Capitulo 4 - Tensión y tensor de tensiones PDF

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CAPITULO 4 – TENSIÓN Y ESTADO TENSORIAL4 CUERPO MATERIALSe define como cuerpo material, a todo aquello que se extiende en cierta región del espacio-tiempo, posee una cierta cantidad de energía y por además, está sujeto a cambios en el tiempo. Puede ser medido con ayuda de aparatos de medición y tamb...

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CAPITULO 4 – TENSIÓN Y ESTADO TENSORIAL 4.1 CUERPO MATERIAL Se define como cuerpo material, a todo aquello que se extiende en cierta región del espacio-tiempo, posee una cierta cantidad de energía y por además, está sujeto a cambios en el tiempo. Puede ser medido con ayuda de aparatos de medición y también puede ser considerado como la parte sensible de los objetos perceptibles o detectables por medios físicos. Puede ser considerado también como cualquier porción de materia, en cualquier de sus estados, algunos con limites propios y definidos y otros, ocupando el volumen del cuerpo que los contiene. Todo cuerpo continuo (medio continuo) tiene asignada una propiedad, llamada masa, que es una magnitud escalar positiva. Para tener un concepto mucho más claro, se supone que esta masa estará distribuida de manera continua (pero no necesariamente de manera uniforme), sin que presente discontinuidad alguna. El medio continuo será homogéneo, si sus propiedades que la caracterizan son las mismas en toda su extensión. 4.2 CONCEPTO DE LA TENSIÓN El concepto de tensión está relacionado a la medida de la intensidad de una fuerza que actúa, dentro o sobre alguna superficie, que limita a un cuerpo. Es evidente que la fuerza actúa sobre la superficie del cuerpo, sometiéndolo a cargas. Previamente se debe indicar que, un cuerpo se considera libre de tensiones, si las únicas fuerzas que actúan en él corresponden a las fuerzas interatómicas, las cuales hacen que sus partículas se encuentren unidas, manteniendo el cuerpo como uno solo. En la mecánica de medios continuos, el centro del análisis para definir la tensión de un cuerpo, no está referida a su interacción molecular, sino a las tensiones que se originan por la aplicación de fuerzas realizadas por un agente externo, es decir; el análisis de interacción se realiza a nivel macroscópico. 4.2 FUERZAS DE CUERPO Y FUERZAS DE SUPERFICIE En mecánica de medios continuos, se distinguen fácilmente dos tipos de fuerzas inconfundibles entre sí, y que actúan sobre los cuerpos; Las fuerzas de cuerpo o fuerzas masivas: es el primer tipo de fuerzas y se definen como las fuerzas que actúan sobre todos los elementos de volumen y que están distribuidas por todo el cuerpo. Un clásico ejemplo de este tipo de fuerzas son las fuerzas de gravedad y las fuerzas de inercia. En este tratado, se designará a las fuerzas de cuerpo por medio de un vector, con el símbolo bi cuando se trate de fuerzas por unidad de masa; o por medio del símbolo pi , cuando se trate de fuerzas por unidad de volumen. Fuerzas superficiales: Corresponde al segundo tipo de fuerzas, y son aquellas que actúan y se distribuyen sobre un elemento de superficie del cuerpo, independientemente de si este elemento es parte de la superficie delimitante, o un elemento arbitrario de superficie dentro del cuerpo. Estas fuerzas se denotan a través de un vector con el símbolo f i , y su dimensión se expresa como fuerza por unidad de área . Ejemplo de este tipo de fuerzas se puede mencionar a las fuerzas que se producen en las superficies externas de dos cuerpos en contacto y presionados entre sí (fuerzas de

contacto) o aquellas que resultan de la transmisión de fuerza a través de una superficie interna. 4.4 El concepto de densidad El concepto de densidad puede entenderse, si se considera inicialmente un cuerpo material B , que posee un volumen V encerrado dentro de alguna superficie S , ocupando una región regular R0 del espacio físico. También se ha de considerar un punto interior P del cuerpo ubicado en un pequeño volumen elemental V , que posee una masa m , tal como se muestra en la Fig. 4.1. Cabe recalcar que esta masa, por pertenecer al cuerpo material, posee la propiedad de inercia; la cual se puede resumir como la oposición que ofrece este cuerpo a cualquier variación en su movimiento.

