L7- Momentos DE Inercia I PDF

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Guía de laboratorio L7...

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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER Escuela de Física LABORATORIO DE FÍSICA I L7. MOMENTOS DE INERCIA I OBJETIVOS • Determinar el Momento de Inercia de diferentes cuerpos, empleando el principio de conservación de la energía. • Realizar un análisis cuantitativo de las pérdidas de energía por fricción. EQUIPO • Mesa rotatoria con polea y porta pesas - 1 Disco de radio R - 1 Anillo de radios R1 y R2 • Balanza — calibrador — cronómetro y nivel. • Hojas de papel milimetrado y tubino de hilo fuerte y delgado (Los debe traer cada grupo de trabajo). MARCO TEÓRICO Cálculo teórico del momento de inercia El momento de inercia de un cuerpo es una magnitud I que depende de la masa del cuerpo y de su geometría. En él SI se mide en m2kg. El cálculo del momento de inercia es un ejercicio matemático. Un sólido rígido está compuesto por un número muy grande de partículas tan estrechas que la suma puede sustituirse por una integral, I = ∑ mi Ri2 = ∫ R2 dm = ∫ ρR 2 dV = ρ ∫ R 2dV i

donde ρ es la densidad del sólido, dm = ρdV y cuando el sólido es homogéneo, su densidad es constante. Así pues, la integral se reduce a un factor geométrico. De la figura 1 se nota que R2 = x2 + y2, por consiguiente, el momento de inercia alrededor del eje Z es I Z = ∫ ρ (x 2 + y 2 )dV con ecuaciones semejantes para IX e IY:

(

)

I X = ∫ ρ y 2 + z 2 dV

IY =

∫ ρ (x

2

)

+ z 2 dV

Si el sólido es una placa delgada, como la que se muestra en la figura 2, los momentos de inercia con respecto a los ejes IX, IY, y IZ son respectivamente: IX = ∫ ρy 2dV IY = ∫ ρx 2dV I Z = ∫ ρ(x 2 + y 2 )dV = I X + I Y Sea Z un eje arbitrario y ZC un eje paralelo a Z que pasa por el centro de masa del sólido (Fig. 3). Se escogen los ejes XC, YC, y ZC, de manera que su origen este en C y el eje Y en el plano determinado por Z y ZC. Los ejes XYZ se toman de forma que Y coincida con YC. P es cualquier punto del sólido. Como P’A es perpendicular a YC y P’A = x, CA = y, OC = a, se tiene R2 C = x2 +y2. Por tanto, 2 R 2 = x 2 + (y + a ) = x 2 + y 2 + 2 ya + a 2 = RC2 + 2 ya + a 2 El momento de inercia con respecto al eje Z es I = ∑ mR2 = ∑ m( RC2 + 2 ya + a 2 ) = ∑ mRC2 + 2 a(∑ my) + a2 (∑ m) El primer término es el momento de inercia IC con respecto al eje ZC y en el último, ∑m = M la masa total del sólido. Por consiguiente, I = IC + 2a ∑ my + Ma2 Para evaluar el término restante, recordar la posición del centro de masa está dada por yCM = ∑my / y = 0 (en este caso, porque el CM coincide con el origen del sistema C). Entonces ∑my = 0 y I = I C + Ma 2 teorema de Steiner o de ejes paralelos

