01 Momentos de inercia de superficies simples PDF

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tablas de inercia de cuerpos solidos , para encontrar inercias...

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Momentos de inercia de áreas

Momentos de inercia de superficies Parte 1. Momentos de inercia de áreas simples Esquema del apartado 1.1. Introducción: concepto de momento de inercia 1.2. Definición de momento de inercia respecto de un eje cualquiera, respecto de los ejes cartesianos y respecto de un poco 1.3. Cálculo del momento de inercia respecto de un eje cualquiera 1.4. Cálculo del momento polar de inercia 1.5. Radios de giro

1.1. Introducción: concepto de momento de inercia El momento de inercia de superficies no tiene significado físico. Se trata únicamente de un concepto geométrico (similar al de los momentos de primer orden) que surge en los estudios de algunos elementos al analizar los momentos que ejercen distribuciones de fuerzas respecto de ejes. Esta propiedad geométrica (momentos de inercia de áreas), es necesaria en el cálculo de estructuras para determinar parámetros como la tensión que soporta o la deformación que se produce. Para ello, se utiliza el momento de inercia de la sección de la viga. Físicamente, este factor (momento de inercia de la sección) está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen debidas a la flexión en un elemento estructural (por ejemplo, una viga). Por este motivo son, junto con las propiedades físicas del material que forma dicho elemento estructural, las características que determinan la máxima resistencia de dicho elemento estructural bajo flexión. Por lo tanto, se trata de una propiedad geométrica de las secciones que permite calcular, por ejemplo, la flecha máxima de una viga, o su momento flector respecto a un eje determinado.

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Cómo aparece el momento de inercia de secciones: una viga sometida a flexión pura Este parámetro geométrico aparece en el cálculo de vigas sometidas a flexión pura, aunque estará presente en el caso de cualquier problema con distribuciones superficiales de fuerzas. Una viga sometida a flexión pura es una viga que está sometida a dos pares de fuerzas (o dos momentos) iguales y opuestos en sus extremos, como puede verse en la Figura 1.

Figura 1. Viga de sección uniforme sometida a flexión pura. � sobre La aplicación de estos momentos sobre la viga crea una distribución de fuerzas ∆฀฀ cada sección de la viga. Si consideramos una de estas secciones (Figura 2) se observa que parte de la sección está sometida a fuerzas de compresión y parte a fuerzas de tracción.

Figura 2. Sección de la viga con la representación esquemática de la distribución de fuerzas debidas a la flexión pura. Una parte queda sometida a tracción y otra a compresión. Las fuerzas son máximas en los extremos superior e inferior de la sección, cambiando de sentido de un sector a otro. Su módulo va disminuyendo conforme el vector se aproxima a una línea central. A partir de esa línea el signo de la fuerza cambia y su módulo aumenta paulatinamente conforme se aleja de la línea sobre la que las fuerzas son cero. 2

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Por lo tanto, el módulo ∆฀฀ de cada una de las fuerzas que forman parte de la distribución depende de dos factores: a) Es proporcional al elemento ∆ A sobre el que actúan. b) Varía linealmente con la distancia a un eje dado. Es el eje que define una línea sobre la cual las fuerzas son cero Ese eje es el que pasa por el centro de la sección y se denomina fibra neutra.

Figura 3. Viga y sección. Los elementos de área de la sección se referencian respecto del eje denominado fibra neutra. Las fuerzas puntuales que forman parte de la distribución superficial sobre cada sección (Figura 3), actúan sobre el elemento ∆A y se pueden escribir como: ∆฀฀ = ฀฀ ฀฀ ∆฀฀ En la expresión se puede ver que dependen de la distancia al eje (y), del elemento de área sobre el que se aplican (∆ ∆A) y de una constante k que depende únicamente del material de la viga (propiedades físicas del material). Estas fuerzas, a un lado de la fibra neutra son de compresión, y al otro lado son de tracción. Sobre la fibra neutra, las fuerzas son cero. Para calcular la fuerza resultante, se consideran elementos de área diferenciales. Por lo tanto: ฀฀฀฀ = ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ La fuerza total será la resultante la distribución. Y, por lo tanto.

