Capítulo 6 - Momentos de Inercia PDF

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RESOLUCION DE EJERCICIOS...

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MOMENTOS DE INERCIA

“El peor de todos los pasos es el primero. Cuando estamos listos para una decisión importante, todas las fuerzas se concentran para evitar que sigamos adelante. Ya estamos acostumbrados a esto. Es una vieja ley de la física: romper la inercia es difícil”. Paulo Coelho

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6.1 MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN O MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS La resistencia de los elementos estructurales (vigas, columnas, etc.) depende, en gran medida, de las propiedades de su sección transversal.

P P

P

Y

P

X

h1

X Y

h

X

X

CG

X

X

CG

b

h

b1 b

a

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b

c

1

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Y

Y X

dF

M

X

Z

Y

En vigas bajo condiciones de flexión, la mecánica de materiales demuestra que las fuerzas internas en cualquier sección de la viga, son fuerzas distribuidas: dF =

k Y dA

varían linealmente con la distancia “Y“ a un eje x-x que pasa por el centro de gravedad de la sección (eje neutro).

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Entonces, la resultante de las diferenciales de fuerza “dF”, que actúan sobre toda la sección, será: R = ∫ d F = ∫ k Y dA = k ∫ Y dA

a la integral, ∫YdA , se le conoce como momento de primer orden de la sección “A” respecto al eje x-x.

La magnitud del momento en toda la sección “M”, será: M = ∫ (Y) (d F) = ∫ k Y2 dA = k ∫ Y2 dA

a la integral, ∫Y2dA , se le conoce como momento de segundo orden de la sección “A” respecto al eje x-x ( I x ).

Por lo tanto, para diseñar un elemento estructural se requerirá del cálculo de los segundos momentos de su área transversal (momentos de segundo orden); es decir, será necesario determinar el “momento de inercia” de su sección transversal. En rigor, no es correcto hablar de “momento de inercia de áreas”, ya que ese término está relacionado con la masa y no con el área como se emplea en este capítulo, sin embargo, en la ingeniería se toma esa licencia por la similitud de las integrales.

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6.2 MOMENTOS DE INERCIA DE UN ÁREA POR INTEGRACIÓN Y

dA

X

Y

r

Momento de inercia de un área, respecto a un eje en su plano, está dado por el producto del área y el cuadrado de la distancia entre el elemento y el eje.

A X

0

I x  A Y2 d A

I y  A X2 d A

I o  A r2 d A

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como:

r2 =

X2 + Y2





=

Constante

Io  A r2 d A  A x2  y2 d A  A x2 d A   A y 2d A  Iy  Ix



Io = Ix + Iy

UNIDADES:

L2 . L2

=

(±)2 (+)2

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L4





(+)

(Invariante)

cm4 , pulg4 , m4 Momento de inercia de una superficie es siempre positivo.

3

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6.3 RADIO DE GIRO DE UN ÁREA Y

 Concentramos el área “A” en una banda paralela al eje X.

Área equivalente

 Si el área concentrada (equivalente) tiene el mismo momento de inercia respecto al eje X, que el área original, entonces la banda tendría que estar colocada a una distancia KX del eje X.

Ix  A y2 d A  A Kx2

A

KX = Radio de giro

X

0



Kx 

Ix A

Kx  Y

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 De manera similar:

Ky 

Iy

Ko 

A

Io

k 20  K 2x K y2

A

NOTA:

A KX

X

KX Y

Ak 2X  A  k X   A Y2 2

k2X  k2X  Y2 X

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Ix  Ix  A Y2  

kx 

k X2  Y2

kx  Y

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6.4 TEOREMA DE STEINER O DE LOS EJES PARALELOS Y

a

Y

( Cualquier Eje // al Eje Y ) X dA Y

CG r

IY + A a2

IX

Ejes centroidales

X

( Cualquier Eje // al Eje X )

b

A

0

IY =

X

= IX + A b2

Io

= Io + A r2

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Momento de inercia de un área respecto a un eje cualquiera, es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo que pasa por el centro de gravedad, más el producto del área por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.

IX , Iy :

Momentos de inercia respecto a los ejes del centro de gravedad. (X e Y).

IX , IY :

Momentos de inercia respecto a los ejes X e Y.

Demostración:

Iy    x  a  d A  A x 2 d A  A 2xa dA  a 2 A d A         2

IY

0

a2 A

como:

x d A  2a A x   0  A 2 xa dA  2 a  A    Momento 1º orden del área respecto al

x=0

mismo eje.

