Metodo de Area de Momentos PDF

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Introducción Las vigas son elementos estructurales que forman parte integral de cualquier obra de ingeniería civil. La variedad de situaciones que se pueden presentar no tienen límite, y cada una de ellas presenta características especiales que la mecánica de materiales debe analizar. A continuación...

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Introducción Las vigas son elementos estructurales que forman parte integral de cualquier obra de ingeniería civil. La variedad de situaciones que se pueden presentar no tienen límite, y cada una de ellas presenta características especiales que la mecánica de materiales debe analizar. A continuación se presentan los métodos de tres momentos y el método de la viga conjugada, los cuales son utilizados principalmente en el análisis de vigas continuas tales como las que podemos encontrar en algunos puentes o pasarelas.

Primera Parte 1. ¿Quién invento el método de Área de Momentos? Los dos teoremas que forman la base de la teoría de las deflexiones y rotaciones por el Método de las Áreas del diagrama de Momentos, fueron presentados en la Universidad de Michigan en 1872 por el profesor de estructuras Charles Green. Ya en 1868 en Alemania, el profesor Otto Mohr presentó una teoría similar por el mismo método para la resolución de rotaciones y deflexiones sin que aparentemente Green supiera de su existencia. La continuidad, mejoramiento y ampliación del método quedó en manos del profesor alemán Muller-Breslau, que lo aplicó a estructuras estáticamente indeterminadas. 2. ¿Cómo se aplica el método de área de momento para viga en voladizo, con cargas continuas y para vigas en discontinuidad? Si la sección es constante, EI también lo es, y el diagrama M/EI tomará la misma forma de diagrama del momento flexionante; en cambio, si se presentan variaciones de sección en intervalos definidos, deben tomarse en cuenta antes de aplicar los Teorema de Mohr.

Tipos de aplicación: Vigas en voladizo: La desviación tangencial de cualquier punto de una viga en voladizo con respecto al empotramiento, coincide con la flecha en ese punto. Vigas simplemente apoyadas: Generalmente en este tipo de vigas, se presenta momentos (+) y (-) en el mismo tramo, que dificultan el dibujo aproximado de la curva elástica, en tal situación, se fija cualquiera de los apoyos como punto de referencia, ya que ahí se sabe que ambas flechas son nulas. Vigas con simetría de cargas: Para vigas simplemente apoyadas con carga simétrica, la curva elástica también es simétrica, y la tangente de regencia puede establecerse en el centro del claro, donde mCL= 0 y la flecha es máxima. Vigas con Asimetría de cargas: Cuando hay variaciones de carga en toda la viga, no es posible establecer el sitio exacto donde se produce la flecha máxima, por lo tanto conviene analizar un intervalo de referencia, que se sugiere sea el intervalo entre los apoyos, y mediante relación Geométrica, calcular la pendiente o flecha en cualquier punto intermedio. 3. ¿En qué consiste el método de la ecuación de los tres momentos, y quien lo invento y en qué caso no puede aplicarse dicho método? En 1857, Clapeyron presentó a la Academia Francesa su “Teorema delos tres Momentos” para el análisis de las vigas continuas, en la misma forma que Bertot la había publicado dos años antes en las Memorias de la Sociedad de Ingenieros Civiles de Francia, pero sin darle crédito alguno. Puede decirse que a partir de este momento se inicia el desarrollo de una verdadera “Teoría de las Estructuras”. Por medio de este teorema puede analizar una viga apoyada por cualquier número de apoyos, esto se debe a que relaciona los momentos flexionantes en 3 apoyos entre sí y con las cargas que se encuentran en la viga. Este método sirve para hallar los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o notables de la viga. Al aplicar la ecuación fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo consecutivos i, j, k, los términos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuación que contiene, como únicas incógnitas, a los momentos en los apoyos. Esto significa, que podemos escribir una ecuación en forma independiente, para tres puntos de apoyo consecutivos en una viga continua. De esta manera, se llega a un sistema compatible “n” ecuaciones independientes con “n” incógnitas que son los movimientos en los apoyos, los cuales se hallan resolviendo el sistema.

La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualesquiera de una viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura. 4. Mencione y muestre en qué tipo de vigas puede utilizarse dicho método. Solo se aplica a vigas continuas.

5. ¿Que son los puntos de apoyo? Punto de un elemento estructural en el que se produce la transmisión de su reacción a una carga, en forma de fuerza sobre el elemento sustentante.

