENTADA: Cuando desde A1 y An no se han observado puntos fijos, no es posible calcular directamente los rumbos de los sucesivos lados ya que falta la orientación del primer lado respecto a una dirección de referencia conocida. Para la determinación de las coordenadas de los vértices se hará lo siguiente: Se asigna un valor arbitrario al rumbo del primer lado, se calculan los rumbos de los lados sucesivos: R'2 , R'3 ,........., Rn' 1 y a continuación se obtienen las coordenadas X'2 Y2' , X'3 Y3' ,........, Xn' Yn' de las posiciones provisorias A'2 , A'3 ,........., An' de los vértices.

An (Xn,Yn) R(A1 An) A'n (X'n,Y'n)

A1 (X1,Y1) R'1 A'1 A'3 A'2 Y-Y n 1

Y' - Y n 1

Luego con: tg (AA ) ; tg (AA' ) 1 n X n - X1 1 n X 'n- X 1 se calculan los rumbos (A1An ) y (A1A'n ) , obteniendo (A1An ) - (A1A'n ) Si se rota la figura provisoria alrededor de A1 hasta hacer coincidir (A1An' ) con (A1An ) , todos los puntos de esa figura girarán alrededor de A1 el ángulo , entonces los verdaderos rumbos de los lados de la poligonal serán: R1 R1' R2 R2' ................... Rn Rn' 1 Con estos valores se procede a calcular las coordenadas utilizando el método ya c conocido. Si se ha cometido algún error (ya sea en la medida de lados ó ángulos) es imposible saberlo al no existir ningún tipo de control, por lo tanto será necesario extremar las precauciones al realizar las medidas de los elementos poligonales. En cuanto a la compensación, se reduce a la lineal ya vista. 2.8. POLIGONAL SIMPLEMENTE VINCULADA Cuando desde A1 (de coordenadas conocidas) no se ha observado algún punto conocido y de An se desconocen sus coordenadas existirán infinitas posiciones posibles de los vértices de acuerdo a los valores arbitrarios que se le asigne al rumbo de partida R1, quedando indeterminada la orientación de la poligonal. Por lo tanto no hay controles ni compensación. 2.9. POLIGONAL AISLADA (NO VINCULADA Y NO ORIENTADA) Si la poligonal no está vinculada (no se referencia a puntos de coordenadas conocidas), para el cálculo se asume un sistema arbitrario de ejes rectangulares.

2.10. POLIGONAL CERRADA Cuando la poligonal es cerrada ( An coincide con A1) siempre se tiene la condición de cierre angular: 180º (n 2) ó 180º (n 2) i e La corrección de los ángulos se efectúa repartiendo el residuo < tolerancia en partes iguales entre ellos y de modo que la condición misma venga satisfecha. También se tienen las condiciones de cierre lineal, pero siendo Xn X1 y Yn Y1 se transforman en: l.cos R 0

2 2< a repartir respectivamente entre l.cos R X Y Tolerancia si los l.senR 0 l.senR en la forma ya vista. Luego para el cálculo de las coordenadas de los vértices se procede en la manera usual, o bien conociendo el rumbo del lado de partida o dando un rumbo arbitrario. De todo lo visto se concluye que una POLIGONAL CERRADA es siempre más ventajosa que una poligonal abierta que no se apoya en vértices conocidos. 2.11. RESUMEN DE OPERACIONES A REALIZAR EN POLIGONACIÓN Con el fin de cumplimentar los objetivos propuestos por una poligonal se debe seguir una secuencia lógica de tareas que con fines docentes les llamaremos: experiencias de aprendizaje las cuales se refieren alternativamente a experiencias de gabinete, de campaña y nuevamente de gabinete. 1) Búsqueda de antecedentes: consiste en obtener de las instituciones técnicas de Jurisdicción Municipal, Provincial ó Nacional dedicadas a estudios Topográficos, por ejemplo: I.G.M.A., Dirección de Catastro, de Minería y Geología, etc., las informaciones relacionadas entre otras a: características topográficas de la zona (accidentada, de pendientes suaves, llanas, etc.), caminos principales y secundarios, huellas, etc., que permiten el acceso a la zona de trabajo, ubicación de asentamientos poblacionales, puntos de coordenadas conocidas a los cuales se podría vincular el trabajo de poligonación, tipos de suelos (para seleccionar las marcas a usar), etc. Todas estas informaciones nos permitirán elegir además el equipo de instrumentos a usar, precisiones a exigir, etc. 2) Reconocimiento del Terreno: consiste en recorrer con detenimiento la zona de trabajo, para ir eligiendo la ubicación de los vértices y eventualmente visualizar los detalles a levantar. 3) Elección de los vértices de la poligonal: del reconocimiento ejecutado se eligen las ubicaciones de los vértices teniendo en cuenta: Intervisibilidad entre los vértices de la poligonal y visión cómoda y clara de los detalles a levantar. Que las marcas sean fáciles de colocar, que no se destruyan por la acción de máquinas o por fenómenos naturales, que sean fáciles de encontrar o reponer. Que no hayan obstáculos en el terreno que hay entre dos vértices y a los detalles, para poder medir las distancias con el método directo o indirecto ya elegido según la precisión prevista. Que sean fáciles de abalizar, es decir, referir la marca a hechos existentes por medio de distancias, con el objeto de: poder reponerla en caso de destrucción, encontrarlas luego de pasado algún tiempo. Si es necesario se colocarán estacas