Figura 1

Figura 2

Figura 3

El radio de giro de un sólido es una magnitud K definida como K=

I M

o

I= MK2

donde I es el momento de inercia y M es la masa del sólido. K representa la distancia al eje en la que se puede concentrar toda la masa sin cambiar el momento de inercia, Es una magnitud útil porque para sólidos homogéneos, está determinada completamente por su geometría. En la tabla se da el momento de inercia de cuerpos con geometría sencilla, en términos del radio de giro del cuerpo. Cálculo experimental del momento de inercia Para determinar experimentalmente el momento de inercia del disco, se lo hace rotar aplicando una fuerza mediante una cuerda enrollada al eje del disco (Fig. 1) y en cuyo extremo se le coloca una masa m (masa colgante). Considerando la ley de conservación de la energía, la masa colgante durante la caída, disminuye su energía potencial, la cual debe conservarse como la suma de la energía cinética de la masa que cuelga, la energía rotacional del disco y la energía perdida por fricción que sufre el disco, tendremos: 1 1 2 2 (1) mgd = mv + Iω + E fricc 2 2 donde d es la altura o distancia desde donde inicia la caída la masa colgante, g es la aceleración de la gravedad, v es la velocidad final del cuerpo, I es el momento de inercia del objeto que rota (disco, disco y anillo), ω es la velocidad angular del objeto a rotar (ω = v/r, siendo r el radio del eje en el cual está. enrollada la cuerda). De la ecuación (1), sin tener en cuenta la energía perdida por fricción: Efricc se puede determinar experimentalmente d, m, v y ω. Por lo tanto, conociendo el valor de g se puede calcular el valor de I.

Anillo Figura 4. Dimensiones de anillo y disco

Una determinación más rigorosa de I requiere tener en cuenta Efricc. Si se llama f a la energía perdida por la fricción en la unidad del tiempo (energía / seg), y si el cuerpo tarda t segundos en tocar el borde superior de la mesita ubicada en el piso, se puede escribir que: (2) Efricc = ft 2 En el instante en que la masa colgante toca la mesita y se suelta del disco, éste posee una energía cinética ¼ Iω que va a ser disminuida por la fricción durante cierto tiempo t’, hasta que el disco u objeto deje de girar. Por lo tanto: 1 2 (3) ft ′ = I ω 2 Despejando f de (3) y remplazando en (2) se tiene que: t 1 (4) Efricc = Iω 2 2 t′ Como el movimiento de caída del cuerpo es un movimiento uniformemente acelerado, con cierta aceleración a, que parte con velocidad cero y termina con velocidad v, con cierta aceleración g’, se cumple que: 1 2 vt (5) d = at = donde v = at 2 2 o sea que v, será el doble de la rapidez media: d/t. En conclusión, mediante la Ley de Conservación de la Energía, se puede establecer una expresión para I en términos de cantidades que puedan ser determinadas experimentalmente así: ⎛ t ⎞ ⎞ 2⎛g (6) ⎜1 + ⎟I = mr ⎜ − 1⎟ ⎝ t′ ⎠ ⎝a ⎠ En la cual a = 2d/t2 también se obtiene con los datos experimentales. De lo anterior se desprende que el experimento consiste en tomar una serie de medidas de t y t´ con un mismo valor m. TEMAS DE CONSULTA 9 Momento de inercia. 9 Fórmula de momento de inercia para diferentes cuerpos (cilindro, disco barra …) 9 Dinámica del cuerpo rígido: Conservación de la energía. 9 Momento de una fuerza. PROCEDIMIENTO 1. Mida las dimensiones de los objetos y sus masas. 2. Realice el montaje indicado en la figura 5.

Aparato Rotacional y Diagrama de Cuerpo Libre

Arreglo experimental para Disco y Anillo

Disco montado verticalmente

Figura 5. Montaje experimental

3. Para determinar el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masa perpendicular al disco proceda de la siguiente manera: Enrolle el hilo en el eje de la plataforma, teniendo cuidado de formar si es posible una sola capa de hilo, de tal modo que éste no interfiera cuando se desenvuelve. En el otro extremo el hilo se deberá encontrar pendiendo el gancho del porta-pesas. El hilo se hace pasar por la polea y usted ajustará la altura seleccionada por el profesor a la que deba estar el porta-pesas (con su debida masa)

4.

