Mecánica clásica - 09 - Momento de inercia y torque PDF

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Instituto Politécnico Nacional Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas

MOMENTO DE INERCIA Y TORQUE Resumen

Juan Francisco Meneses Saavedra 2020601585 Fecha de entrega: 02/06/2020

Mecánica Clásica 1IV20

Momento de inercia Inercia es una palabra que utilizamos demasiado a menudo de forma que, según la RAE, la inercia es: 1. f. Mec. Propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento si no es por la acción de una fuerza. Por ejemplo, cuando empujamos algo que se mueve linealmente, solemos decir que tiene mucha inercia. Sin embargo, esto no es del todo correcto puesto que la inercia es, estrictamente hablando, la resistencia a los cambios en la rotación de un objeto. El momento de inercia para un sólido rígido es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible, la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo en rotación, sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro, no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial, en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. El momento de inercia lo encontramos en dos tipos posibles de sistemas:

Sistema de objetos Se trata de objetos físicos que modelamos como si se tratara de partículas que tienen toda su masa concentrada en un punto y que giran con la misma velocidad angular a cierta distancia de un eje de giro. Este es el tipo de sistema que consideramos cuando el eje de giro no atraviesa el objeto. La inercia rotacional esta relaciona con la distribución de la masa respecto de un eje de giro. Para que un objeto inicie una rotación se requiere de una fuerza que actúa perpendicular al radio de giro, una vez que la masa inicie su movimiento, girará con una velocidad angular constante, esto se conoce como momento de inercia (I) y su unidad de medida es Kg m². Cuando tenemos un sistema de partículas, podemos aproximar el cálculo del momento de inercia de la siguiente manera: 𝑛

𝐼 = ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 𝑖=1

donde I es el momento de inercia para un sistema de partículas puntuales, m es la masa de cada partícula y r es la distancia de cada masa con respecto al centro de giro. Esta relación indica que, si varios objetos puntuales componen un sistema, el momento de inercia del sistema es la suma de los momentos de inercia de cada partícula respecto al mismo eje de rotación: 𝐼 = 𝑚1 𝑟12 + 𝑚2 𝑟22 + 𝑚3 𝑟32 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑟𝑛2

Objetos extensos Se trata de objetos sólidos y rígidos que giran sobre un eje que atraviesa sus contornos. Son objetos rígidos aquellos que no experimentan deformaciones. Para calcular el momento de inercia de un objeto rígido no es posible usar la ecuación de un sistema de objetos directamente, ya que este tipo de cuerpo distribuye su masa en toda su extensión de distinta manera, de acuerdo con la geometría que posee. Así, por ejemplo, un cilindro sólido tiene mayor momento de inercia que una esfera sólida del mismo radio y de igual masa. En general, cada cuerpo geométrico, regular o irregular, tiene su propia inercia rotacional. La técnica matemática para calcular la inercia de objetos sólidos y extensos pertenece al área del cálculo diferencial e integral. Para evitar este tipo cálculos, a continuación, se muestran algunos cuerpos geométricos comunes y sus respectivos momentos de inercia.

𝑀

𝐼 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚 0

Torque Los diagramas de cuerpo libre nos ayudan a representar las sumas de todas las fuerzas que intervienen en una partícula, para así determinar, por ejemplo, la fuerza resultante. La geometría de cada una de las partes del cuerpo ya sea un bloque, una cuña o una polea, interviene sólo para especificar la dirección de la fuerza de acción y reacción entre las distintas partes.

De acuerdo con la receta anterior, si la suma de las fuerzas es nula, no hay aceleración y los cuerpos (puntos) permanecen con velocidad constante o en reposo. Obviamente las partículas puntuales constituyen una primera aproximación a problemas más reales: los cuerpos no son puntos y pueden, por ejemplo, rotar en torno a sí mismos. Para estudiar el origen de la rotación de un cuerpo rígido, debemos considerar las fuerzas que intervienen y los puntos donde cada una de ellas actúa. Este par: la fuerza y el vector posición del punto donde se aplica la fuerza, da origen a otro vector que se denomina torque. Cuando existe un par de fuerzas que actúan sobre puntos distintos de un sólido rígido (que no sufre deformación), existe lo que se denomina un torque y su efecto genera una aceleración angular sobre el cuerpo. El torque con respecto a un origen arbitrario O, es el producto vectorial (producto cruz) entre el vector posición que une el punto de referencia O con el punto P y la fuerza 𝐹 : 𝜏 ≡ 𝑟 ⋀ 𝐹 = 𝑟 × 𝐹 Donde τ es el torque El Torque está asociado a la aceleración angular de un cuerpo. En un punto material, no tiene sentido hablar de rotación ni torque. Si un cuerpo extendido tiene aplicadas varias fuerzas y no experimenta rotación alguna, entonces el torque neto de estas fuerzas es nulo.

Bibliografía Hole, N. Z. (2005). Introducción a la mecánica (Vol. VI Torque centro de masa y momento angular). Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Univesidad de Chile, Chile. Jiménez-Chinga, P. (2015). DETERMINACIÓN DE DIFICULTADES Y CONCEPCIONES ALTERNATIVAS DE LOS ESTUDIANTES DEL CURSO DE MECÁNICA RACIONAL, DEL PROGRAMA ACADÉMICO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS SOBRE EL MOMENTO ANGULAR. Piura, Universidad de Piura, Perú: Repositorio institucional PIRHUA. Obtenido de https://pirhua.udep.edu.pe/bitstream/handle/11042/2241/MAE_EDUC_128.pdf?s equence=1&isAllowed=y Mario. (7 de abril de 2013). Centro de masas y momento de inercia. Obtenido de El rincón del ingeniero: http://www.elrincondelingeniero.com/centro-de-masas-e-inercia/ Valenzuela, D. (2009). MOMENTO DE INERCIA. Obtenido de FISIC EDUCATION: https://www.fisic.ch/contenidos/dinámica-rotacional/momento-de-inercia/...