2.Tensor de tensiones - Apuntes 2 PDF

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Warning: TT: undefined function: 32 Este tema es el primero de cuatro temas que conforman el sólido elástico. En este hablaremos sobre el tensor de tensiones: que es, sus ecuaciones de equilibrio interno, el lema de Cauchy, su representación gráfica y como cambiar de sistema de referencia...Recordan...

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el sólido elástico Este tema es el primero de cuatro temas que conforman el sólido elástico. En este hablaremos sobre el tensor de tensiones tensiones: que es, sus ecuaciones de equilibrio interno, el lema de Cauchy, su representación gráfica y como cambiar de sistema de referencia…

Recordando el tema anterior de introducción a la asignatura, se definió el vector tensión el cual dependía del punto de estudio (dentro del dominio) que estaba asociado a un plano. El problema es que en el solido hay infinitos puntos y por esos puntos pasan infinitos planos, por lo que se podrían obtener infinitos vectores tensión. Esto conlleva la necesidad de acotar el domino de estudio y elegir un punto en concreto. Por ello, el objetivo los objetivos de este tema son dos: 1.

Encontrar una matriz que permita obtener el vector tensión asociado a un plano conociendo solo esa matriz, el tensor de tensiones y la normal al plano. Para así acotar los infinitos vectores tensión asociados a ese punto a un único plano, para poder realizar un estudio adecuado del estado tensional de ese punto.

2. Encontrar la relación que existe entre las tensiones y las fuerzas, que como vimos en el tema de introducción, son las ecuaciones de equilibrio que constituyen el primer paso del problema estático.

Considerando un dominio sometido a la acción de un sistema de cargas exteriores en equilibrio, al que le hacemos un corte transversal por una sección S con un plano π que lo divide en dos partes (A y B). Para que exista equilibrio en las dos partes, deben existir unas fuerzas de interacción a través de la superficie S a las que llamaremos F. Estas fuerzas de interacción son iguales en magnitud y dirección, pero con sentidos opuestos en las partes A y B Como ya hemos visto, es necesario acotar el estudio a un solo punto al que denominaremos P. Llamando ∆S a un entorno de S y ∆F a la fuerza que la parte B del cuerpo ejerce sobre la parte A a través del área ∆S. Entonces la tensión se define como: 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑇 = lim

∆𝑠→0

∆𝐹

∆𝑆

=

𝑑𝐹 𝑑𝑆

componentes onentes intrínsecas ntrínsecas, la normal En esta figura, podemos observar cómo dicha tensión consta de dos comp σ y la tangencial 𝜏. A partir de estas componentes, pueden hacerse las siguientes observaciones: - La tensión normal σ, es la proyección del vector tensión sobre la normal n del plano π. Provoca un cambio en el volumen y se calcula de la siguiente manera 𝜎 = 󰇍𝑇 · 𝑛󰇍

A partir del signo de la tensión normal, podemos saber si estamos ante un caso de tracción o de compresión: + Positivo: indica tracción, aumento de volumen - Negativo: indica compresión, disminución de volumen - La tensión tangencial 𝜏 es la proyección del vector de tensión sobre el propio plano π. Provoca cambio de forma y se calcula a partir del teorema de Pitágoras |𝜏| = √𝑇 2 + 𝜎 2

paralelepípedo lepípedo elemental conformado por Dado el punto con los tres ejes (x,y,z) aislamos el punto en un parale los seis planos que delimitan el dominio para poder realizar el estudio, obteniendo como resultado: 𝑇𝐸𝑁𝑆𝑂𝑅 𝐷𝐸 𝑇𝐸𝑁𝑆𝐼𝑂𝑁𝐸𝑆 𝐷𝐸 𝑂

𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 𝜏 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦) 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧 𝐸𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠: 𝜎𝑖𝑗 ≥ 0