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6.5 TEOREMA DE ÁREAS COMPUESTAS

 Si un área compuesta A, está formada por varios componentes A1, A2 … el momento de inercia de A respecto a un eje dado, se obtendrá sumando los momentos de inercia de las áreas A1, A2 … etc., respecto al mismo eje.  El momento de inercia de un área compuesta es la suma de los momentos de inercia de los componentes que forman el total.

n

xI

  I ix 1

(1)

=

(1)

=

(2)

+

+

(2)

(3) X

(3) X

X

X

X

3

I x

 I ix

I (1)x

1

I (2)x

I (3)x

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Nota:

1. Momento de inercia de masas: Inercia del sistema, es la resistencia que el sistema (o cuerpo) opone cuando se intenta ponerle en movimiento:

x

x

I = K2 m

I =  r2 dm r

K

m

K=

I m

K = Radio de giro

m x

x

2. La determinación de los momentos de inercia es un requisito previo al análisis y diseño de elementos estructurales. 3. El radio de giro de un área compuesta no es igual a la suma de los radios de giro de las áreas componentes.

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6.6 MOMENTOS DE INERCIA DE FORMAS GEOMÉTRICAS COMUNES

 Rectángulo:

 Triángulo:

IX  Y

Y

h

IY  IX 

X

CG

0

X b

IY  I0 

1 bh 3 12 1 3 bh 12 1 3 bh 3 1 3 bh 3 1 bh b 2  h 2 12

1 bh3 36 1 bh3  12

IX  IX h

X

CG

h 3

X b



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 Círculo:

IX  IY 

Y

CG

r

0

I0  X

1 4 r 4

 Semicírculo:

IX  IY 

Y

1 4 r 2

I0 

CG

1 4 r 8

1 4 r 4

X

0

r

 Cuadrante:

IX  IY 

Y

I0  CG

1 4 r 8

1  r4 16

 Elipse:

b

CG

X X

0

r

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IX 

1  ab 3 4

IY 

1 3 a b 4

Y

a

I0 

1  ab a 2  b 2 4



7

6.7 PRODUCTO DE INERCIA DE ÁREAS Unive rsid ad Nacional de Inge nie ría

Y dA dx

X

dy

Ixy  A x y dA  A  x y dxdy

Y

A

UNIDADES =

X

0

L4 :

m4 , cm4 , pulg4

( Puede ser

+ , cero , - )

Teorema: El producto de inercia de una superficie es nulo si uno de los ejes es de simetría.

Y X

-X

dA

I xy  A

dA



Y

Eje de simetría

 x y  x y d A

I xy 

0

X 0

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TEOREMA DE STEINER O DE LOS EJES PARALELOS PARA PRODUCTO DE INERCIA:

Y

I xy  I xy  A a b

Y a X dA

CG

A

Y

X b

I xy   A  x  a  ( y  b ) d A  A x y d A aA y d A  bA x d A  ab A d A           I xy

0

X



0

0

ab A

I xy  I xy  ab A

TEOREMA DE ÁREAS COMPUESTAS: n

I xy   I ixy 1

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6.8 MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A EJES INCLINADOS

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Y

IX   A Y2 dA

A

Y1

X

I Y   A X2 d A

Datos:

dA

I XY   A X Y d A

X1 

Y1

Y C

A

90º + 

X1 Incógnitas:



Ix1 , Iy1 , Ix1y1

X

0

OA = OC + CA

Sabemos:

X1

=

X cos  + Y sen 

Y1

=

Y cos  - X sen 

sen2 

=

1 – cos 2 

2 cos2 

=

1 + cos 2  2

I x1 y1 = A x1 y1 d A = A ( x cos  + y sen ) ( y cos - x sen ) d A

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I x1 y1 = cos2 A x y d A + sen cos  A y2 d A - sen cos A x2 d A – sen2 A x y d A I x1 = A y12 d A

=

A ( y cos - x sen )2 d A

I x1 = A y2 cos2  d A + A x2 sen2 d A - A 2xy sen cos d A I x1 = I x cos2  - I xy sen 2 + I y sen2

I x1 

IxI y Ix-I y cos 2   I xy sen 2   2 2

I y1 

I x  I y I x-I y cos 2   I xy sen 2   2 2

I x 1y 1  I xy cos 2   Nota:

I0 = I x + I y

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=

Ix1 + Iy1

=

Ix-I y sen 2  2

CONSTANTE

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6.9 EJES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA

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Orientación de los ejes para un momento de inercia máximo

Los momentos de inercia con respecto a dichos ejes resultan ser un máximo y un mínimo, se denominan momentos principales de inercia. Un par de ejes rectangulares respecto a los cuales el producto de inercia de la superficie es nulo.

I0  IX  I Y  IX 1  I Y1  I X11  I Y11  máx.