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Momentos de inercia de áreas ฀ ฀ = � ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ ฀

Siendo:

฀

= ฀฀ � ฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀

฀

฀

฀฀ ฀฀฀ ฀ = � ฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀

El momento de primer orden es cero si está referido al eje donde está situado el centro de gravedad. En este caso, la fuerza es cero. � queda reducido a un par, siendo e M el Por este motivo, el sistema de las fuerzas ∆฀฀ módulo del momento de este par, denominado momento flector. Este momento se calculará considerando el momento de la fuerza sobre cada elemento, como el producto de la fuerza por la distancia: ��  ฀ ฀ = ฀฀ � �  = ฀฀ ฀฀ ฀฀ ∆฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀ ∆฀฀ ∆฀฀ ∆฀฀ Para elementos de área infinitesimales se tiene: ฀฀฀฀฀ ฀ = ฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ Integrando, se obtiene el momento total sobre la sección: ฀ ฀ = � ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀

฀

= ฀฀ � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀

Hemos obtenido una expresión del momento M en la que aparece la siguiente integral: � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀

Es similar a la que se obtenía para los momentos de primer orden, pero con la y elevada al cuadrado. A esta integral se le denomina momento de segundo orden o momento de inercia, Ix (en el caso del ejemplo, respecto al eje x). Ya vemos que este parámetro que llamaremos momento de inercia tiene que estar referido a un eje determinado. Para qué se utiliza el momento de inercia Este parámetro geométrico es necesario para calcular una estructura. Vamos a ver un par de ejemplos en los que resulta un dato imprescindible. El primero es para calcular la

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flecha de un elemento horizontal sometido a cargas verticales. El segundo es para determinar la tensión normal en una pieza prismática sometida a flexión simple. Momento de inercia y flecha de elementos horizontales Uno de ellos es la flecha de los elementos horizontales que la componen. La flecha determina la máxima deformación que sufre el elemento dadas unas cargas verticales aplicadas en un punto del elemento horizontal. Para una pieza de sección constante, la flecha es una función inversa del producto del momento de inercia por el módulo elástico de la sección, multiplicada por otra función directa que depende de las cargas de aplicadas y de su punto de aplicación: ฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀ = ฀฀(฀฀, ฀฀) ฀฀ � � ฀฀฀฀ ฀฀ Siendo flechay la flecha de una viga en el plano x, y, situada paralelamente al eje x, y a la que se le aplica un sistema de fuerzas vertical, Q, según el eje y; f(Q,p) una función que depende del sistema de cargas Q y de sus puntos de aplicación p; g(1/(If E)), una función que depende de la inversa del módulo elástico o módulo de Young de la sección de la viga, E, y del momento de inercia de la sección respecto del eje de flexión, If. Observamos que las deformaciones son, por lo tanto, mayores cuanto menor es el momento de inercia de la sección de la viga respecto del eje de la fibra neutra. Tensión normal en una viga sometida a flexión simple La ecuación de Navier permite aproximar la tensión normal que se produce en una viga prismática sometida a flexión pura (figura 4).

Figura 4. Viga de sección circular. Los ejes de la sección son x, y. El eje x es el eje de la fibra neutra de la sección 5

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Esta ecuación relaciona la tensión ฀฀฀฀ (฀฀, ฀฀) con los momentos ฀฀฀฀ (฀฀), la posición y, y la inversa del momento de inercia respecto del eje de la fibra neutra ฀฀฀฀ (฀฀). ฀฀฀฀ (฀฀) ฀฀ ฀฀฀฀ (฀฀, ฀฀) = − ฀฀฀฀ (฀฀)

Es decir, las tensiones producidas para un determinado momento flector dependen inversamente del momento de inercia de la sección de la viga respecto del eje de la fibra neutra. Cuanto mayor sea el momento de inercia de la sección, menores serán las tensiones, para las mismas dimensiones de la viga y para el mismo momento flector aplicado externamente. Vigas con sección en doble T y perfiles huecos Estos dos ejemplos de aplicaciones indican la importancia del momento de inercia de secciones en el diseño de estructuras. Como se ha observado, a mayor momento de inercia, menores deformaciones y menores tensiones para las mismas cargas aplicadas. Por lo tanto, cuando se opta por una sección de una viga, interesa que el momento de inercia sea el mayor posible. Tal como hemos observado, el momento de inercia depende del área de la sección y de la distribución de esa área respecto de un eje determinado. Si se quiere aumentar el momento de inercia se puede aumentar el área de la sección o bien separar dicha sección del eje. En el primer caso –aumentar el área– se requiere más cantidad de material y se obtienen elementos más pesados. Sin embargo, en el segundo caso –modificar la distribución del área respecto del eje– sólo se requiere modificar la forma de la sección de la viga. No se trata de una modificación cualquiera, ya que el objetivo es alejar la superficie del área del eje. Esto explica las vigas en doble T o los perfiles huecos metálicos de muchos elementos de soporte (patas de silla, marcos de ventanas de aluminio…). La figura 5 muestra algunos de estos perfiles, intentando obtener un momento de inercia menor que en el caso de una sección maciza de forma rectangular o circular.