𝐸𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑜𝑐𝑢𝑙𝑡𝑎𝑠: 𝜎𝑗𝑖 ≤ 0

En este apartado, comentaremos los pasos a seguir para obtener las ecuaciones de equilibrio interno que nos permiten trabajar con fuerzas y obtener tensiones y viceversa. Con estas ecuaciones se busca las relaciones entre las componentes del tenso tensorr de tensiones y las fuerzas tensiones. volumétricas volumétricas. Por lo que siempre que se habla de equilibrio, nos referimos a fuerzas, no a tensiones En el caso del volumen infinitesimal el vector tensión asociado a las caras vistas no es igual y de sentido contrario al de las caras ocultas (es casi igual). Este termino casi igual nos permite hacer el desarrollo de la serie de Taylor y aplicando el sumatorio de fuerzas , obtenemos para cada eje:

𝜕𝜎𝑥 𝜕𝑥

+

𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝑦

+

𝜕𝜏𝑥𝑧 𝜕𝑧

∑ 𝐹𝑖 = 0 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧

+ 𝑋 = 0 → 𝐸𝐽𝐸 𝑂𝑋 ∶ 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 (𝜎𝑥 , 𝜏𝑥𝑦 , 𝜏𝑥𝑧 ) 𝑦 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑋

𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝜎𝑦 𝜕𝜏𝑦𝑧 + 𝑌 = 0 → 𝐸𝐽𝐸 𝑂𝑌 ∶ 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 (𝜏𝑦𝑥 , 𝜎𝑦 , 𝜏𝑦𝑧 ) 𝑦 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑌 + + 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝜏𝑧𝑥 𝜕𝜏𝑧𝑦 𝜕𝜎𝑧 + + + 𝑍 = 0 → 𝐸𝐽𝐸 𝑂𝑍 ∶ 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 (𝜏𝑧𝑥 , 𝜏𝑧𝑦 , 𝜎𝑧 ) 𝑦 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑍 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO

Sabiendo que con la representación del equilibrio elástico de fuerzas en el paralelepípedo elemental podemos conocer el estado tensional del entorno del punto P que esta introducido en ese paralelepípedo. También sabemos que el tensor de tensiones es una matriz cuadrada de 3 x 3, por lo que está compuesto por 9 valores. En este apartado demostraremos que, además, es simé simétrico trico trico. Para ello, usaremos el equilibrio estático de momentos basándonos en dos condiciones: 1.

Aplicaremos el equilibrio estático de momentos respecto al punto O

2. Consideramos que las tensiones están actuando en el centro de las caras del paralelepípedo

Teniendo en cuenta esas dos condiciones, podemos deducir lo siguiente respecto del eje OX: a.

𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 𝜎𝑧 no generan momentos, pues pasan por el punto O, que el que hemos tomado como referencia para tomar los momentos.

b.

𝜏𝑥𝑦 , 𝜏𝑦𝑥 no

producen momentos pues tienen la misma dirección del eje OX que estamos estudiando

c.

𝜏𝑥𝑧 , 𝜏𝑧𝑥 tampoco producen momentos porque el vector que une el punto O con el centro de aplicación de estas tensiones tiene la dirección del eje OX.

Realizando estas deducciones respecto de los tres ejes OX, OY, OZ, podemos llegar al siguiente tensor de tensiones: ∑ 𝑀𝑥 = 0 → 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦

∑ 𝑀𝑦 = 0 → 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥

∑ 𝑀𝑧 = 0 → 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥

𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 𝜎(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( 𝑠𝑖𝑚 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦 ) 𝑠𝑖𝑚 𝑠𝑖𝑚 𝜎𝑧

El que el tensor de tensiones sea simétrico implica que existe una rec reciprocidad iprocidad de las tensiones tangenciales tangenciales.

Para poder ver el Lema de Cauchy, partimos de tres conocimientos que debemos tener: 1.

El vector de tensión está asociado a un plano π y a un punto P

2. Por un punto P pasan infinitos planos, lo que da lugar a infinitos vectores de tensión, por lo que debemos acotar.

3. Conociendo el tensor de tensiones T asociado a un punto P y la normal n a un plano π podemos obtener el vector de tensión asociado a ese plano π.