6. Escriba la fórmula de la ecuación de los tres momentos y defina las partes que lo conforman.

7. ¿Cuáles son los tipos de carga básica? Las cargas aplicadas a una viga pueden parecer bastante complicadas, pero hay solamente seis tipos básicos de cargas aplicadas. Una viga puede soportar una cualquiera, o una combinación de estas cargas que son: a) Sin carga. La misma viga se considera sin peso (o al menos muy pequeño comparado con las demás fuerzas que se apliquen). b) Carga concentrada. Una carga aplicada sobre un área relativamente pequeña (considerada aquí como concentrada en un punto). c) Carga uniformemente distribuida. La carga está igualmente distribuida sobre una porción de longitud de la viga. La intensidad de la carga se expresa corno el número de libras por pie; o el número de newton por metro de longitud de carga. d) Carga variable (generalmente distribuida). La carga varia en intensidad de un lugar a otro. e) Par o Momento Torsor. Esta es una torsión aplicada a una viga en alguna parte.

8. ¿Qué hacemos si tenemos un empotramiento y su fórmula? Cuando exista un empotramiento en el extremo de una viga continua, para aplicar el teorema de los tres momentos se añade un tramo ficticio sin carga y sin longitud en ese extremo, de manera que pueda plantearse una nueva ecuación para resolver ese momento de empotramiento.

9. Pasos de la ecuación de tres momentos 1. Determinar si el método de los tres momentos es aplicable para el caso que se desea analizar. Analizar si la viga es estáticamente indeterminada y continua, con su respectivo diagrama de cuerpo libre. Además, verificar que no exista asentamiento en los apoyos. 2. Determinar los tres apoyos que se analizarán y encontrar el momento en cada uno. Estos momentos serán cero a menos que exista una carga en voladizo. 3. Calcular los valores de cada uno de los términos restante en base al tipo de carga que está presente. En caso de que exista una combinación de cargas, por superposición, éstas pueden separarse, calcularse por separado para luego sumarlas. 4. Sustituir los valores encontrados en la fórmula de los tres momentos y despejar para el valor desconocido del momento que se desea encontrar.

10. Muestre que hacemos para una viga inclinada y su fórmula.

Modelo de cálculo: Viga inclinada con dos apoyos con balance superior sometida a una fuerza vertical uniformemente distribuida a lo largo de una dirección inclinada.

Cálculo de las reaccione en los apoyos:

Cálculo de los esfuerzos internos:

11. Si se va a trabajar en más de dos tramos indique que tipo de ecuación se utilizara por tramo.

Si se tienen más de dos tramos, como se presenta en la figura, aplicamos la ecuación de los tres momentos tomando los tramos de dos en dos:

De acuerdo con la definición de momento flexionante, M1 y M4 son nulos, por lo que las ecuaciones forman un sistema de dos incógnitas M2 y M3 , que puede resolverse si se conocen los valores de 6Aa/L y 6Ab/L para cada tramo, correspondiente a las cargas dadas. Si se tuvieran más tramos, se tendría un sistema similar con la misma cantidad de incógnitas que de ecuaciones.

12. De dos ejemplos del método de ecuación de los tres momentos.

13.Muestre por medio de fotografias y haciendo D.C.L ejemplos de torsion y esfuerzos combinados reales.

14.Defina que significa la rigidez relativa en la distribucuon de momentos

15.¿Qué son los momentos de empotramiento perfecto?

16.¿Qué es el metodo de distribucion de momentos, quien lo invento y en que año?

17.Defina el concepto de factores de distribucion

18.¿Donde se aplica este metodo y muestrelo graficamente?

Segunda Parte 1.¿Quien fue el primero que presento el metodo de la viga conjugada y en que año? El método de la " viga conjugada " se debe a Otto Mohr quien lo presentó en 1868. Es de gran importancia para la determinación de deformaciones, por la operatividad que introduce este método. 2. ¿En qué consiste el método de la viga conjugada? Dada una viga de rigidez EI (viga real, figura a) y longitud l, existe una viga conjugada de la misma longitud (figura b) sometida a una carga ficticia igual a la ley de momentos flectores de la viga real dividida por EI, de tal forma que cuando este momento flector es positivo (Fibra inferior fraccionada), la carga está dirigida hacia arriba y cuando es negativo hacia abajo. El método de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma.

Teoremas de la viga conjugada 1. La ley de giros de la viga real es igual a la ley de cortantes de la viga conjugada cambiada de signo. 2. El valor absoluto del ángulo que gira la viga real en uno de sus extremos viene dado por la reacción en valor absoluto en los extremos de la viga conjugada. 3 .La ley de flechas de la viga real coincide con la ley de momentos flectores de la viga conjugada. 4. La flecha máxima se da en la sección de esfuerzo cortante nulo en la viga conjugada y su valor vendrá dado por el momento flector de la viga conjugada en dicha sección.