Figura 4.1 – Cuerpo de medio continuo con volumen, masa y superficie. La densidad media se define como a la relación que existe entre la masa material respecto al volumen elemental, que contiene, es decir:



m V

(4.1)

La densidad en un punto dado P se define de manera similar a la relación anterior, pero considerando que se existe el limite cuando V  0 , volviéndose una evaluación puntual en P , es decir :

  lim

V 0

m dm  V dV

(4.2)

La densidad se expresa en kilogramos por metro cubico (kg/m3). Se debe indicar que, para los dos tipos fuerzas de cuerpo se tendrá:  Para el caso de fuerzas masivas por unidad de masa bi , la presión tendrá unidades de Newton por kilogramo (N/kg)  Para el caso de fuerzas volumétricas pi ( fuerza por unidad de volumen ), la presión se expresará en Newton por metro cúbico (N/m3)

Estas unidades están relacionadas a través de la densidad por la ecuación:

bi  pi



b  p

(4.3)

Por lo general, se evidencia que la densidad es una magnitud escalar, la misma que se puede describir como una función escalar de la posición y del tiempo, por lo tanto, puede variar de un punto a otro dentro del cuerpo dado. En general, se puede escribir:

(x i , t )



(x, t )

(4.4)

4.5 PRINCIPIO DE CAUCHY PARA LA TENSIÓN Sea que se tiene un cuerpo homogéneo, compuesto por un material isotrópico, que tiene una superficie limitante S , la cual encierra un volumen V , y que se encuentra sometido a la acción de fuerzas superficiales fi , así como fuerzas de masa bi . Sea un punto P , que se encuentra en el interior del cuerpo y sea también un plano imaginario que pasa por el punto (este plano también es llamado de plano cortante ) que divide el cuerpo en dos partes I y II , tal como se muestra en la Fig. 4.2a.

Figura 4.2 – Cuerpo con plano de corte y fuerzas actuando sobre él. En la Fig. 4.2b se muestra el diagrama de cuerpo libre de la parte I . En esta parte del cuerpo se encuentra el punto P , ubicado dentro de un pequeño elemento de área  S * que pertenece al plano de corte. Este plano de corte se caracteriza con un vector unitario, que es normal y que tiene la dirección desde la parte I hacia la parte II . Las fuerzas internas que se transmiten a través del plano de corte, debido a la acción de la porción II sobre la porción I , dan lugar a una distribución de fuerzas sobre S * , equivalente a la resultante de las fuerzas  fi y el momento resultante Mi que están aplicados en el punto P , tal como se muestra en la Fig. 4.2b. Se debe hacer notar que, por simplicidad, las fuerzas de cuerpo bi y las fuerzas de superficie que f i , en conjunto actúan sobre el cuerpo , no se muestran en la Fig. 4.2 Debe notarse que

 f y y M i no necesariamente tiene la misma dirección que el vector

unitario ni normal en el punto.

El principio de Cauchy sobre la tensión afirma que, cuando el área y P sigue siendo un punto interior, se puede obtener :

lim

 S * 0

fi df  i  t i( n )  S * dS *



lim

 S * 0

M i 0 S *

 S * tiende a cero

(4.5)

El vector df i dS * se llama vector de tensor o simplemente vector de tracción. En la ecuación (4.5) se ha supuesto que, en el límite, el momento del vector desaparece y no queda rastro alguno del momento concentrado, que también es llamado par de tensión. La aparición del símbolo n en la designación del vector tensión, sirve para recordar que este es un vector espacial, en el sentido de que si y solo si será significativo si es tomado conjuntamente con el vector normal n , en el punto P . Por lo tanto, para una infinidad de plano imaginarios de corte que pueden pasar por el punto P , existirá una infinidad (n ) de pares de vectores normal especifico n , y vectores de tensión t i asociados que en su conjunto, representaran la acción de fuerzas sobre el cuerpo. La totalidad de pares (n ) de vectores complementarios ti y n en el punto P , tal como se ilustra para un par típico en la Fig. 4.3 , definen el estado de tensión del cuerpo en el punto.

