1.2 Momento de inercia, teorema de los ejes paralelos, torca PDF

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Física 2

Mayo – septiembre 2020

Unidad 1. Dinámica Rotacional. Clase 2: Torca y momento de inercia.

Nombre de Cada Profesor Instituto de Ciencias Básicas Mayo – septiembre 2020

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ Tabla de contenido MOMENTO DE INERCIA ...................................................................................................................... 1 ¿Qué es la inercia rotacional? .............................................................................................................. 1 ¿Cómo se relaciona la inercia rotacional con la segunda ley de Newton?............................................ 2 ¿Cómo podemos calcular la inercia rotacional en general? .................................................................. 3 ¿Cómo podemos encontrar la inercia rotacional de formas complejas? .............................................. 4 TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS ........................................................................................................... 6 ¿QUÉ ES UNA TORCA? ................................................................................................................................ 7 ¿Cómo se calcula la torca? ..................................................................................................................... 8 ¿Cómo se mide la torca? ........................................................................................................................ 9 ¿Qué papel desempeña la torca en la cinemática rotacional? .............................................................. 9 ¿Qué es el equilibrio rotacional? ......................................................................................................... 10

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MOMENTO DE INERCIA ¿Qué es la inercia rotacional? La inercia rotacional es una propiedad de cualquier objeto que puede girar. Es un valor escalar que nos indica qué tan difícil es cambiar la velocidad de rotación del objeto alrededor de un eje de rotación determinado. En mecánica rotacional, la inercia rotacional desempeña un papel similar al de la masa en la mecánica lineal. De hecho, la inercia rotacional de un objeto depende de su masa. También depende de la distribución de esa masa respecto al eje de rotación. Cuando una masa se aleja del eje de rotación se hace cada vez más más difícil cambiar la velocidad de rotación del sistema. Intuitivamente, esto es porque la masa lleva consigo más momento alrededor del círculo (debido a la velocidad más alta) y porque el vector de momento cambia más rápidamente. Estos dos efectos dependen de la distancia desde el eje. La inercia rotacional se denota con el símbolo 𝐼. Para un solo cuerpo como el de una pelota de

tenis de masa 𝑚. que gira en un radio 𝑟 desde el eje de rotación, la inercia rotacional es 𝐼 = 𝑟𝑚2 y, en consecuencia, la inercia rotacional en el SI tiene unidades de kg ∙ m2

A la inercia rotacional comúnmente se le conoce como el momento de inercia. También a veces se le llama el segundo momento de la masa; aquí 'segundo' se refiere al hecho de que depende de

la longitud del brazo del momento al cuadrado. Figura 1. Partícula girando alrededor de un eje fijo.

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ ¿Cómo se relaciona la inercia rotacion rotacional al con la segunda ley de Newton? La inercia rotacional toma el lugar de la masa en la versión rotacional de la segunda ley de Newton. Considera una masa 𝑚 unida a un extremo de una barra sin masa. El otro extremo de la barra está articulado para que el sistema pueda girar alrededor de la bisagra central como se muestra en la figura 2

Figura 2.

Ahora comenzamos a rotar el sistema al aplicar una fuerza tangencial 𝐹𝑇 a la masa. De la segunda ley de Newton, 𝐹𝑇 = 𝑚𝑎 𝑇 Esto también se puede escribir como 𝐹𝑇 = 𝑚(𝑟𝛼)

a segunda ley de Newton relaciona la fuerza con la aceleración. En la mecánica rotacional 𝜏 toma el lugar de la fuerza. Al multiplicar ambos lados por el radio obtenemos la expresión deseada. 𝐹𝑇 𝑟 = 𝑚(𝑟𝛼)𝑟 𝜏 = 𝑟𝑚2 𝛼 𝜏 = 𝐼𝛼 Ahora esta expresión puede utilizarse para encontrar el comportamiento de una masa en respuesta a una torca conocida.

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ Ejercicio 1a: Un motor capaz de producir una torca constante de 100 Nm y una velocidad de rotación máxima

de 100 Nm se conecta a un volante con inercia rotacional 0,1 kgm2 . ¿Qué aceleración angular experimentará el volante cuando se enciende el motor? Solución: Al reacomodar la versión rotacional de la segunda ley de Newton y sustituir los números encontramos: 𝜏 100 Nm 𝛼= = = 1000 rad⁄s 2 𝐼 0,1 kgm2

Ejercicio 1b: ¿En cuánto tiempo el volante tendrá una velocidad constante si parte del reposo? Al usar cinemática rotacional, 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 Ya que sabemos la velocidad de rotación máxima del motor, podemos encontrar el tiempo que lleva acelerar hasta esa velocidad rotacional. 𝑡=

𝜔máx 150 rad/s = = 0,15 s 𝛼 1000 rad⁄ s2

¿Cómo podemos calcular la inercia rotacional en general? Los sistemas mecánicos a menudo están hechos de muchas masas interconectadas, o formas complejas. Es posible calcular la inercia rotacional total de cualquier forma sobre cualquier eje mediante la suma de la inercia rotacional de cada masa. 𝐼 = 𝑚1 𝑟12 + 𝑚2 𝑟22 + ⋯ = ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 3

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Figura 3. Sistemas de partículas.