3. ¿Cuál es la idea de uso de la viga conjugada? Este método consiste en cambiar el problema de encontrar, las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistemas de cargas aplicadas. La viga conjugada es una viga ficticia cuya longitud es la misma que el de la viga propuesta o viga real y cuya carga es el diagrama de momentos reducido aplicados de la viga real. La analogía de las relaciones entre carga-fuerza cortante-momento flexionante, y entre momento-pendiente-deflexión, sugiere que estas últimas se pueden establecer mediante métodos estudiados previamente. Para ello, hay que suponer que la viga está cargado, no con las cargas reales, sino con el diagrama de M/EI correspondiente a dichas cargas. Considerando entonces este diagrama de M/EI como una carga ficticia, se calcula la fuerza cortante y el momento flexionante ficticios, en un punto cualquiera, que se corresponden con la pendiente y las ordenadas de la elástica en los mismo puntos de la viga inicial. 4. Relacione las diferentes ecuaciones y las fuerzas cortantes y el momento de acuerdo a su carga.

5. Relacione los dos teoremas relativos a la viga conjugada utilizando los teoremas anteriores, establezca las condiciones de apoyo a la viga conjugada equivalente a la real. Analíticamente, la doble integración momento-pendiente-deflexión de la viga principal introduce dos constantes y la doble integración carga ficticia (M/EI)-fuerza cortante ficticia-momento ficticio de la viga conjugada, introduce otras dos constantes de integración.

Para que los resultados sean equivalentes, las condiciones aplicadas para la determinación de las constantes tienen que ser forzosamente las mismas en las dos integraciones. De aquí que, en general, la viga principal y la conjugada no podrán tener las mismas condiciones de apoyo. En las vigas estáticamente determinadas, en las que la viga conjugada también lo es, las reglas de transformación de apoyos son las siguientes: 1. Un apoyo extremo en la viga principal (deflexión, o sea, segunda integración, nula) ha de transformarse en un apoyo (M ficticio, o sea, segunda integración, nulo) en la viga conjugada. 2. Un apoyo intermedio en la viga principal (deflexión, o sea, segunda integración, nula; y pendiente, o primera integración, cualquiera, pero igual a ambos lados) ha de transformarse en una articulación de la viga conjugada (M ficticio, o sea, segunda integración, nulo; V ficticia, o sea, primera integración, cualquiera, pero igual a ambos lados). 3. Un extremo empotrado de la viga principal (pendiente y deflexión, o sea, primera y segunda integración, nulas) ha de transformarse en un extremo libre en la viga conjugada (V ficticia y M ficticio, o sea, primera y segunda integración, nulas). 4. Un extremo libre en la viga principal (pendiente y deflexión, o sea, primera y segunda integración, lo que corresponda por las restantes condiciones de sujeción y momentos flexionantes) ha de transformarse en un extremo empotrado en la viga conjugada (V ficticia y M ficticio, o sea, primera y segunda integración, lo que corresponda por las restantes condiciones de sujeción y cargas ficticias). 5. Una articulación en la viga principal (pendiente o primera integración distinta a cada lado, y deflexión, o segunda integración, igual a ambos lados, dependiendo sus valores de las demás condiciones de sujeción y momentos flexionantes) ha de transformarse en un apoyo intermedio de la viga conjugada (V ficticia, o sea, primera integración, distinta a cada lado, y M ficticio, o sea segunda integración, igual a ambos lados, dependiendo sus valores de las restantes condiciones de sujeción y cargas ficticias.

6. Muestre las tablas de la viga real y la viga conjugada.

7. Muestre el equilibrio para mantener estable la viga real a una viga conjugada. El principio general para modificar las condiciones de apoyo consiste en tener en cuenta que si en la viga real hay rotaciones en un apoyo, en la viga conjugada debe haber fuerza cortante; si hay deflexiones en la viga real, debe haber momento flexionante en la viga conjugada; si por el contrario no hay estas deformaciones en la viga real, en la viga conjugada no debe haber fuerza cortante o momento flexionante, según el caso. 8. ¿Cuál es el procedimiento de análisis para determinar el desplazamiento y la pendiente en un punto sobre la curva elástica de una viga utilizando el método de la viga conjugada? La pendiente real equivale a la fuerza cortante ficticia y la deflexión real equivale al momento flexionante ficticio. 9. Muestre dos ejemplos del uso del método de la viga conjugada. DEFORMACION EN UN VOLADIZO

Se pide calcular las pendientes y las deflexiones en el centro del claro y en el extremo de un voladizo que tiene una carga distribuida en la mitad del claro y un momento concentrado en el extremo. Como en casi todos los casos en que actúan varios tipos de carga, es conveniente aplicar el principio de superposición de causas y efectos y resolver cada carga por separado. Así resultan diagramas de momento de figuras conocidas y es más fácil calcular sus áreas y centroides. En los diagramas en que se muestran las cargas separadas, se han trazado en forma esquemática las curvas elásticas. Mientras la carga distribuida produce una deflexión hacia abajo, el momento concentrado la produce hacia arriba. Nótese que para la carga distribuida, la viga debe permanecer recta entre los puntos B y C, porque no hay ninguna carga que la flexione.

