Estática 9 - Radio de giro, Teorema de los ejes paralelos, Momentos de inercia compuestos PDF

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Radio de giro, Teorema de los ejes paralelos, Momentos de inercia compuestos...

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9.5 Radio de giro de un área El radio de giro de un área con respecto a un eje tiene unidades de longitud y es una cantidad que se usa a menudo en mecánica estructural para el diseño de columnas. Si se conocen las áreas y los momentos de inercia, los radios de giro se determinan a partir de las fórmulas:

√

k x=

√

Ix A

ky=

Iy A

kO =

√

JO A

Considere un área A que tiene un momento de inercia I x con respecto al eje x (figura 1a). Imagine que se ha concentrado esta área en una tira delgada paralela al eje x (figura 1b). Si el área A, concentrada de esta forma, debe tener el mismo momento de inercia con respecto al eje x , la tira debe ser colocada a una distancia k x desde el eje x , donde k x está definida por la relación 2

I x =k x A Al resolver para k x k x=

√

se escribe

Ix A

Se hace referencia a la distancia k 2 como el radio de giro del área con respecto al eje x . En forma similar, se pueden definir los radios de giro k y y k O (figura 1c y d); así se escribe ky=

Iy A

J O=k O2 A

kO =

JO A

Si se reescribe la ecuación encuentra que 2

2

2

k O =k x+k y

√ √

I x =k x2 A

O=¿ I x +I y J¿

en términos de los radios de giro, se

Figura 1

Ejemplo. Para el rectángulo el radio de giro 1 3 I x= b h 3

mostrado en la figura 2, se calcula

√

k x con respecto a su base. Con las formulas k x = I x A

y

se escribe 1 3 bh I h2 3 2 = k x = x= bh A 3

k x=

h √3

En la figura 9.8 se muestra el radio de giro k x del rectángulo. El radio de giro no h del centroide del área. Mientras k x debe confundirse con la ordenada ´y = 2 depende el segundo momento o momento de inercia del área la ordenada ´y está relacionada con el primer momento del área.

Figura 2

Procedimiento para el análisis En la mayoría de los casos, el momento de inercia puede determinarse con una integración simple. El siguiente procedimiento muestra dos formas en las que se puede hacer esto.

• Si la curva que define la frontera del área se expresa como y _ f (x), entonces seleccione un elemento diferencial rectangular de modo que tenga una longitud finita y un ancho diferencial. • El elemento debe estar ubicado de manera que interseque la curva en el punto arbitrario (x, y). 9.6 Teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner El teorema de los ejes paralelos puede usarse para determinar el momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje que sea paralelo a un eje que pasa a través de su centroide y del cual se conozca el momento de inercia. Para desarrollar este teorema, consideraremos determinar el momento de inercia del área sombreada que se muestra en la figura 10.3 con respecto al eje x . Para iniciar, elegimos un elemento diferencial dA que está ubicado a una distancia arbitraria y ' del eje centroidal y ' . Si la distancia entre los ejes paralelos x y x ' se define como dy , entonces el momento de inercia de dA con '

respecto al eje x

es

❑

I x =∫ ( y ' + dy )2 dA A ❑

❑

❑

¿∫ y dA +2 dy ∫ y ' dA +d y ∫ dA '

A

2

A

2

y +dy ¿ dA . Para toda el área, d l x =¿

A

Figura 3

La primera integral representa el momento de inercia del área con respecto al eje centroidal ´I x . La segunda integral es cero ya que el eje x pasa a través del ' puesto que centroide C del área; es decir ∫ y dA= y´ ' ∫ dA=0 y ' =0 . Observamos que como la tercera integral representa el área total A, el resultado final es, por tanto, 2 I x = I´x ' + Ad y

Para

I y , se puede escribir una expresión similar; es decir,

2 I y = I´y + Ad x '

Y, por último, para el momento de inercia polar, como J´c = I´x ' + I´y '

y

d 2=d2x+ d 2y

tenemos 2 J O=J´C + A d

La forma de cada una de estas tres ecuaciones establece que el momento de inercia de un área con respecto a un eje es igual al momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo que pase a través del centroide del área, más el producto del área y el cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes. 9.7 Momentos de inercia de áreas compuestas Un área compuesta consiste en una serie de partes o formas “más simples” conectadas, como rectángulos, triángulos y círculos. Siempre que el momento de inercia de cada una de esas partes se conoce o puede determinarse con respecto a un eje común, entonces el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus partes. En la tabla 1 se muestran los momentos de inercia de algunas formas más comunes. Para un cuerpo que consiste de varias de estas formas simples, se puede obtener el momento de inercia de dicho cuerpo con respecto a un eje dado calculando primero los momentos de inercia de las partes que lo constituyen con respecto al eje deseado y sumándolos después. Como en el caso de las áreas, el radio de giro de un cuerpo compuesto no se puede obtener sumando los raídos de giro de las partes que lo constituyen.

Tabla 1. Momentos de inercia de masa de formas geométricas comunes.

Procedimiento para el análisis El momento de inercia para un área compuesta con respecto a un eje de referencia puede determinarse por el siguiente procedimiento. Partes compuestas. • Con un croquis, divida el área en sus partes componentes e indique la distancia perpendicular desde el centroide de cada parte hasta el eje de referencia. Teorema de los ejes paralelos. • Si el eje centroidal para cada parte no coincide con el eje de referencia, deberá usarse el teorema de los ejes paralelos, I =´I + A d2 , para determinar el momento de inercia de la parte con respecto al eje de referencia. Suma. • El momento de inercia de toda el área con respecto al eje de referencia se determina por la suma de los resultados de sus partes componentes con respecto a este eje. • Si una parte componente tiene un “agujero”, su momento de inercia se encuentra al “restar” el momento de inercia del agujero del momento de inercia de toda la parte, incluido el agujero....