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Figura 5. Diferentes secciones con la misma área. La distribución de la superficie respecto del eje x hace que los momentos de inercia de estas secciones no sean iguales. Partiendo de la definición de momento de inercia respecto de un eje: ฀฀฀ ฀ = � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀

Puede observarse en la figura 5 que el menor momento de inercia se obtendrá para el caso de la sección 1. El momento de inercia respecto del eje x será mayor en el caso de la sección 2. Y el valor aumentará cuando el área está más alejada del eje x. Es el caso de la viga en doble T (sección 3) o del perfil hueco (sección 4).

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1.2. Momento de inercia respecto de un eje Momento de inercia respecto de un eje cualquiera En general, dada una sección cualquiera como la de la figura 6, se determina el momento de inercia de dicha sección respecto de un eje E cualquiera que puede atravesar la sección o quedar fuera de la misma, como: ฀฀฀ ฀ = � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀

Siendo la distancia d la que existen entre cada elemento dA y el eje E.

Figura 6. Cuando se quiere determinar el momento de inercia de una sección de área A respecto de un eje cualquier E, se divide el área en pequeños elementos diferenciales dA y se considera la posición de cada uno de ellos respecto del eje E. De la expresión del momento de inercia respecto del eje E se deducen dos condiciones importantes: a) Las unidades de esta magnitud son [฀฀]฀฀, ya que el momento de inercia respecto del eje se obtiene del producto de la distancia al cuadrado por el área. b) El momento de inercia respecto de un eje siempre será positivo, ya que es el producto de la distancia al cuadrado (siempre mayor que cero) por el área (también siempre valor positivo): ฀฀฀ ฀ > ฀฀

El momento de inercia sólo puede ser igual a cero cuando se trate de un punto (dimensión cero) situado sobre el eje. Se trata de un caso matemáticamente posible, pero que en mecánica no se considera.

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Momento de inercia respecto del eje x El momento de inercia respecto al eje x se obtiene multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia al eje x (la coordenada y de este elemento de área) e integrando sobre toda la sección de la viga (Figura 7) ฀฀฀ ฀ = � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀

Figura 7. Cuando se quiere determinar el momento de inercia de una sección de área A respecto del eje x, se divide el área en pequeños elementos diferenciales dA y se considera la posición de cada uno de ellos respecto del eje x (coordenada y). Volvemos a ver, a partir de la definición de momento respecto del eje x, que: a) Las unidades de esta magnitud son [฀฀]฀฀. b) El momento de inercia respecto del eje x siempre es positivo: ฀฀฀ ฀ > ฀฀

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1.3. Determinación del momento de inercia de un área por integración Sea el área de la figura 8, definida por una ecuación y para la que se consideran elementos de superficie dA:

Figura 8. Área y elementos de área, con su posición indicada respecto de los ejes cartesianos. Siendo: ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ Los momentos diferenciales de inercia de cada uno de los elementos de área dA, respecto a los ejes x e y son: ฀฀฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀

฀฀฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ El momento de inercia respecto de cada Y los momentos de inercia del área A respecto a los ejes cartesianos se calculan integrando estas expresiones: ฀฀฀ ฀ = � ฀฀฀฀฀฀ ฀

฀

฀฀฀ ฀ = � ฀฀฀฀฀฀ ฀

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฀

฀ ฀

= � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀

฀

= � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀

฀

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Para simplificar al máximo el cálculo de momentos de inercia y trabajar con integrales simples, es posible seleccionar los elementos diferenciales de área de manera que únicamente una de sus dimensiones sea diferencial, tal como se hacía cuando se calculaban centroides de superficie mediante integración. La figura 9 muestra los elementos dA que se pueden considerar para calcular mediante integración el momento de inercia de la sección respecto del eje x. La figura 10 muestra los elementos para hacerlo respecto del eje y.

Figura 9. Elementos de área para calcular mediante integración el momento de inercia de la sección A respecto del eje x. La única dimensión diferencial es dy.

Figura 10. Elementos de área para calcular mediante integración el momento de inercia de la sección A respecto del eje y. La única dimensión diferencial es dx.

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En el caso de calcular el momento de inercia respecto del eje x, considerando el área A dibujada y los elementos dA seleccionados (figura 7), se tiene: ฀฀฀฀ = (฀฀ − ฀฀) ฀฀฀฀

฀฀฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ (฀฀ − ฀฀) ฀฀฀฀ ฀฀฀ ฀ = � ฀฀฀฀฀฀ ฀

฀

= � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = � ฀฀฀฀ (฀฀ − ฀฀) ฀฀฀฀

฀

฀

฀

฀

En el caso de calcular el momento de inercia respecto del eje y, considerando el área A dibujada y los elementos dA seleccionados (figura 7), se tiene: ฀฀฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀

฀฀฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀ ฀ = � ฀฀฀฀฀฀ ฀

฀

฀

= � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = � ฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀

฀

Se puede ver en los dos casos que se obtiene una integral simple en la que aparecen las dos variables, x e y. Para poder resolver la integral, se deberá utilizar la relación entre las dos variables que proporciona la ecuación de la curva.