en lugares donde no se destruyan para referir a ellas las principales. Elegidos los vértices, debe hacerse un croquis indicando el Norte.

Arbol

Estaca

N 1 6 . 2 0 m

12 0º

.4m 7 5 1

Ai 12 0º

12 0º m 0 3 . 0 1 Poste de Hº

4) Marcación: en caso de que los vértices no coincidan con marcas existentes, se deberán colocar en el terreno, estacas, bulones de hierro, mojones, etc., 5) Señalización: según la “topografía” del terreno, la distancia entre vértices, la precisión del trabajo, etc., serán los elementos a usar para la señalización: fichas, jalones con trípodes, etc. 6) Medición de los elementos de la Poligonal: ángulos y longitud de lados. Es recomendable organizar en planillas secuenciadas para anotar los resultados de las experiencias de patio o de campo. En estas planillas se anota en campaña los resultados, con lápiz en forma clara y concisa, es preferible borrar ó tachar antes que enmendar los números que provocan confusiones y errores. 7) Reducciones de los datos: en las planillas ya elaboradas se calculan los ángulos y distancias (cuando se deban reducir al horizonte). En caso de una poligonal cerrada se controla en el campo la condición de cierre angular, para comprobar si cumplen las tolerancias angulares impuestas. 8) Compensación y cálculo de la poligonal: La obtención de las coordenadas de los vértices de la poligonal ya ha sido explicado con detalle en este apunte. 9) Representación y compensación gráfica

EJEMPLO DE CÁLCULO Y COMPENSACIÓN DE UNA POLIGONAL CERRADA Supongamos haber medido una poligonal semi-urbana ABCD, los lados y ángulos medidos en campaña son los siguientes: ÁNGULOS LADOS (mts.) A = 80º 15’ 00” AB = 324.99 20 B = 83º ” 32’ BC = 301.77 30 CD = 245.86 ” 05’ C = 90º DA = 276.67 D = 106º 05’ = 1149.29 30” = 359º 58’ 20”

A

B

D

C Se comprobará primeramente que el error de cierre angular es menor que la tolerancia establecida: T 60" n 60" 4 120" ; (n - 2)180º (4 - 2)180º 360º 359º58'20" 360º 0º01'40" 100" T Por lo tanto es posible compensar, para ello se efectúa el cociente: Corrección angular 100" 25" 4 4 Luego, el valor compensado de los ángulos será: Angulo compensado = Angulo observado – Corrección angular Como control: Sumatoria de ángulos compensados = 360º Fijamos un sistema arbitrario de coordenadas dándole rumbo a un lado y coordenadas a un vértice: xA = 1000 ; yA = 1000 ; (AB) = 0º00’00” A continuación se calculan los rumbos de los lados de la poligonal y luego los x , y , para poder obtener las coordenadas. Se comprueba el error de cierre lineal cometido, esto es: ( x)2

( y)2

Establecemos como tolerancia por ej.: que T, se podrá compensar, entonces T x cx

T = 0.00015 L + 0.06 mts. , si el error de cierre lineal es menor 0.23 mts.

y ;

cy

L L Se calculan las coordenadas (con los x , y corregidos), con éstas se determinan los lados y ángulos interiores definitivos (compensados) y por último se calcula la superficie del polígono.

Con el objeto de agilizar y ordenar el cálculo y compensación, se recomienda el uso de las siguientes planillas:...