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Mec´anica I Tema 5 Din´amica del s´olido r´ıgido Manuel Ruiz Delgado 1 de diciembre de 2010

Geometr´ıa de masas 2 Centro de masas y de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Tensor de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Productos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Tensores de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Momento de inercia respecto a un eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Producto de inercia respecto a dos planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Cambio de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Vector de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Direcciones principales de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ejes principales y simetr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ejes centrales y principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Planos centrales y principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Elipsoide de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 C´ alculo de momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Tensores simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Cin´ etica 36 Cantidad de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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Geometr´ıa de masas Geometr´ıa de masas Centro de masas y de gravedad Tensor de inercia Momentos de inercia Productos de inercia Tensores de inercia Momento de inercia respecto a un eje Producto de inercia respecto a dos planos Cambio de ejes Teorema de Steiner Vector de inercia Direcciones principales de inercia Ejes principales y simetr´ıa Ejes centrales y principales Planos centrales y principales Elipsoide de inercia C´ alculo de momentos de inercia Tensores simples Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Geometr´ıa de masas En din´ amica, la distribuci´on de masas de un sistema interviene en las ecuaciones mediante los momentos m´ asicos de orden n:  N  X    rin mi  δm = ρ dxdydz i  ri I n = i=1  Z S  r   Ω  rn δm  Ω

Tienen aplicaci´on los siguientes: 0

Masa total del sistema

1

Centro de masas G

2

Momentos de inercia

PN 0 i=1 mi i=1 ri mi = PN M rG = i=1 ri mi PN 2 I = i=1 ri mi

M=

PN

En los momentos de inercia, las distancias se pueden medir respecto a un punto, eje o plano. Manuel Ruiz - Mec´ anica I 3 / 36

2

Centro de masas y de gravedad R

Centroide

Centro geom´etrico de un volumen, superficie o l´ınea

1 V Ω r dx dy dz

Centro de masas G

Momento m´ asico de orden 1

1 M

Centro de gravedad

Punto de aplicaci´ on de la resultante del sistema de r/ fuerzas gravitatorias (eje central del sistema de fuerzas gravitatorias)

R

Ω r ρ dx dy dz

R

Ωr

∧ g δm = 0 G

Centroide y centro de masas coinciden cuando la densidad es constante: M = ρV . Centro de masas y de gravedad coinciden cuando la gravedad es constante (superficie de la tierra)

G

Distintos para cuerpos grandes en el espacio: estabilizaci´ on por gradiente de gravedad.

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Tensor de inercia Al calcular las ecuaciones del movimiento del s´ olido, la distribuci´ on de masas se traduce en seis n´ umeros que aparecen como una matriz sim´etrica; seg´ un el modelo de s´olido que se use,

i

IG =

S

N X

i=1

δm = ρ dxdydz

Ω

 2  yi + z 2i −xi yi −xi zi mi  −xi yi x2i + zi2 −yi zi  −xi zi −yi zi x2i + yi2



 y2 + z2 −xy −xz δm  −xy x2 + z 2 −yz  IG = 2 Ω −xz −yz x + y2 Z

Comprobaremos que se trata de un tensor; estudiaremos sus t´erminos, c´ omo calcularlos y sus propiedades. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Momentos de inercia Se define el momento de inercia respecto a un punto/eje/plano como la integral (suma) de la masa elemental por el cuadrado de la distancia al punto/eje/plano, extendida a toda la distribuci´ on de masa (momentos de orden 2). z

δm = ρ dxdydz

Ω

O

y

Respecto a los planos y ejes coordenados: Z Z 2 Punto: IO = r δm = (x2 + y2 + z 2 )δm Ω

Ω

x

Plano:

Ixy =

Z

2

z δm

Ixz =

Ω

Eje:

Ix =

Z

Z

2

Iyz =

y δm

Ω

(y2 + z 2 )δm Ω

Iy =

Z

Z

x2 δm

Ω

(x2 + z 2 )δm Ω

Si O ≡ G, se llaman momentos centrales de inercia. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

Iz =

Z

(x2 + y2 )δm Ω

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Relaciones entre los momentos de inercia Los momentos de inercia respecto a origen y los planos y ejes coordenados cumplen las siguientes relaciones: 1 IO = Iyz + Ixz + Ixy = (Ix + Iy + Iz ) 2 IO = Ix + Iyz = Iy + Ixz = Iz + Ixy Ix = Ixz + Ixy