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Ejemplo sencillo de cálculo Sea un área rectangular de altura h y de base b. Calcula su momento de inercia respecto de los ejes horizontal y vertical dibujados en la figura.

Solución Respecto al eje x Seleccionamos el elemento dA: ฀฀฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀

฀฀฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀

฀฀฀ ฀ = � ฀฀฀฀฀฀ ฀

฀

฀

฀฀

฀฀

= � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = � ฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀

฀

฀฀ ฀฀ ฀฀฀ ฀ = ฀฀ � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀ = ฀฀฀฀ ฀ ฀ ฀฀

Respecto al eje y Seleccionamos el elemento dA:

฀฀฀฀ = ฀฀ ฀฀฀฀

฀฀฀฀฀ ฀ = ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀ ฀ = � ฀฀฀฀฀฀ ฀

฀

฀

฀฀

฀฀

฀

฀฀฀ ฀ = ฀฀ � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀

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฀฀

= � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = � ฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀฀

฀

฀฀ ฀฀฀฀=฀฀

฀

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1.4. Momento polar de inercia El momento polar de inercia es el momento de inercia respecto de un punto del plano que contiene la sección. En tres dimensiones, representaría el momento de inercia respecto del eje perpendicular al plano. Este parámetro se calcula el momento considerando un punto del plano como la referencia para situar todos los elementos dA en los que se divide el área (figura 11)

Figura 11. Área y elemento dA para el cálculo del momento polar de inercia respecto del punto O (origen de coordenadas). Calcular el momento de inercia respecto al eje z de la figura 9 es lo mismo que calcular el momento de inercia del área respecto al punto O (o polo de la figura). A esta magnitud se le denomina momento polar de inercia, y se define como: ฀฀฀ ฀ = � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀

Siendo r la distancia del elemento dA al polo O, y JO el momento polar de inercia respecto al polo O. Relación entre Jo, Ix, Iy El momento polar de inercia se puede relacionar con los momentos de inercia referidos a los ejes cartesianos que se cortan en ese polo. Para ver la relación, se considera un área (figura 12) y se sitúa cada elemento dA respecto de los ejes x e y, y respecto del polo O (punto de intersección entre los ejes x e y). Puede verse que la relación entre coordenadas es: ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀ ฀ + ฀฀฀฀ 14

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Figura 12. Relación entre las coordenadas del elemento dA respecto de los dos ejes cartesianos y respecto del origen de coordenadas. Si para el área de la figura 10 se calcula el momento polar de inercia aplicando la definición, se tiene: ฀฀฀ ฀ = � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀

Sustituyendo en esta expresión la coordenada r por la relación en función de x y de y: ฀฀฀ ฀ = � ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀

฀

= � (฀฀฀ ฀ + ฀฀฀฀) ฀฀฀฀ ฀

฀

฀

฀฀ = � +฀฀� ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀= ฀฀฀ ฀ + ฀฀฀฀ ฀

฀

Por lo tanto, los tres parámetros se relacionan mediante la expresión: ฀฀฀ ฀ = ฀฀฀ ฀ + ฀฀฀฀ Ejemplo de cálculo del momento polar de inercia Para la sección simple de la figura, vamos a calcular el momento polar de inercia referido al centroide de la sección mostrada.

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Solución: En primer lugar, se sitúan los ejes de coordenadas en el centroide C y se seleccionan elementos dA. Los elementos dA son anillos de muy poco grosor, de manera que: ฀฀฀฀ = 2 ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ Se aplica la definición de momento polar de inercia: ฀฀฀ ฀ = � ฀฀ 2 ฀฀฀฀ ฀

฀฀฀ ฀ = � ฀฀ ฀฀฀฀ ฀

2

฀

฀

฀฀

= � ฀฀ 2 ฀฀ ฀฀ ฀฀฀฀ 2

฀

0

฀

฀ ฀

฀฀ ฀฀ 4 = ฀฀ 4 = 2=฀฀2 � ฀฀ ฀฀ 3�฀฀฀฀ 4 0 2

Las unidades de este resultado son [L]4

El resultado es positivo (nunca puede ser negativo).

1.5. Radio de giro de un área Complementado ...