Figura 4.3 – Vector tensión actuando sobre plano de corte del volumen continúo Cuando a este sistema mostrado en la Fig. 4.3 se aplicar la tercera ley de Newton (ley de acción y reacción), a través del plano de corte, se puede observar que la fuerza ejercida por la parte del volumen I sobre la parte de volumen II es igual y a su vez, será opuesta a la fuerza ejercida por la parte de volumen II sobre la parte de volumen I . Además, del principio del momento lineal (segunda ley de Newton) se sabe que la razón de cambio lineal respecto al tiempo, de cualquier parte de volumen del cuerpo continuo, es igual a la fuerza resultante que actúa sobre esa misma parte. Para las partes de volumen I y II , este principio puede expresarse en forma integral por las ecuaciones respectivas , las cuales se derivarán más adelante, en su momento.

t

( n) i

SI

dS  bi dV  VI

d  vi dV dtV

(4.6a)

I

d ( n) S ti dS  V bi dV  dt V vi dV II II II

(4.6b)

En donde S I y SII son las superficies que limitan los volúmenes VI y VII , que corresponden a las partes I y II respectivamente, bi son las fuerzas masivas (fuerzas

de cuerpo),

 es la densidad, vi y es el campo de velocidades para las dos partes de

volumen. Se debe recalcar que cada una de las superficies S I y SII contienen a la superficie

S * como parte de su área total.

El principio de momento lineal puede ser aplicado al cuerpo B de manera que se puede escribir:

t

(n )

i

S

dS  bi dV  V

d vi dV dt V

(4.7)

Si se suman las ecuaciones (4.6a) y (4.6b), y luego se utiliza la ecuación (4.7), considerando que la normal a S * para la parte I del volumen es n ; mientras que para la parte II del volumen es n , se puede obtener :

 t

(n )

i

 ti( n ) dS  0

(4.8)

S

dado que ambas superficies SI y S II contienen a S * . Entonces, esta ecuación debe ser válida para cualquier partición arbitraria del cuerpo (es decir, para cada plano de corte imaginario que pasa a través del punto P ) , lo que significa que el integrando debe ser idénticamente cero. Por lo tanto:

t(i n)   t(i  n)

(4.9)

indicando que si la porción II del volumen habría sido elegida como el cuerpo libre representado en la Fig. 4.3, en lugar de la parte I del volumen, el vector de tensión ( n) resultante habría sido t i .

4.6 APARICIÓN DEL TENSOR DE TENSIÓN Como ya se indicó anteriormente, el principio de tensión de Cauchy asocia al vector de ( n) tensión t i con el vector unitario normal n para cada dirección posible que se puede trazar a través del punto P . Si de manera particular, se introduce un sistema cartesiano rectangular de referencia con origen en el punto P ubicado sobre un elemento de superficie dS i (i  1, 2, 3) , para cada proyección de área con ubicados en los planos de coordenadas, tendrá asociado un vector normal ei (i  1, 2, 3) y un vector de tensión ( )

t ie i . Así, en términos de sus componentes en el sistema de coordenadas, estos tres vectores de tensión asociados con los planos de coordenadas pueden expresarse como:

t (e1 )  t1(e1 )e1  t2(e1 )e2  t3(e1 ) e3 t

(e 2 )

t

t

(e 3 )

t

(4.10a)

e t

e t

e

(4.10b)

e t

e t

e

(4.10c)