Iy = Iyz + Ixy

Iz = Ixz + Iyz

que se deducen directamente de sus definiciones: Z

(x2 + y2 + z 2 ) δm =

Z

x2 δm +

Z

Z y2 δm + z 2 δm = Z  Z Z 1 = (y2 + z 2 ) δm + (x2 + z 2 ) δm + (x2 + y2 ) δm 2

En un s´ olido r´ıgido son constantes si los ejes est´ an ligados al s´ olido. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Productos de inercia Se define el producto de inercia de una distribuci´ on de masas respecto a dos planos ortogonales como la integral del producto de cada masa elemental por las distancias a los planos. z

Oxz, Oyz :

δm = ρ dxdydz

Oyz, Oxy : O

Ω

Pxy = Pxz =

y

Oxz, Oxy :

Pyz =

Z

xy δm

ZΩ

ZΩ

xz δm yz δm

Ω

x δm −x +x

z

Si uno de los planos es de simetr´ıa, el producto es nulo:

δm

+xzδm − xzδm = 0

z

Sin p´erdida de generalidad, se ha supuesto que los planos ortogonales son planos coordenados. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Tensores de inercia Dada una distribuci´ on de masa, un punto O y un sistema Oxyz, se define: Tensor de inercia en O:     Z y2 + z2 −xz −xy Ix −Pxy −Pxz  −xy −yz  δm x2 + z 2 Iy −Pyz  = IO = −Pxy Ω 2 −xz −yz x + y2 −Pxz −Pxy Iz Tensor planar de inercia en O:     Z x2 xy xz Iyz +Pxy +Pxz xy y2 yz  δm +Pyz  = PO = +Pxy Ixz Ω xz yz z 2 +Pxz +Pyz Ixy Si O es el centro de masas de la distribuci´on, se denominan Tensor central de inercia IIG y tensor planar central de inercia P PG . IO = IO U − PO Entre ellos existe la relaci´on: Constantes en ejes ligados a un s´olido r´ıgido. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Producto di´ adico Se define el producto di´ adico o tensorial de dos vectores como el tensor siguiente: a ⊗ b = [a, b] = [ai bj ] Regla de exclusi´ on a⊤ · [b, c] = b⊤ · [a, c] = (a · b) c [a, b] · c = [a, c] · b = (b · c) a Definici´ on m´ as compacta de los tensores de inercia en O:   Z Z x2 xy xz PO = r ⊗ r δm = xy y2 yz  δm xz yz z 2   Z Z 1 0 0  2  2   IO = r U − r ⊗ r δm = x + y2 + z 2 δm  0 1 0 − P O 0 0 1 Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Momento de inercia respecto a un eje Definici´ on geom´etrica, independiente del sistema de ejes. Momento respecto a un eje que pase por O de direcci´ on u (unitario): z

Iu =

d δm

u O

Z

2

d δm = Ω

Ω

r y

Z h

=

Z

Ω

x

=

Z

Ω

 2  r u · U · u − u (r ⊗ r) u δm = u · =

Z

Ω



i r2 − (r · u)2 δm =

  2 r · 1 − u · r (r · u) δm =

[u · U · u = 1]

  r2 U − r ⊗ r δm · u =

I u = u · IO · u

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

  Forma cuadr´ atica invariante frente a cam  bios de ejes: 2o criterio de tensorialidad

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Producto de inercia respecto a dos planos Producto de inercia respecto a dos planos ortogonales que pasen por O determinados por los vectores unitarios normales u y v: z

P uv =

d′ δm v r

d

Z

Z dd ′ δm = (r · u) (r · v) δm = Ω Ω Z  Z = u · [r, r] · v δm = u · [r, r] δm · v = Ω

O

Ω

y

u

=

x

Como u ⊥ v,

P uv = u · P O · v

u · I O · v = u · (I O U − P O ) · v = ⊥

✘

= IO ✘ u✘ · U✘· v − u · PO · v = −u · PO · v = −P uv

⇒ ⇒

−P uv = u · IO · v

Aqu´ı el tensor act´ ua como forma bilineal. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Cambio de ejes z

Tensor de inercia respecto a los ejes y planos de un sistema S0 con origen en O determinado por los versores u, v, w.