5. 6. 7.

con respecto al nivel superior de la mesita que se encuentra en el piso. También puede proceder en forma similar a la descrita para calcular el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masa paralelo al disco montado verticalmente. Prepare el cronómetro. Suelte la masa colgante y al mismo tiempo ponga en marcha el cronómetro. Mida el tiempo t que tarda en caer la masa colgante la altura d y el tiempo t’ hasta que el disco pare (t’ es el tiempo desde que el porta-pesas toca la mesa pequeña ubicada en el piso hasta que el disco pare de girar). Se debe tener en cuenta que una vez la masa colgante golpee la mesita, deberá recogerla para impedir que sea levantada al enrollarse la cuerda en sentido contrario. Con los datos del procedimiento anterior usted puede determinar la velocidad angular (ω) del disco y la velocidad (v) de la masa colgante, al final del intervalo. Para ello es necesario medir la altura (d) de caída del cuerpo de aproximadamente 50 g y el radio de la capa de hilo r. Recuerde que m parte del reposo. Repita el procedimiento 3 veces. Tome nuevos valores para la masa m y la altura d, repita el numeral 2 del procedimiento y elabore una nueva tabla de datos. Repita los numerales 1, 2, 3 y 4 colocando otros objetos en el sistema (el anillo debe colocarse sobre el disco). No olvide medir las dimensiones y las masas de los objetos que ubica en la mesa rotatoria.

DATOS, CÁLCULOS, RESULTADOS Y ANÁLISIS 1. Complete la siguiente tabla de datos Tabla de datos No .

tipo de objeto

d[cm]

r[cm]

mcolgante[g]

DC1

DC2

DC3

tiempo t[s] Toma 1

Toma 2

tiempo t´[s] Toma 3

Toma 1

Toma 2

Toma 3

1. 2. 3. 4. 2. Deduzca la expresión para el momento de Inercia en función de las magnitudes medidas ( m, r, a, t, t´ ) de la ecuación (6) 3. Complete la siguiente tabla de cálculos y resultados No.

tipo de objeto

t [s]

t ′ ´[s] a = 2d/t2 [cm/s2]

Tabla de cálculos x = 1 + t/t´ y = (g/a - 1)

mr2[g cm2]

2 y Iexp = mr 2 [g cm ] x

1. 2. 3. 4. Registre los siguientes resultados en una tabla (Tabla de resultados): 4. Cálculo de la energía perdida por fricción, para cada objeto. 5. Escriba la expresión analítica para el momento de inercia del disco (Iteó.), hállelo. 6. Escriba la expresión analítica para el momento de inercia de cada uno de los diferentes objetos (Iteó.) y hállelos. Tabule sus resultados. 7. Halle las diferencias relativas porcentuales entre los valores teóricos y los experimentales. Tabúlelos. 8. Concluya objetivamente y enuncie las posibles causas de error. Nota: Para hallar el momento de inercia experimental del anillo solo es necesario determinar el momento de inercia del disco solo y restárselo al momento de inercia hallado para el disco y el anillo juntos. OBSERVACIONES CONCLUSIONES

TABLA PARA LA TOMA DE DATOS (sugerida)

L7. Momentos de inercia fecha:___________grupo_______subgrupo _______ estudiantes ___________________________ Instrumento de medición 1 _________________ sensibilidad _________ Instrumento de medición 2 _________________ sensibilidad _________ Objeto 1: __________________ masa: ________________

(Dimensión característica = DC)

d = ____________ r = ____________m (colgante)= ______________ t[s]

t´[s]

DC1____________

medida:______________

DC2_____________

medida: _____________

DC3:_____________

medida: _____________

Objeto 2: __________________ masa: ________________ d = ____________ r = ____________m (colgante)= ______________ t(s)

t´(s)

DC1____________

medida:______________

DC2_____________

medida: _____________

DC3:_____________

medida: _____________

Objeto 3: __________________ masa: ________________ d = ____________ r = ____________m (colgante)= ______________ t(s)

t´(s)

DC1____________

medida:______________

DC2_____________

medida: _____________

DC3:_____________

medida: _____________

Objeto 4: __________________ masa: ________________ d = ____________ r = ____________m (colgante)= ______________ t(s)

t´(s)

DC1____________

medida:______________

DC2_____________

medida: _____________

DC3:_____________

medida: _____________

OBSERVACIONES

________________________________________ Vo Bo Profesor (firma)...