(e 2 ) 1 1 (e 3 ) 1 1

(e 2 ) 2 2 (e 3 ) 2 2

(e 2 ) 3 3 (e 3) 3 3

El cual en notación indicial puede escribirse como:

t e i  t je i e j ( )

( )

(i , j  1, 2, 3)

(4.11)

Esta ecuación describe al vector de tensión en el punto P para un plano de coordenadas , expresado en términos de sus componentes cartesianos rectangulares. Pero, lo que realmente se necesita es una expansión para las componentes de coordenadas del vector de tensión en el punto, donde las componentes estén asociadas con un plano orientado arbitralmente. Para este propósito, se generalizará la situación, considerando que el equilibrio de una pequeña porción del cuerpo del medio continuo en forma de un tetraedro, el cual tiene su vértice en el punto P , y su base ABC perpendicular a la normal orientada arbitrariamente, tal que n  n1ei , tal como se muestra en la Fig. 4.4.

Figura 4.4 – Diagrama de cuerpo libre para un elemento tetraédrico Las direcciones de coordenadas se eligen de tal manera, que las tres caras BPC , CPA y APB del tetraedro se sitúen en los planos de coordenadas. Si al área de la base se le asigna el valor dS , entonces, las áreas de las caras respectivas serán las proyecciones del área dSi  dS cos( n.ei ) , con (i  1, 2, 3) o específicamente:

para BPC para CPA para APB

dS1  n1 dS dS2  n2 dS dS3  n3 dS

(4.12a) (4.12b) (4.12c)

Los vectores de tensión muestran que sobre las superficies del tetraedro de la Fig. 4.4 representan valores promedios sobre las áreas en las que actúan, ya que se debe recordar que el vector de tensión es una magnitud puntual. La condición de equilibrio requiere que la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el tetraedro sea cero, es decir:

t(i n) dS  ti( e1) dS1  ti( e 2) dS1  ti(e3 ) dS1 bi dV  0

(4.13)

donde bi es la fuerza de cuerpo promedio que actúa en todo el cuerpo. Los signos negativos en cada término de las tracciones en las caras que coinciden con los planos coordenados, se debe a que la dirección del vector normal a estas caras apuntan en las

( n)

direcciones negativas de los ejes de coordenados (se debe recordar que t i Teniendo en cuenta la ecuación 4.13, se puede escribir: (

)

ti( n) dS  ti e j nj dS  bi dV  0

 t(i n) )

(4.14) ( ej )

Esta notación permite que los índices en los vectores unitarios del término t i

participen

en el proceso sumatorio. El volumen del tetraedro está dado por la relación dV  hdS 3 en donde h es la distancia perpendicular desde el punto P hasta la base ABC . Al sustituir este reultado en la ecuación 4.14 y cancelar los factores comunes dS , se puede obtener: (

)

e ( ) ti n  ti j nj bi h 3

(4.15)

A continuación, se aplica el límite h  0 , lo cual lleva a que el tetraedro se reduzca al punto P , observando que al aplicar el límite las cantidades que inicialmente fueron tomadas como promedios, ahora toman valores puntuales en el punto P, se tendrá:

ti( n)  ti

(e j )

nj

(4.16)

O, lo que es lo mismo, se tendrá un tensor tal que

ti( n)  σ j i nj



( e j)

j i  t i n j , por lo que:

t( n)  n  σ

(4.17)

lo cuál es la fórmula de la tensión de Cauchy. Este mismo resultado se puede obtener para cuerpos que están sometidos a aceleración, si es que se aplica la ley de conservación del momento lineal en lugar de un equilibrio de fuerzas en el tetraedro. Tensor de tensiones: Se llama tensor de tensiones al tensor de segundo orden con ( ej )

componentes σ j i  ti

. Esto se puede demostrar al considerar la transformación de

( ) los componentes del vector de tensión ti n entre los sistemas de coordenadas Px1 x2 x3

y Px1 x2 x3 a través de la matriz de transformación que tiene elementos:

ai j  ei  e j

(4.18) ( )

