Informe 1 Momento de Inercia PDF

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momento de inercia...

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Universidad de Puerto Rico Recinto de Rio Piedras Facultad de Ciencias Naturales Departamento de Física

Experimento 1: Momento de Inercia

I.

Fundamento Teórico

Cuando hablamos de movimiento traslacional, hacemos referencia rápidamente a la segunda ❑

ley de Newton, la cual dice que:

a ∝ ∑ F , ya que Newton estipuló que ❑

❑

F=ma ∑ ❑

. En

este caso, la aceleración tiene una relación inversa con la masa del objeto analizado, ❑

a=

F. ∑ ❑

Por tanto, mientras más masa contenga el objeto, menor aceleración tendrá el

❑

mismo. En el contexto rotacional, el torque juega el papel de la fuerza y la aceleración angular reemplaza la aceleración lineal. Entonces, ¿quién jugará el papel de la masa? El torque, o momento de fuerza, se define como el efecto giratorio que produce una fuerza aplicada a un cuerpo provisto de un eje, y se denota de la siguiente forma: τ =RF donde τ es el torque, R es el radio y F es la fuerza, ejercida tangencialmente. Nuevamente, si se utiliza la segunda ley de Newton y aplicamos lo que se conoce del movimiento rotacional, entonces: F=ma

→ F=mRα

Cuando multiplicamos ambos lados por R, obtenemos: 2

RF=m R α

Y puede ser interpretado de la siguiente manera: τ =m R2 α La cantidad

2

mR

representa el momento de inercia del objeto y es quien juega el papel de la

masa en la segunda ley de Newton. “El momento de inercia de un objeto que rota alrededor de un eje fijo es la medida de la tendencia del objeto a oponerse a un cambio en su movimiento rotacional” (Guía Laboratorio de Física 3014). Este se encuentra presente en varias áreas de la vida cotidiana, tales como: en un sistema de poleas, en una bailarina de ballet que efectúa un movimiento giratorio o en cualquier objeto que ejecute un movimiento rotacional sobre un eje.

Existen objetos cuyos momentos de inercia se encuentran definidos debido a su composición uniforme. Es así ya que el momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. Éste no sólo depende de la masa del objeto,

sino

depende de cómo esa

masa está distribuida

con respecto al eje de

rotación. Si la masa está

concentrada lejos del

eje

inercia

sería mayor.

rotacional

que

de

también

rotación,

la

Figura 1. Momento de inercia de una esfera El radio interno, radio externo, su largo, ancho y la masa son datos importantes a la hora de calcular el momento de inercia para estos objetos con forma geométrica regular. El experimento trabajado tuvo como objetivo principal la determinación experimental y teórica del momento de inercia de cuatro objetos con composición uniforme; los cuales fueron: placa, anillo, disco y barra. Dentro de las fórmulas utilizadas para completar los objetivos destacan: a. Inercia experimental: g I =mr polea2 ( −1) a donde m es la masa del porta masa (g) , r es el radio de la polea (cm), g es la aceleración de la gravedad (m/s2) y a es la aceleración del porta masa al dejar caer (m/s2). b. Inercia teórica: 1 I disco= M R 2 2

R1 (¿¿ 2+R2 2 ) 1 I anillo= M ¿ 2 L (¿ ¿ 2+W 2) 1 I placa = M ¿ 12 L (¿ ¿ 2+W 2 ) 1 I barra= M ¿ 12 donde M es la masa del objeto (g), R es el radio del objeto (cm), L es el largo del objeto (cm) y W es el ancho del objeto (cm). c. Porcentaje de error:

|valor teórico−valor experimental|

% de error=

valor teórico

×100

La metodología consto de un ensamblaje compuesto de una varilla de soporte, polea de tres escalones, portamasa y polea sencilla. Cada objeto bajo estudio estuvo sujetado a la polea de tres escalones por un tornillo de sujeción. Mediante instrumentación sensorial fue posible recopilar data del movimiento del objeto bajo estudio y llevarla a gráfica. Posteriormente se utilizó los resultados para sustituir valores en las ecuaciones antes mencionadas y completar los objetivos.

Figura 2. Equipo utilizado en el experimento La teoría bajo estudio en este experimento posee diversas aplicaciones. Resulta importante comprender los conceptos, ya que la mayoría de objetos en movimiento lo hacen de manera

traslacional y rotacional. Dentro de este último se encuentran relacionados otros conceptos como el torque y la energía cinética rotacional. La presencia de estos dos tipos de movimiento se encuentra presente en objetos de uso diario. Un ejemplo es la rueda de una bicicleta que se mueve sin resbalarse. Este presenta movimiento traslacional y rotacional. Por tanto, el movimiento rotacional, dentro del cual se encuentra el momento de inercia, es indispensable a la hora de analizar un objeto, sin internalizar en muchas ocasiones que dicho objeto bajo estudio puede pertenecer y ser necesario para el funcionamiento correcto de nuestros actos.

II.

