Momento DE Inercia PDF

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TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS , SEGUNDO MOMENTO DE INERCIA...

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1.1. SIGNIFICADO Y COMPUESTAS

FÓRMULA

DEL MOMENTO

DE

ÁREAS

PLANAS

Los momentos de inercia de un área son integrales de forma similar a las usadas para determinar el centroide de un área. El momento de Inercia es una medida de la distribución del área respecto a un eje dado.

Figura N°06

El momento de inercia respecto a un punto es la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano, que se cortan en dicho.

Los momentos rectangulares de inercia Ix e Iy de un área se definen como



I x =∫ y 2 dA(L 4 )



I y =∫ x 2 dA ( L4 )

Figura N°07

El momento de inercia respecto a un punto es igual al momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la figura, que pase por dicho punto. También será igual al momento de inercia respecto a un plano perpendicular a él que le corte en dicho eje. 1.2.

CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA EL CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA DE AREAS PLANAS COMPUESTAS  Para el cálculo del momento de inercia de áreas compuestas, primero se debe saber calcular los centroides con respecto tanto para eje “x” como para el eje “y”.



A parte de lo anterior, se debe tener en cuenta las fórmulas para calcular el momento de inercia de las principales figuras simples.

1.3.

PROCESO PARA HALLAR EL MOMENTO DE INERCIA DE AREAS PLANAS COMPUESTAS Del grafico a continuación sacaremos los siguientes pasos:

d2 3

1.3.1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples 1.3.2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por

. x ¿ 1.3.3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes n ¿ ¿ con respecto a los ejes X e Y. Calcular el centroide (x, y) de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores. 1.3.4. Calcular las distancias de los centroides de cada área respecto al centroides total de la figura. 1.3.5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: I xc e I yc , para el área n -ésima.

1.3.6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner:

o

I I 2 (¿¿ xc)n + A n . ( d n ) (¿¿ x)n=¿ ¿

o

d n=( y n− y )

1.3.7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los

momentos anteriores:

•

I x =(I x )1 +( I x )2 +( I x )3 +…+ ( I x )n

I n

(¿¿ xc)i + ∑ A i .(di )2 i=1 n

I x =∑ ¿ i=1

2. APLICACIONES DEL MOMENTO DE INERCIA DE ÁREAS PLANAS COMPUESTAS EN LA INGENIERIA CIVIL.

•

El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto con las propiedades de dicho material.

•

Los momentos de inercia de áreas se utilizan en el estudio de las fuerzas distribuidas y en el cálculo de deflexiones de vigas

•

El momento ejercido por la presión sobre una placa plana sumergida se puede expresar en términos del momento de inercia del área de la placa.

•

Lo cierto es que el momento de inercia es un factor importante a considerar en cuanto a la construcción, pues debemos tener conciencia de como las vigas ( por ejemplo) se comportan en cuanto a la tendencia a girar para tal distribución de masa .

•

En general en los cálculos es importante encontrar los valores máximos y mínimos del momento de inercia para tener un control de cómo poner y que viga debemos colocar de acuerdo a lo que se requiere.

•

Las cantidades llamadas momentos de inercia aparecen con frecuencia en los análisis de problemas de ingeniería. Por ejemplo, los momentos de inercia de áreas se utilizan en el estudio de las fuerzas distribuidas y en el cálculo de deflexiones de vigas. El momento ejercido por la presión sobre una placa plana sumergida se puede expresar en términos del momento de inercia del área de la placa. En dinámica, los momentos de inercia de masa se usan para calcular los movimientos rotatorios de objetos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

PROBLEMA N º 01 En el área plana compuesta que se muestra a continuación, se pide: a) Determinar el momento de inercia respecto a los ejes indicados: I x, Iy. b) Determinar el centroide de la figura compuesta; y c) Calcular momento de inercia de la figura, con respecto a los ejes centroidales: Ixc, I yc.