En efecto, dado que ti n puede ser expresado en términos de los componentes en cualquier sistema de coordenadas, se podrá escribir:

t( n)  t(i n) e i  t(i n) ei

(4.19a)

De la ecuación 4.17, se podrá obtener:

ti( n)  j i n j e i  j i nj e i Pero como e i  a ije

j

(4.19b)

y como n j  a js ns , entonces, la ecuación (4.19) se convierte en:



sr

 a js airj i  nse r  0

(4.20)

Como los vectores e r son linealmente independientes y dado que ecuación (4.20) debe ser válida para todos los vectores nsr , se observa que:

sr  a js airj i

(4.21)

Pero, esta es una ecuación de transformación para un tensor de segundo orden y, por lo tanto, el carácter tensorial de los componentes de la tensión queda claramente establecido. 4.7

EL TENSOR DE TENSIONES

La fórmula de tensión de Cauchy dada por la ecuación (4.19a) expresa el vector de tensión asociado con el elemento del área que tiene una normal externa ni en el punto

P , en términos de los componentes tensoriales del tensor j i en ese punto. Y aunque el estado de tensión en P se ha descrito como la totalidad de pares de los vectores normales y vectores de tracción asociados a este punto, se puede observar del análisis del elemento tetraedro que si se conoce el vector de tensión sobre los tres planos de coordenadas de cualquier sistema cartesiano con origen en P , o equivalentemente, los nueve componentes del tensor de tensión j i en ese punto, se puede determinar el vector de tensión para cualquier plano en ese punto. Para fines computacionales, a menudo es conveniente expresar la ecuación. (4.19a) bajo la forma de una matriz:

t

( n) 1

,t

( n) 2

11 12 13    ,t    n1 , n2 , n3 21 22 23  31 32 33  ( n) 3

Los nueve componentes del tensor

(4.22)

j i , así como sus puntos de aplicación y

direcciones se muestra en la Fig. 4.5.

Figura 4.5 – Componentes cartesianos de la tensión, en dirección positiva.

Se debe hacer la salvedad que este paralelepípedo no es un bloque de material del cuerpo continuo, ya que no se dan dimensiones al paralelepípedo, sino que es una forma esquemática conveniente para mostrar los componentes del tensor de tensión. Para el cuerpo físico real B , los nueve componentes de la tensión actúan en el único punto P . Tensión normal: Los tres componentes de tensión que se muestran en la Fig. 4.5, y que actúan perpendicularmente (normal) a los planos de coordenadas respectivos y designados como 11, 22 y 33 se denominan tensión normal. En general, las tensiones normales positivas se denominan tensiones de tracción y las tensiones normales negativas se denominan tensiones de compresión. Tensión cortante: Los seis componentes que se encuentran sobre los planos de coordenadas y apuntan en las direcciones de los ejes de coordenadas, nominados como 12 ,21 , 23 , 32 .31 y13 , se denominan esfuerzo cortante. Es necesario acotar que, para estos componentes, el primer subíndice designa el plano de coordenadas en el que actúa el esfuerzo cortante, y el segundo subíndice identifica la dirección de coordenadas en la que actúa. Un componente de tensión será positivo cuando su dirección apunte en la dirección positiva de uno de los ejes de coordenadas mientras actúa en un plano cuya normal externa también apunta en la dirección positiva del eje coordenado. Todos los componentes de tensión que se muestran en la Fig. 4.5 son positivos. Las unidades de tensión es el Pascal, que es igual a un Newton por metro cuadrado (Pa = N/m2) en el SI y libras por pulgada cuadrada (psi) en el sistema inglés. El pascal es una unidad muy pequeña, por lo que comúnmente se utiliza el Mega Pascal (106 Pascal) para expresar la tensión, mientras que en el sistema inglés se usa el ksi = 1000 psi. EJEMPLO 4.1: Sea que los componentes de...