Datos experimentales

a. Tablas Tabla 1. Pesada de materiales utilizados para realizar el experimento

Materiales

Masa (g)

Porta masa

50

Placa

66

Anillo

473

Disco

469

Barra

632

Tabla 2. Diámetros de los respectivos objetos

Materiales

Diámetro (mm)

Disco

125.65

Anillo exterior

120.17

Anillo interior

105.72

Aro de rotación

28.30

Tabla 3. Anchos y largos de los respectivos objetos

Materiales

Ancho (mm)

Largo (mm)

Placa

125.70

125.70

Barra

20.51

125.75

Tabla 4. Aceleraciones de los respectivos objetos

Materiales

Aceleración (m/s2)

Disco

0.102 ± 0.0017

Placa

0.517 ± 0.0068

Placa + barra

0.0874 ± 0.0015

Placa + anillo

0.0574 ± 0.0001

b. Gráficas Grafica 1. Velocidad del disco en función del tiempo

Gráfica 2. Velocidad de la placa en función del tiempo

Gráfica 3. Velocidad de la placa más la barra en función del tiempo

Gráfica 4. Velocidad placa más el función del

de la anillo en tiempo

III.

Presentación de Resultados a. Conversiones de las medidas

El cálculo de la conversión de gramos a kilogramos de la masa se hace de la siguiente forma: 66 gramos de la placa ×

1 kg =0.066 kg 1000 g

Luego de realizar las conversiones, obtenemos la siguiente tabla: Tabla 5. Pesada de materiales expresada en kilogramos

Materiales

Masa (kg)

Porta masa

0.050

Placa

0.066

Anillo

0.473

Disco

0.469

Barra

0.632

El cálculo de la conversión de diámetro a radio en metros se hace de la siguiente forma: 1m 125.65 mm del disco =0.06282m × 1000 mm 2 Luego de realizar las conversiones, obtenemos la siguiente tabla:

Tabla 6. El radio de los respectivos objetos expresado en metros

Materiales

Radio (m)

Disco

0.06282

Anillo exterior

0.06009

Anillo interior

0.05286

Aro de rotación

0.01415

El cálculo de la conversión de centímetros a metros del ancho y el largo de los objetos se hace de la siguiente forma: 125.70 mm de la placa ×

1m =0.1257 m 1000 mm

Luego de realizar las conversiones, obtenemos la siguiente tabla: Tabla 7. Anchos y largos de los respectivos objetos expresado en metros

Materiales

Ancho (m)

Largo (m)

Placa

0.1257

0.1257

Barra

0.02051

0.1258

b. Cálculos teóricos Utilizando la ecuación indicada para cada objeto, se calcula los momentos de inercia pertinentes para cada uno.

Disco:

1 1 M R2= ( 0.469 kg ) ( 0.06282m) 2=9.25 x 10−4 2 2

kg • m2

Anillo:

1 1 −3 2 2 2 2 M ( R 1+ R 2 ) = ( 0.473 kg) ( 0.06009m +0.05286 m )=1.51 x 10 kg • m2 2 2

Placa:

1 −4 1 M ( L2 +W 2 )= ( 0.066 kg) ( 0.1257 m 2+ 0.1257 m2) =1.74 x 10 kg • m2 12 12

Barra:

1 1 M ( L2 +W 2 )= ( 0.632 kg ) ( 0.1258 m2 +0.020512) =8.56 x 10− 4 kg • m2 12 12

c. Cálculos experimentales: Utilizando la ecuación

g I =mr polea2 ( −1) , se obtiene los momentos de inercia experimentales a

de los objetos. -

Disco: I = (0.050 kg )( 0.01415 m)

-

2

(

)

9.78 m /s2 −4 −1 =9.50 x 10 kg • m2 2 ( 0.102 m/ s )

Placa: 2

I = (0.050 kg )( 0.01415 m )

(

2

)

9.78 m/s −1 =1.79 x 10−4 ( 0.517 m /s 2)

kg • m2

En cuanto al anillo y la barra, ya que experimentalmente no podemos obtener el momento de inercia del anillo solo (pues no contamos con un dispositivo que nos pueda facilitar esa opción), se opta por obtener la del anillo más la placa para así calcular la diferencia entre el momento de inercia de estos dos menos el momento de inercia de la placa sola. -

Anillo + placa: 2

I = (0.050 kg )( 0.01415 m)

(

)

−3 9.78 m/s 2 −1 =1.70 x 10 2 ( 0.0574 m/s )

kg • m2

He aquí si se realiza el cálculo de la diferencia en momentos de inercia, obtenemos el siguiente resultado: I anillo + placa− I placa = I anillo −3

−4

−3

1.70 x 10 −1.79 x 10 =1.52 x 10 kg •m

-

2

Anillo + barra: 2

I = (0.050 kg )( 0.01415 m)

(

)

9.78 m/s 2 −3 −1 =1.11 x 10 2 ( 0.0874 m /s )

kg • m2

He aquí si se realiza el cálculo de la diferencia en momentos de inercia, obtenemos el siguiente resultado: I anillo +barra−I placa =I barra