Ejercicio 2a: Considera el objeto que se muestra en la Figura 3. ¿Cuál es su inercia rotacional? Solución: Aunque el sistema de masas es el mismo que antes, ahora rotan sobre un eje mucho más cercano. Debido a la dependencia en el cuadrado de la distancia al eje de rotación, se esperaría que la inercia rotacional sea significativamente menor. 𝐼 = (2 kg ∙ 0,52 m2 ) + (1 kg ∙ 0,52 m2 ) + (1 kg ∙ 0,52 m2 ) + (1 kg ∙ 0,52 m2 ) = 1,25 kg ∙ m2

¿Cómo podemos encontrar la inercia rotacional de formas complejas? Para encontrar la inercia rotacional de figuras más complicadas generalmente es necesario usar el cálculo. Sin embargo, para muchas formas geométricas comunes, en libros de texto u otras fuentes, es posible encontrar tablas de ecuaciones que dan la inercia rotacional. Por lo general, dan el momento de inercia de una figura que gira sobre su centroide (que suele corresponder con el centro de masa de estas figuras). Por ejemplo, la inercia rotacional de un cilindro sólido con radio 𝑟 que gira alrededor de un eje central es: 1 𝐼 = 𝑟𝑚2 2 4

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ y para un cilindro hueco de radios interior y exterior 𝑟𝑖 y 𝑟0 , respectivamente, 𝐼=

𝑚(𝑟𝑖2 +𝑟02 ) 2

Expresiones para otras figuras simples se muestran en la Figura 4.

A menudo, las formas complejas se pueden representar como combinaciones de formas simples para las cuales existe una ecuación conocida para la inercia rotacional. Entonces podemos combinar estas inercias rotacionales para encontrar la del objeto compuesto.

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS El problema con el que posiblemente nos encontremos cuando combinemos formas simples es que las ecuaciones nos dan la inercia rotacional en el centroide de la forma y esto no necesariamente corresponde al eje de rotación de la forma compuesta. Podemos tomar esto en cuenta al usar el teorema de los ejes paralelos. El teorema de los ejes paralelos nos permite encontrar el momento de inercia de un objeto sobre un punto 𝑜 siempre que conozcamos el momento de inercia de la forma alrededor de su centroide 𝑐, la masa 𝑚 y la distancia 𝑑 entre los puntos 𝑜 y 𝑐

𝐼𝑜 = 𝐼𝑐 + 𝑚𝑑 2

Ejercicio 3: Supón que la forma que se muestra en la Figura 5 se hace al soldar tres discos de metal de 10 mm de grosor (cada uno con una masa 50 kg) a un anillo de metal con masa de 100 kg. Si gira alrededor de un eje central (hacia afuera de la página), ¿cuál es el momento de inercia del objeto?

Solución: Empezamos por encontrar la inercia rotacional de los cuatro componentes por separado. Utilizando la ecuación que determinamos previamente para un cilindro hueco, podemos encontrar la inercia rotacional 𝐼𝑏 del disco grande. Este centroide de este componente ya coincide con el eje de rotación de la parte final, así que no necesitamos ningún tipo de corrección. 𝐼𝑏 =

1 1 𝑚(𝑟𝑖2 +𝑟𝑜2) = (100 kg)(0,752 + 12 ) m2 ≅ 78,125 kg ∙ m2 2 2 6

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ Usando el mismo procedimiento para los discos más pequeños, por ahora centrados en sus propios ejes de rotación: 𝐼𝑠 =

1 1 𝑚𝑟𝑐2 = (50 kg)(0,30 m)2 = 2,25 kg ∙ m2 2 2

Como cada uno de estos tres discos rotan sobre un punto a una distancia 𝑑 de sus respectivos centroides podemos utilizar el teorema de ejes paralelos para encontrar la inercia de rotación efectiva 𝐼𝑠′ 𝑑=

1 (1 + 0,75) = 0,875 m 2

𝐼𝑠′ = 𝐼𝑠 + 𝑚𝑑2 = (2,25 kg ∙ m2 ) + (50 kg)(0,875 m)2 ≅ 40,5 kg ∙ m2 Como cada uno de los tres pequeños discos tienen el mismo radio desde el eje de rotación de la pieza, podemos tratarlos como una parte con tres veces la inercia rotacional. Por último, la inercia rotacional del objeto es: 𝐼 ≅ 78,125 + 3 ∙ 40,5 ≅ 200 kg ∙ m2

¿QUÉ ES UNA TORCA? La torca es una medida de la fuerza que puede hacer que un objeto gire alrededor de un eje. Así como en la cinemática lineal la fuerza es lo que hace que un objeto acelere, la torca es lo que provoca que un objeto adquiera aceleración angular. La torca es una cantidad vectorial. La dirección del vector de la torca depende de la dirección de la fuerza en el eje. Cualquiera que haya abierto alguna vez una puerta tiene una comprensión intuitiva de la torca. Cuando una persona abre una puerta, empuja en el lado de la puerta más alejado de las bisagras. Empujar el lado más cercano a las bisagras requiere considerablemente más fuerza. Aunque el trabajo realizado es el mismo en ambos casos (la fuerza más grande se aplicaría sobre una distancia más pequeña), generalmente la gente prefiere aplicar menos fuerza. Esta es la razón de la ubicación habitual de la manija de una puerta.