Por lo que el objetivo que tenemos en este apartado es poder obtener el vector de tensión asociado a un plano π a partir de un tensor de tensiones T y con el calculo de la normal n del plano π. La normal n está compuesta por: cos 𝛼 𝑙 𝑛 󰇍 = ( 𝑚) = ( cos 𝛽) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: cos 𝛾 𝑛

𝛼 → Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑂𝑋

𝛽 → Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑂𝑌 𝛾 → Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑂𝑍

A estos cosenos se les conoce como cosenos directores, se tiene que verificar 𝒏𝟐 +

𝒎𝟐 + 𝒍𝟐 = 𝟏

Para demostrar que conociendo el tensor de tensiones asociado a un punto y la normal a un plano podemos obtener vector tensión asociado a ese plano, vamos a considerar un volumen infinitesimal de un tetraedro donde tres de sus cuatro caras son los planos coordenados como se observa en la siguiente figura: El tetraedro está formado por cuatro caras: -

COA : Plano ZX AOB : Plano XY BOC : Plano YZ ABC : Plano π cuya normal es n

Una vez tenemos el sólido delimitado, aplicamos el equilibrio de fuerzas teniendo en cuenta que las fuerzas volumétricas son despreciables en función de las superficiales superficiales, pues estamos trabajando con un volumen infinitesimal. Por lo tanto, aplicando el equilibrio nos quedaría: ∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝑡𝑥 = 𝜎𝑥 · cos 𝛼 + 𝜏𝑦𝑥 · cos 𝛽 + 𝜏𝑧𝑥 · cos 𝛾

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑡𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 · cos 𝛼 + 𝜎𝑦 · cos 𝛽 + 𝜏𝑧𝑦 · cos 𝛾 ∑ 𝐹𝑧 = 0 → 𝑡𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 · cos 𝛼 + 𝜏𝑧𝑦 · cos 𝛽 + 𝜎𝑧 · cos 𝛾

𝑃𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 𝑡𝑥 𝑙 ( 𝑡𝑦 ) = ( 𝑠𝑖𝑚 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦 ) ( 𝑚 ) 𝑡𝑧 𝑠𝑖𝑚 𝑠𝑖𝑚 𝜎𝑧 𝑛

𝑇 = 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = [𝜎] ; 𝑛 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝐴𝐵𝐶 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒕𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏 = 𝒕 = 𝑻 𝒏 → 𝜎 = [𝜎] · 𝑛󰇍

𝐋𝐄𝐌𝐀 𝐃𝐄 𝐂𝐀𝐔𝐂𝐇𝐘 𝐨 𝐄𝐂𝐔𝐀𝐂𝐈𝐎𝐍𝐄𝐒 𝐃𝐄 𝐄𝐐𝐔𝐈𝐋𝐈𝐁𝐑𝐈𝐎 𝐄𝐗𝐓𝐄𝐑𝐍𝐎 → 𝛔 󰇍󰇍 = [𝛔 󰇍 ] · 󰇍𝐧 󰇍 Como vimos en el tema anterior, el primer apartado en el problema estático era pasar de fuerzas a tensiones, esto se hacia por medio de las ecuaciones de equilibrio. En este apartado hemos aprendido las externo erno o equilibrio en el contorno (Lema de Cauchy relaciona normal al plano con ecuaciones de equilibrio ext tensor de tensiones y vector tensión). En el apartado 3 vimos las ecuaciones de equilibrio interno (relacionan las componentes del tensor de tensiones con las fuerzas volumétricas), por lo que ya sabemos dos de las tres ecuaciones de equilibrio.

Como hemos estado viendo, el tensor de tensiones esta relacionado con el punto en el que se estudia y del sistema de referencia en base al cual está referido ese punto. Las componentes del tensor de tensiones varían según el sistema de referencia en el que se expresa. Vamos a estudiar la transformación del sistema en el caso de un estado de tensiones plano XY.