Ω

Podemos aplicar las expresiones w

v

O

y

u

Iu = u · IIO · u

− Puv = u · IO · v

En forma matricial:

x Q⊤ 10



−Puv Iu  −Puv Iv −Puw −Pvw

Q10

}| { z }| { u −Puw  · IIIO ·  u v w  −Pvw  =  v Iw w    IO 0 = Q⊤ 10 · IO 1 · Q10 

z

2o criterio de tensorialidad: las componentes del tensor de inercia en ejes S0 y ejes S1 est´ an relacionadas por las expresiones de cambio de ejes → Es un tensor. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Teorema de Steiner

Ω

Relacionaremos el tensor en un punto O arbitrario con en tensor en G (referidos a ejes paralelos):

δm r

IO =

r′

Z

Ω

rG G

O



 r2 U − r ⊗ r δm = Z h    i 2  = rG + r′ U − rG + r′ ⊗ rG + r′ δm Ω

Z

( R

R

) r′ δm = 0 ⇒ r δm = GG = 0 → R R rG ⊗ r′ δm = rG ⊗ r′ δm = 0 Z Z  2   ′2  ⇒ I O = rG U − rG ⊗ rG r U − r′ ⊗ r′ δm δm + ′

rG · r′ δm

= rG ·

Ω

Ω

⇒

⇒

  IO = M OG2 U − OG ⊗ OG + IG

Campo tensorial: conocido I G , se calcula en tensor en cualquier punto O. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Teorema de Steiner: Aplicaci´ on  Ix −P xy −P xz Iy IO = IG + M OG2 U − OG ⊗ OG = −P xy −P yz  + −P xz −P yz Iz      2 x y x z x 1 0 0   G G G G G  2 2 xG +M yGzG  = yG + y2G + zG2 0 1 0  − xG yG   2 0 0 1 xG zG yG zG zG  2    Ix −P xy −P xz yG + z 2G −xGyG −xGzG 2 + z2 −yG zG  = −P xy Iy −P yz  + M  −xGyG xG G −xG zG −yG zG x2G + y2G −P xz −P yz Iz 





El segundo sumando es el tensor de inercia en O de una part´ıcula con la masa del s´ olido M concentrada en G Generaliza el teorema de Steiner para ejes paralelos: 2 IzO = I G z + Md

d

rG O

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

G

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Propiedades algebraicas del tensor de inercia 

−P xy −P xz  Ix Por definici´on, la matriz de componentes del IO =  −P xy Iy −P yz  tensor de inercia es real y sim´ etrica. Por tanto:a −P xz −P yz Iz • Los autovalores son reales • Los autovectores pueden tomarse reales, y son ortogonales • Ortogonalmente diagonalizable: La matriz de IO es definida positiva: • Los autovalores son positivos u

. ∃ Q ∈ SO(3) / Q⊤I O Q = ⌊ . . ⌉ R u · I O · u = Iu = d 2 δm > 0

• Solo es semidefinida positiva en el caso de una varilla de espesor despreciable (s´ olido degenerado: 5 GDL) • En ese caso, el autovalor asociado a la direcci´ on de la varilla es nulo (momento de inercia nulo u · I O · u = Iu = 0)

Manuel Ruiz - Mec´ anica I a

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´ y Geometr´ıa, §36 y 38. J. de Burgos, Curso de Algebra

Vector de inercia

Iu

Se define el Vector de inercia en el punto O asociado a la direcci´ on del vector unitario u mediante la aplicaci´ on lineal

Iu u

Iu = IO · u

O

En general, no tiene la direcci´ on de u. El momento de inercia respecto a la recta que pasa por O con direcci´ on u es la proyecci´ on del vector de inercia seg´ u n u: I u = u · Iu = u · IO · u

Iu u v

El producto de inercia respecto a los planos de direcciones u y v que se cortan en O es la proyecci´on del vector de inercia asociado a u sobre v (o vicecersa), cambiado de signo: −P uv = u · IO · v = v · IO · u

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Direcciones principales de inercia Definici´ on mediante el vector de inercia:

DPI Iu

Se llama ejes principales de inercia o direcciones principales de inercia en un punto O a las que son paralelas a su vector de inercia asociado: DPI :

u PPI O

u /

Iu = IO · u = I u u

Se llaman momentos principales en O los momentos de inercia respecto a cada uno de los ejes principales en O. Se llaman planos principales de inercia en O los planos que pasan por O y son normales a un eje principal en O.