1.11 x 10−3 −1.79 x 10−4 =9.31 x 10−4 kg • m2

d. Porcientos de error: -

Disco:

|9.25 x 10−4−9.50 x 10− 4| 9.25 x 10−4 -

Placa:

|1.74 x 10−4 −1.79 x 10−4| 1.74 x 10−4 -

×100=2.79 %

Anillo:

|1.51 x 10−3 −1.52 x 10 34| 1.52 x 10−3 -

×100=2.70 %

×100=0.66 %

Barra:

|8.56 x 10−4 −9.31 x 10−4| −4

8.56 x 10

×100=8.76 %

Tabla #8. Resultados obtenidos tras efectuar la metodología y cálculos Objeto

Aceleración (m/s2)

Disco

0.102

9.25 ×10

Placa

0.517

1.74 ×10−4

Anillo

0.0574

1.51 × 10

Barra

0.0874

8.56 ×10−4

M.I. teórico ( 2 kg m ¿ −4

−3

M.I. experimental ( kg m 2 )

% diferencia

−4

2.70

1.79 × 10− 4

2.79

1.52 × 10

−3

0.66

9.31 ×10−4

8.76

9.50 ×10

IV.

Discusión de resultados

Como propósito de este experimento, se quería comparar el momento de inercia teórico con el momento de inercia experimental de ciertos objetos. Tras completar la metodología del experimento, los resultados muestran valores exactos y precisos. Exceptuando por la magnitud del momento de inercia experimental de la barra, la diferencia numérica entre los datos se encuentra en el décimo o centésimo lugar decimal. El porciento de diferencia es analíticamente bajo. La barra mostró el porciento de diferencia mayor: 8.76 %, no obstante este dato se encuentra dentro del rango establecido (10 %). La data llevada a gráfica, la cual representa el movimiento rotacional de cada objeto bajo estudio, mostró el comportamiento esperado. Todas las gráficas exhiben un comportamiento lineal creciente, por tanto presentan una pendiente positiva; la cual representa el valor numérico de la aceleración del objeto. Una variación en la curva de la gráfica podría significar un movimiento abrupto o no deseado de la instrumentación, por tanto los valores seleccionados para calcular la aceleración del objeto fueron aquellos dentro de la recta creciente, de este modo disminuyendo el rango de error de cada aceleración obtenida a partir de la gráfica. Los resultados muestran que el momento de inercia mayor entre los objetos bajo estudio fue el del anillo. Esto es debido a que la masa del anillo se encuentra concentrada lejos del eje de rotación, por tanto su momento de inercia es mayor. Los otros tres objetos bajo estudio (placa, barra y disco) poseen su masa distribuida y cercana al eje de rotación, por tanto su momento de inercia fue menor en comparación con el anillo. No obstante, sin importar el contraste de momentos de inercia entre los diferentes objetos, cada resultado mostró coherencia con su dato complementario. Por otro lado, la aceleración menor de los resultados corresponde al anillo (0.0574 m/s2). Este dato reafirma lo antes establecido, ya que según la fórmula brindada por el instructor, el momento de inercia es inversamente proporcional a la aceleración. Los resultados obtenidos representan data positiva, cumpliendo con los objetivos del experimento. Teniendo como base los cálculos teóricos, se puede observar que no hubo una diferencia significativa cuando son comparados con los datos experimentales por medio del porciento de error. Po r esta razón, no se puede ignorar el hecho de que sí hubo un mínimo porciento de error que puede ser explicado por medio de los diversos errores sistemáticos, aleatorios o crasos envueltos durante todo el procedimiento experimental. Entre los errores sistemáticos se encuentran la polea no estuviera fija o en el programa hubiera ocurrido algún tipo de error.

También, ya que el montaje consta de varias partes, cada empate o error ocurrido entre las piezas hace que se propague la existencia del error sistemático. Por otro lado, el error craso se pudo haber dado debido a las medidas tomadas con el vernier para obtener los diámetros, radios, anchos y largos de los diversos objetos utilizados, por medio de cual se pudo haber realizado una mala lectura que atribuye peso sobre el porcentaje de error; y los errores aleatorios que están presente en toda experiencia de laboratorio y los cuales no pueden ser controlados.

V.

Conclusión

Los resultados obtenidos muestran buena ejecución de la metodología, exhibiendo cercanía entre sus magnitudes. El porciento de diferencia ratifica la confiabilidad de la data, ya que 3/4 partes de estos poseen un porciento de diferencia entre 3% y 0 %, lo que hace a los resultados exactos. El dato que no pertenece a este rango de diferencia, aún se encuentra bajo el límite, por tanto es calificado como moderadamente exacto. Se concluyó que de los objetos bajo estudio, el anillo posee el mayor momento de inercia debido a la concentración de su masa en áreas de su composición definida y su distancia al eje de rotación. Inversamente al momento de inercia, este mismo objeto tuvo la menor aceleración, reafirmando la relación opuesta entre aceleración y momento de inercia según la fórmula brindada. Nuevamente se destaca la exactitud y precisión de los resultados, respaldando los principios y teorías de momento de inercia y evidenciando la buena ejecución del procedimiento.

VI.

Referencias

Giancoli, D. (2009). Physics for scientists & engineers with modern Physics. New Jersey: Pearson Education, Inc, 19-22....