Vemos que el sistema de referencia se mueve una inclinación α por lo que la matriz de movimiento 𝑷 será la matriz de cosenos directores de los ejes 𝑥 ′ , 𝑦 ′ respecto de los ejes 𝑥, 𝑦. 𝑃=(

cos(𝑥 ′ , 𝑥) cos(𝑦 ′ , 𝑥) cos 𝛼 − sin 𝛼 𝑙 −𝑚 )=( )=( ) cos(𝑥 ′ , 𝑦) cos (𝑦′ , 𝑦) sin 𝛼 cos 𝛼 𝑚 𝑙

De asignaturas anteriores, sabemos que las componentes del tensor en el nuevo sistema de referencia se obtienen proyectando las tensiones 𝑇′ en las direcciones 𝑥 ′ , 𝑦 ′ : 𝜎𝑥 𝑇 = 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑥, 𝑦 = ( 𝜏 𝑇 ′ = 𝑃𝑡 𝑇 𝑃 → 𝑇 ′ = (

𝑇 = 𝑃 𝑇 ′ 𝑃𝑡 → 𝑇 = (

𝑥𝑦

𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 )

𝑃 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝑙 −𝑚 𝑙 𝑚 ) ) ( 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 ) ( 𝑚 𝑙 −𝑚 𝑙

𝜎𝑥′ 𝜏𝑦′𝑥′ 𝑙 𝑚 𝑙 −𝑚 ) (𝜏 𝜎𝑦′ ) ( −𝑚 𝑙 ) 𝑥′𝑦′ 𝑚 𝑙

Si esta deducción la llevamos a tres dimensiones, podremos obtener el cambio de referencia para un tensor de tensiones: 𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 σ = tensor de tensiones = ( 𝑠𝑖𝑚 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦 ) 𝑠𝑖𝑚 𝑠𝑖𝑚 𝜎𝑧

cos(𝑥 ′ , 𝑥) cos(𝑦 ′ , 𝑥) cos(𝑧 ′ , 𝑥) 𝑙2 𝑙3 𝑙1 𝑃 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = ( cos(𝑥 ′ , 𝑦) cos (𝑦 ′ , 𝑦) cos(𝑧 ′ , 𝑦)) = ( 𝑚1 𝑚2 𝑚3 ) 𝑛1 𝑛2 𝑛3 cos(𝑥′ , 𝑧) cos (𝑦 ′, 𝑧) cos(𝑧 ′ , 𝑧)

𝑇 ′ = 𝑃𝑡 𝑇 𝑃 → 𝑇 ′ = (

𝑚12 𝑛𝑛12 𝑙𝑙12 𝑚

𝑙1 𝑙3 𝑙𝑚 2 3 𝑙𝑛 33 𝑇 = 𝑃 𝑇 ′ 𝑃𝑡 → 𝑇 = ( 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑛1

𝑛2

𝑛3

)( )(

𝑠𝑖𝑚 𝜎𝑦 𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥

𝜏𝑧𝑦 𝜏𝑧𝑥

𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑙1 𝑙2 𝑙3 ) ) ( 𝑛1 𝑛2 𝑛3

𝑠𝑖𝑚 𝑠𝑖𝑚 𝜎𝑧 𝜎𝑠𝑖𝑚 𝜏𝑦𝜎′ 𝑥𝑦′ ′ 𝜏𝑧𝜏′𝑧𝑥′′𝑦′ 𝑥′ 𝑠𝑖𝑚

𝑠𝑖𝑚

𝜎𝑧 ′

𝑙1𝑙 𝑚𝑚 1 2 𝑛1𝑛2 ) 2 ) ( 𝑙3 𝑚3 𝑛3

ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO

El primer paso que se suele dar a la hora de resolver un problema de elasticidad es calcular las tensiones y direcciones principales. Para ello, buscamos un plano que sea perpendicular al vector tensión en el cual solo exista componente normal. Esto quiere decir, que podemos obtener el plano multiplicando la normal por un escalar. Veamos primero el caso de dos dimensiones: 𝑄𝑢𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 → 𝑡 = 𝜎 𝑛

alor escalar que corresponde al módulo de la tensi tensión ón Donde 𝝈 es un vvalor en la dirección def definida inida por 𝒏. Sabiendo el lema de Cauchy podemos obtener: 𝐿𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦 = 𝑡 = 𝑇 𝑛 (𝑇 − 𝜎𝐼)𝑛 = 0