CTE

(Invariant e)

mín.

d I  I  I  0   X Y  2sen 2  2 IXY cos 2 d X  2  1



tag2 P 

- 2 IXY IX  IY

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p = Principal



2 180º + 2

p



90º + p

Determina la orientación de los ejes principales (son rectangulares).

 p > 0º YP

 p < 0º XP

YP

p p XP

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NOTA:

En los ejes principales, el producto de inercia de la superficie es nulo. como:

tag 2 P  - 2IXY IX  IY

- Ixy 2 p

Ix - Iy 2 sen 2P  y:

I x 1y1  I xy cos 2  

entonces:

  I XY  IX  IY 2

IX

 0

P

P

YP

cos 2  P 

IX  IY 2

I x-Iy sen 2 2

IX Y P

- IXY

 IX  IY   2 

 - IXY  

  

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MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA:

Reemplazando 2P en las ecuaciones genéricas:

IX

IY

P

P

IX

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P

YP

2



IX  IY 2



 I X  IY   2   IXY  2 



IX I Y 2



 I X  IY   2  IXY   2 

=

I máx

=

I mín

2

 0

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6.10 EJES PARA UN PRODUCTO DE INERCIA MÁXIMO

d I  0 dθ X1 Y1



tag 2 θm 

2 P ^ 2 m forman 90º



IX I Y 2 I XY

P y m



forman 45º

YP Xm

(si m . m 1 = -1 , forman 90º)

X XP

IX m 

máx

IX IY 2

2

I

X m Ym

 

 I X  IY  2    IXY  2 

mín

I

Xm Ym



IX P  IY P 2

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6.11 PROBLEMAS DE CÁLCULO DE MOMENTOS DE INERCIA PROBLEMA 1: Determinar el momento de inercia del área mostrada con respecto al eje X.

Y

Y

h

X CG

X b

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Y

IX  A Y 2 d A

Y

d A  b dy

dy h

CG

h

 Y3  b h3 IX   h0 Y 2 b d y  b    3  3 0

X y

IX 

X

b h3 3

b

como :

IX

 I X  A d2



IX

 I X  A d2

IX





b h3 h  bh   3  2

2

b h3 12

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PROBLEMA 2: Determinar el momento de inercia de la sección mostrada con respecto al eje horizontal que pasa por su centro de gravedad.

6 cm

4 cm

6 cm

4 cm

CG

X

10 cm

Y

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6 cm

4 cm

6 cm

X 4 cm

(1) (2)

Y

 Dividimos la componentes.

(3) d

CG

X

: Ix

Ix

en

tres

respecto al eje X:

Y

tenemos

“T”

 Calculamos el centro de gravedad con

10 cm

Y 

sección

(6) (4) 2  (14) (4) 7  (6) (4) 2 (6) (4)  (14) (4)  (6) (4)



 Ix 1



3

i



(6) (4) 3 

Ix 1 3

(1)

 Ix

(2)

 Ix



4,7 cm

(3)

1 (4) (14) 3  (6) (4) 3 3



3 915 cm 4

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 Por el Steiner:

teorema

de

IX = IX + Ad2



IX =



IX = IX – Ad2

3 915 – 104 (4,7)2 =

1 617,6 cm 4

 Si se desea calcular el momento de inercia con respecto al eje X1 = ?? 6 cm

4 cm

6 cm

4 cm



d CG

X

10 cm

pasamos de X a X1 :

IX = 1

IX + A d12

d1

Y

X1

IX = 1 617,6 + 104 (14 – 4,7) 2 = 10 612 cm 4 1

Y1

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PROBLEMA 3: Determinar el producto de inercia del rectángulo con respecto a los ejes X1Y1, y el momento de inercia con respecto del eje X1.

IX Y  ?

IX

1

1 1

 ?

Y1 X1 b = 1,60 m

a=4m

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Y  Trazamos los ejes X e Y

Y1 X1



1,60 4,00

  = 21º 48’ 5,07’’

b = 1,60 m

X

a=4m

 Sabemos

:

Ix



ab 3  3

( 4 ) (1, 6 ) 3  3

IY



a3b 3

( 4 )3 (1, 6 ) 4  34 ,133 m 3

I XY

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como: tag  =



a 2b 2 4





( 4 )2 (1, 6 ) 2 4

5 , 461 m 4

 10 , 24 m 4

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

sabemos que I X1Y1  I XY

Cálculo de I X 1Y1 :

I I cos 2  X Y sen 2 2

 I X1Y1  (10,240) (0,724)  (-14,336) (0,690)  - 2,478 m4



I

Cálculo de I X1 :

X1

I X  IY I X  IY  cos 2  I XY sen 2  2 2



 I X1  (19,797)  (-14,336) (0,724)  (10,240) (0,690)  2,352 m 4

 Las respuestas : IXY

 - 2,478 m 4

IX



1 1

1

2,352 m 4

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PROBLEMA 4: Determinar la orientación de los ejes principales centroidales y IXP , IYP de la sección mostrada.

Y

Datos:

0

X

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IX

=

1 050 cm4

IY

=

210 cm4

IXY =

360 cm4

16

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Y

CG

0

YP (min)

P

Datos: X XP (máx)



Aplicamos la fórmu la ...