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Figura 4. Torca.

La torca puede ser estática o dinámica. Una torca estática es la que no produce una aceleración angular. Alguien que empuja una puerta cerrada está aplicando una torca estática a la puerta, ya que esta no gira sobre las bisagras a pesar de la fuerza aplicada. Alguien que pedalea una bicicleta a velocidad constante también está aplicando una torca estática ya que no está acelerando. El eje de transmisión de un coche de carreras que acelera de la línea de salida lleva una torca dinámica porque debe producir una aceleración angular en las llantas, ya que el automóvil acelera a lo largo de la pista. La terminología empleada al describir la torca puede ser confusa. Los ingenieros utilizan a veces el término fuerza de torsión, o momento de fuerza indistintamente al de torca. También se le llama el torque. Al radio en el cual actúa la fuerza a veces se llama el brazo de momento.

¿Cómo se calcula la torca?

La magnitud del vector de la torca 𝜏 para una torca producida por una fuerza dada 𝐹 es 𝜏 = 𝐹 ∙ 𝑟 sin(𝜃 ) Donde 𝑟 es la longitud del brazo de momento y 𝜃 es el ángulo entre el vector fuerza y el brazo de

momento. En el caso de la puerta que se muestra en la Figura 4, la fuerza es perpendicular (90°) al brazo de momento, así que el término del seno se convierte en 1 y 𝜏=𝐹∙𝑟

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ La dirección de la torca se encuentra por convención usando la regla de la mano derecha. Si enrollas la mano alrededor del eje de rotación con los dedos apuntando en la dirección de la fuerza, entonces el vector de la torca apunta en la dirección del pulgar como se muestra en la Figura 5.

Figura 5. Regla de la mano derecha.

¿Cómo se mide la torca? La unidad del SI para la torca es newton-metro. En unidades imperiales, a menudo se utiliza el pie-libra. Esto es confuso porque coloquialmente la libra se utiliza a veces como una unidad de masa y a veces de fuerza. Lo que se entiende aquí es libra-fuerza, la fuerza debido a la gravedad de la tierra en un objeto de una libra. La magnitud de estas unidades es a menudo similar, puesto que 1 N ∙ m ≅ 1,74 pies ∙ lb. Medir una torca estática en un sistema que no rota es generalmente bastante fácil, y se hace al medir una fuerza. Dada la longitud del brazo de momento, la torca se puede encontrar directamente. Medir la torca en un sistema que rota es considerablemente más difícil. Uno de los métodos funciona al medir la deformación en el metal de un eje de transmisión por el que se transmite la torca y enviar esta información de forma inalámbrica.

¿Qué papel desempeña la torca en la cinemática rotacional? En la cinemática rotacional, la torca toma el lugar de la fuerza en la cinemática lineal. Hay un equivalente directo a la segunda ley del movimiento de Newton (𝐹 = 𝑚𝑎), 𝝉 = 𝑰𝜶 Aquí, 𝛼 es la aceleración angular. 𝐼 es la inercia rotacional, una propiedad de un sistema que rota

y que depende de la distribución de masa del sistema. Mientras más grande sea 𝐼 , más difícil será 9

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ que un objeto adquiera aceleración angular. Derivamos esta expresión en nuestro artículo sobre inercia rotacional.

¿Qué es el equilibrio rotacional? El concepto de equilibrio rotacional es el equivalente de la primera ley de Newton para un sistema en rotación. Un objeto que no está girando continúa sin rotar a menos que una torca externa actúe sobre él. Del mismo modo, un objeto que gira a velocidad angular constante continúa rotando a menos que una torca externa actúe sobre él. El concepto de equilibrio rotacional es especialmente útil en problemas que involucran múltiples torcas que actúan en un objeto giratorio. En este caso, lo que es importante es la torca neta. Si esta es cero entonces el sistema estará en equilibrio rotacional y no podrá tener aceleración angular.

Ejercicio 1: Considera la rueda que se muestra en la Figura en la que actúan dos fuerzas. ¿Qué magnitud de la fuerza 𝐹2 será necesaria para que la rueda esté en equilibrio rotacional?

Solución: Empezamos por encontrar la torca 𝜏1 de dado por 𝐹1 𝜏1 = 𝐹𝑟 sin 𝜃 𝜏1 = (5 N) ∙ (0,075 m) sin(135°) ≅ +0,265 Nm 10

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ Ten en cuenta que aquí estamos definiendo la torca positiva hacia afuera de la página. Sabemos que en equilibrio rotacional 𝜏1 + 𝜏2 = 0 Entonces 𝜏2 = −𝐹2 ∙ 0,1 m ∙ sin(90°) y por lo tanto 𝐹2 ≅ 2,65 N

Referencia: Tomado de la plataforma Khan Academy, sección Ciencias, curso de Física. 11...