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Direcciones principales de inercia: propiedades

Iu

El producto de inercia respecto a un plano principal en O y cualquier otro ortogonal que pase por O es nulo.

u

−P uv = Iu · v = I u u · v = 0

⊥

v

Si un eje coordenado es principal, los productos de su columna y fila son nulos.    Ix = I x i Ix 0 0  −P xy = I x i · j = 0 Iy −Pyz  ⇒ IO =  0  0 −Pyz Iz −P xz = I x i · k = 0

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Direcciones principales de inercia: obtenci´ on Las direcciones principales se obtienen resolviendo un problema de autovalores: IO · u − I u u = (IIO − I u U) · u = 0

⇒

| IIO − I u U | = 0

• Las direcciones principales son las de los autovectores • Los momentos principales son los autovalores

Las direcciones principales son ortogonales si sus momentos principales son distintos; si no son ortogonales, su momento es el mismo: Sim´ etrico

z }| { IO · u = I u u → v · I O · u = IO · v = I v v → u · IIO · v = −

0

Iu v · u Iv u · v

= (I u − I v ) u · v

(

I u 6= I v ⇒ u 6⊥ v

u⊥v

⇒ Iu = Iv

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Direcciones principales: casos Los autovalores o momentos principales son reales y positivos. Tres casos: I 1 6= I 2 6= I 3

u3

u1

I 1 = I 2 6= I 3

I1 = I2 = I3

u3 u2 O

O

Tres ejes principales ortogonales.  I1 0 0  0 I2 0  0 0 I3 

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

Un eje principal y todas las direcciones del plano normal en O.   I1 0 0  0 I1 0  0 0 I3

11

Todas las direcciones del espacio son principales en O  I1 0 0  0 I1 0  0 0 I1



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Direcciones principales: otro camino Definici´ on por las propiedades algebraicas del tensor: La matriz de componentes del tensor de inercia es real y sim´etrica: existe una matriz ortogonal Q tal que Q⊤

z 

}| u v w

Q

{

z

}|

{

 Iu 0 0  · IO ·  u v w  =  0 I v 0  0 0 Iw 

u, v, w: autovectores de IO , y direcciones principales de inercia en O.

I u , I v , I w : autovalores de IO , y momentos principales de inercia en O. Q| = +1 (matriz de giro que nos lleva a ejes principales). Si Siempre se puede conseguir que |Q sale -1 (ejes a izquierdas), basta con cambiar el signo de una columna, o cambiar el orden. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Ejes principales y simetr´ıa δm

π −x

z

+x

Si un plano π ⊥ u es de simetr´ıa (m´ asica, no solo geom´etrica) para una distribuci´on de masa, es principal en todos sus puntos.

δm v

P uv = 0

z u

∀v⊥u ⇒

π PPI

Todas las rectas normales a un plano de simetr´ıa son principales de inercia en el punto de corte. Cuerpo homog´eneo de revoluci´ on: todos los planos que contienen al eje son de simetr´ıa, y principales en todos sus puntos; • Todas las rectas normales al eje son principales en el eje, por ser normales a un plano principal. • El propio eje de revoluci´ on es principal en todos sus puntos por la ortogonalidad de las direcciones principales: es normal al plano que forman las rectas que lo cortan ortogonalmente en cada punto.

Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Ejes centrales y principales z ≡ z′

Queremos ver qu´e condiciones debe cumplir un eje central para ser principal de inercia en un punto P :

δm P y′ x′

Lo tomamos como eje z de un sistema Gxyz

h

G

Calculamos sus productos en un punto arbitrario P para ver si se anulan: y

x

Px′ z ′ =

Py′ z ′ =

Z

Z

′ ′

x z δm = Ω

Z

Z

y′ z ′ δm = Ω

Ω

Ω

x (z − h) δm =

Z

xG = 0 Z ✚ ❃ ✚ xz δm − h x✚ δm = Pxz

y (z − h) δm =

Z

Z yz δm − h

Ω

Ω

✚ ✚Ω

✚ ❃ ✚

yG = 0

y✚ δm = Pyz

✚

✚Ω

Si un eje es principal en G, lo es en todos sus puntos. Si no es principal en G, no lo es en ning´ un punto. Manuel Ruiz - Mec´ anica I

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Planos centrales y principales z z′

Queremos ver qu´e condiciones debe cumplir un plano central para ser pr...