A. – Momento de inercia respecto a los ejes indicados: Ix, Iy 

I x =(I x )1− ( I x )2−( I x ) 3 +( I x ) 4 cm (¿¿ 4) 3 50 ( 35 ) I = =714' 33 ¿ ( x )1 3 2 4 ( 15 ) 152 π =295333,31 ( cm 4 ) 35− ( I x )2=0,1098 ( 15 4 ) + 3π 2 4 π (15 ) 4 ( I x )3= 16 =9940,2 ( cm ) cm (¿¿ 4 ) 3 2 30 ( 35 ) 30∗35 35 =321562,5 ¿ + 35− ( I x )4 = 3 2 36

(

(

)

)

4

I x =714583,33−295333,31−9940,2 +321562,5=730872,32 (cm )



I y =( I y )1− (I y ) 2−( I y )3 + ( I y ) 4 cm (¿¿ 4) 503 (35 ) ( I y )1= 3 =1458333,33 ¿ cm (¿¿ 4) 15 2 π 2 4 ( 25) =226451,86¿ ( I y )2=0,1098 ( 15 ) + 2 cm (¿¿ 4 ) 2 2 4 (15 ) 15 π 4 ( ) =0,0549 50− + I =339227,75 ¿ 15 ( y )3 4 3π

(

)

cm (¿¿ 4 ) 3 30 (35 ) 30∗35 2 = ( 50 + 10 ) =1916250 ¿ + ( I y )4 2 36 4 I y =1458333,33−226451,86 −339227,75+1916250=2808903.72(cm )

B. – Centroide de la figura compuesta

(

)

4∗15 30∗35 ( 152 π ( ) 152 π 25 − 50− + (35∗50)∗( 25 )− 20 + 10 ) 2 4 2 3π ´x = =33,64 cm 2 2 15 π 15 π − +15∗35 30∗50− 2 4

(

)

(

)

(

)

2 2 2 ( 35∗50 )∗( 17,5 ) − 15 π 35− 4∗15 − 15 π 4∗15 + 30∗35 ∗35 2 4 2 3π 3π 35 =18,13 cm ´y = 2 152 π 15 π − 30∗50− + 15∗35 2 4

C. – Momento de inercia de la figura, con respecto a los ejes centroidales: Ixc, Iyc I xc=( I xc )1− ( I xc )2− ( I xc )3 + ( I xc )4

cm (¿¿ 4) 3 bh3 50 ( 35 ) =178645,83¿ ( I xc)1= = 12 12 cm (¿ ¿ 4) 4(15) 2 152 π 4 =44552,42 ¿ ( I xc)2=0,1098 (15 )+ 16,87− 3 π 2 cm (¿¿ 4) 2 4 (15) 152 π 4 =0,0549 =27234,32¿ ( 15 )+ 18,13− ( I xc)3 3π 4 cm (¿¿ 4) 3 2 3 ( ) 30 35 30∗35 35 + 16,87− =49943,37¿ ( I xc)4 = bh = 36 3 36 36

(

)

(

)

(

)

cm (¿¿ 4) I xc=178645,83−44552,42−27234,32+ 49943,37=156802,46 ¿

I yc=( I yc )1− ( I yc )2 −( I yc) 3+ ( I yc) 4 cm (¿¿ 4) b3 h 503∗35 ( I yc )1= = 12 =364583,33 ¿ 12 cm (¿¿ 4) 2 20 15 π 4 ( I yc )2=0,1098 ( 15 ) + 2 16,36− π =31941,91¿ cm (¿¿ 4) 2 20 15 π 4 16,36− =20428,81¿ ( I yc )3=0,0549 ( 15 ) + π 4 cm (¿¿ 4) 3 2 30 ∗35 30∗35 2 ( I yc )4 = 36 + 2 46,36− 3 ∗30 =391046,04 ¿

(

cm , 49(¿¿ 4) ( I yc )=312206 ¿

(

)

(

)

)

PROBLEMA N°02: Calcula el momento de inercia del área que se muestra en la figura N°07 con respecto al eje x.

Solución: Partes compuestas. El área puede obtenerse al restar el círculo del rectángulo. El centroide de cada área está ubicado en la figura. Teorema de los ejes paralelos. Los momentos de inercia con respecto al eje x se determinan con el teorema de los ejes paralelos. Circulo 2

I x = I xc + A y

25 ¿ ¿ 1 I x= π ¿ 4

Rectángulo 2

I x = I xc + A y 150 ¿ ¿ 1 I x = (100)¿ 12 Suma. Entonces, momento de inercia del área compuesta es 6 6 6 4 I x =−11.4 (10 )+112.5 (10 )=101 ( 10 ) (m m )...