Para el caso de la carga distribuida, el momento es nulo entre B y C, y es una parábola de segundo grado entre B y A. El diagrama de M/EI es proporcional al de M porque EI es constante.

Ya teniendo el diagrama de M/EI, se plantea la viga conjugada y se carga con este diagrama. La conjugada de un voladizo, como ya se ha explicado, es un voladizo empotrado en el otro extremo. Como el momento flexionante de la viga real es negativo, las cargas de la viga conjugada deben aplicarse hacia abajo, según la convención de signos. Por lo tanto, las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes son negativos, como se muestra en los diagramas correspondientes del ejemplo. La fuerza cortante en B es el área de la parábola de carga. Entre B y C la fuerza cortante permanece constante porque no hay ninguna carga aplicada. El momento flexionante en B es el momento de primer orden del área de la parábola de carga respecto a B.

Las fuerzas cortantes de la viga conjugada son las rotaciones de la viga real, y los momentos flexionantes son las deflexiones. Obsérvese que las rotaciones, o sea, las pendientes, tienen signo negativo, lo cual es congruente con la forma de la curva elástica, ya que las tangentes a los puntos B y C han girado en sentido horario respecto a la horizontal. De igual forma, es congruente que las deflexiones hayan resultado con signo negativo, ya que la carga distribuida deforma la viga hacia abajo.

Para el caso del momento concentrado, el diagrama de momento flexionante es constante y es positivo, por el signo que tiene el momento aplicado. Entonces, las

cargas de la viga conjugada son uniformes y deben aplicarse hacia arriba, como se muestra en el diagrama correspondiente.

El diagrama de fuerza cortante de la viga conjugada resulta triangular, y el de momento flexionante, parabólico de segundo grado, ambos de signo positivo.

También las rotaciones y deflexiones de la viga real son iguales a las fuerzas cortantes y a los momentos flexionantes de la viga conjugada. Los signos de las deformaciones para éste caso también son congruentes con la forma de la curva

elástica bajo la acción del momento concentrado, ya que las rotaciones son en sentido anti horario y las deflexiones son hacia arriba.

DEFORMACION EN UNA VIGA CON UNA ARTICULACION INTERIOR

En éste ejemplo se muestra la aplicación de la viga conjugada en el caso de una viga con una articulación intermedia. La viga con una articulación intermedia. La viga es isostática, ya que tiene un apoyo libre y el otro, empotrado. Se pide calcular las rotaciones y las deflexiones en el punto de aplicación de la carga concentrada y en la

articulación. La viga es de sección variable: entre las secciones A y C está fabricada con un perfil I rectangular de 305 mm de peralte y 66.9 kg/m, y entre las secciones C y D con un perfil del mismo peralte pero de mayor peso. Los momentos de inercia de éstas secciones, mostrados en los datos del problema, se obtuvieron en el Manual del Instituto Mexicano de la Construcción en Acero (IMCA).

En éste ejemplo también se aplicó el principio de superposición y se resolvió para cada una de las dos cargas por separado. Ya se ha dicho que esto conduce a diagramas de momentos más sencillos de operar. Para el caso A, que corresponde a la carga concentrada, se obtuvo el diagrama de momentos flexionantes considerando el tramo AC como libremente apoyado y aplicando la reacción en C, con signo cambiado, en el extremo del voladizo CD. Como el momento de inercia de la sección transversal es diferente en los dos tramos, y para trabajar con el mismo valor de I, se hizo igual a un valor I0 al menor de los dos momentos de inercia, el del tramo AC, y se calculó el del otro tramo en función de I0, resultando un valor de 1.52I0 , como se muestra en la figura de los datos. De esta manera, el diagrama de M/EI quedó en función de I0 en los dos tramos.

Para trazar la viga conjugada, se consideró que el apoyo A de la viga real, por ser un apoyo extremo libre, sigue siendo el mismo tipo de apoyo en la viga conjugada. La articulación interior C de la viga real se trasforma en un apoyo interior. Y el empotramiento D se trasforma en un extremo libre. (Ver tabla de la Sección 3.5.2). De acuerdo con la convención de signos, el tramo positivo de M/EI se aplica como una carga hacia arriba en la viga conjugada, y el tramo negativo, como una carga hacia abajo. VIGA CONJUGADA:

Ya teniendo la viga conjugada con sus cargas, se calculan las reacciones en A y en C, y las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en B y en C, que es donde se piden las deformaciones de la viga real. Para c...