Obtenido este sistema de ecuaciones, para que tenga solución es necesario que el determinante del sistema sea nulo: 𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 1 0 𝑙 [( 𝑠𝑖𝑚 𝜎 ) − 𝜎 ( )] ( ) = 0 0 1 𝑦 𝑚 𝜎𝑥 − 𝜎 𝜏𝑦𝑥 𝑙 ( 𝜏 )( ) = 0 𝜎 𝑦𝑥 𝑦−𝜎 𝑚

𝜎𝑥 − 𝜎 𝜏𝑦𝑥 2 | 𝜏 𝜎𝑦 − 𝜎| = 0 → (𝜎𝑥 − 𝜎)(𝜎𝑦 − 𝜎) − 𝜏𝑦𝑥 = 0 𝑦𝑥 𝜎

Resolviendo la ecuación característica, obtenemos las incógnitas 𝜎 = ( 𝜎12 ) que son las tensiones máxima y mínima respectivamente. Por lo tanto, si traspasamos esta información al caso de tres dimensiones, tendríamos:

𝑠𝑖𝑚 𝜎𝑥 𝜏𝜎𝑦𝑥𝑦

𝜏𝜏𝑧𝑥 𝑧𝑦

0 1 0 𝑚 1 0 0 𝑙 )=0 [( )−𝜎( )] ( 𝑛 𝑠𝑖𝑚 𝑠𝑖𝑚 𝜎𝜎𝑧 − 𝜆 0𝜏 0 1 𝜏 𝑥 𝑦𝑥 𝑧𝑥 𝑙 𝑚) = 0 𝜎𝑦 − 𝜆 𝜏𝑧𝑦 𝑇𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝜆 = 𝜎 → ( 𝜏𝑦𝑥 )( 𝑛 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 − 𝜆 𝜎𝑥 − 𝜆 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 𝜎𝑦 − 𝜆 𝜏𝑧𝑦 | = 0 → 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑪𝑨𝑹𝑨𝑪𝑻𝑬𝑹Í𝑺𝑻𝑰𝑪𝑨 | 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 − 𝜆 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑪𝑨𝑹𝑨𝑪𝑻𝑬𝑹Í𝑺𝑻𝑰𝑪𝑨 = 𝝀𝟑 − 𝑰𝟏 𝝀𝟐 + 𝑰𝟐 𝝀 − 𝑰𝟑 = 𝟎

Donde 𝐼1 es el invariante de tipo 1, que es igual a la traza de tensor, 𝐼2 es el invariante 2 e 𝐼3 es el tercer invariante que es el determinante del tensor. Por tanto, como resumen tenemos: La ecuación característica es la que usaremos para resolver los problemas en los que se nos pida las tensiones y direcciones principales de manera analítica analítica. 𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑪𝑨𝑹𝑨𝑪𝑻𝑬𝑹Í𝑺𝑻𝑰𝑪𝑨 = 𝝀𝟑 − 𝑰𝟏 𝝀𝟐 + 𝑰𝟐 𝝀 − 𝑰𝟑 = 𝟎 𝐼1 = 𝑡𝑟(𝑇) = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧

2 ) + (𝜎 𝜎 − 𝜏 2 ) + 2 ) 𝐼2 = (𝜎𝑥 𝜎𝑦 − 𝜏𝑦𝑥 (𝜎𝑧 𝜎𝑦 − 𝜏𝑧𝑦 𝑥 𝑧 𝑧𝑥

𝐼3 = det(𝑇)

Al resolver la ecuación característica obtendremos:

𝝀𝟏 , 𝝀𝟐 , 𝝀𝟑 = 𝑻𝑬𝑵𝑺𝑰𝑶𝑵𝑬𝑺 𝑷𝑹𝑰𝑵𝑪𝑰𝑷𝑨𝑳𝑬𝑺 (𝝈𝑰 , 𝝈𝑰𝑰 , 𝝈𝑰𝑰𝑰) 𝒆𝒏 𝑷𝒂 𝝈𝑰 > 𝝈𝑰𝑰 > 𝝈𝑰𝑰𝑰

Una vez tengamos ya las tensiones principales, debemos ir sustituyendo las tres de una en una en nuestro sistema, para poder ir obteniendo las tres normales:

(

𝜎𝑥 − 𝜎𝐼 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥

𝜆1 , 𝜆2 , 𝜆3 ∶ 𝐶𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 (𝜎𝐼 , 𝜎𝐼𝐼 , 𝜎𝐼𝐼𝐼 )

𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 𝑙𝐼 𝜎𝑦 − 𝜎𝐼 𝜏𝑧𝑦 ) ( 𝑚𝐼) = 0 → 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑛𝐼 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑖𝑟 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 − 𝜎𝐼 𝑛𝐼

𝐷𝐼𝑅𝐸𝐶𝐶𝐼Ó𝑁 𝑃𝑅𝐼𝑁𝐶𝐼𝑃𝐴𝐿 𝐴𝑆𝑂𝐶𝐼𝐴𝐷𝐴 𝐴 𝜎𝐼 : 𝑙𝐼2 + 𝑚𝐼2 + 𝑛𝐼2 = 1

Una vez tengamos el sistema de tres ecuaciones planteado, le damos un valor arbitrario a l, m o n. Por ejemplo 1, para que sea más sencillo de resolver, por lo que debemos eliminar una de las tres ecuaciones. Después de haber obtenido el vector normal, debemos racionalizarlo, es decir, lo dividimos entre su módulo (para que sea unitario). 𝑛𝐼 =

𝜎𝑥 − 𝜎𝑖 ( 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥

𝑙𝐼 ( 𝑚𝐼 ) √𝑙𝐼2 + 𝑚𝐼2 + 𝑛𝐼2 𝑛𝐼 1

𝜆1 , 𝜆2 , 𝜆3 = 𝜎𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖 = 𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼

𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 𝑙𝑖 𝜎𝑦 − 𝜎𝑖 𝜏𝑧𝑦 ) ( 𝑚𝑖) = 0 → 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 ± 𝑛𝑖 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 − 𝜎𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖 → 𝑙𝐼2 + 𝑚𝐼2 + 𝑛𝐼2 = 1

𝑛𝐼 ∶ 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝜎𝐼

𝑛𝐼𝐼 ∶ 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝜎𝐼𝐼

𝑛𝐼𝐼𝐼 ∶ 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝜎𝐼𝐼𝐼

El circulo de Möhr es una representación gráfica del tensor de tensiones y de todos los posibles estados tensionales asociados a un punto. Partimos de la siguiente situación: Tenemos un punto P, que respecto de un sistema de ejes (x,y,z) tiene una normal n. Este vector n, es el normal de un plano π. Si proyectamos el tensor tensión T en este plano, obtenemos las componentes intrínsecas σ y 𝜏

Si representamos estas componentes intrínsecas en los ejes del plano π. Obtenemos:

Pero ¿Cómo llegamos a esas circunferencias? Pues debemos de seguir una serie de pasos a partir del tensor de tensiones que nos den en el enunciado: 𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 𝑇𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 → 𝜎 (𝑥0 , 𝑦0 𝑧0 ) = ( 𝑠𝑖𝑚 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦 ) 𝑠𝑖𝑚 𝑠𝑖𝑚 𝜎𝑧

1.

Hallamos las direcciones principales y con ellas, el tensor principal, para ello se resuelve la ecuación característica como se explico en el apartado anterior, obteniendo: 𝜎𝐼 0 𝜎(𝑥0 , 𝑦0 𝑧0 ) = ( 0 𝜎𝐼𝐼 0 0

0 0 ) 𝜎𝐼𝐼𝐼

2. Representamos en una gráfica, cuyos ejes son las componentes intrínsecas, normales y tangenciales (σ, 𝜏), las tres tensiones principales (𝜎𝐼 , 𝜎𝐼𝐼, 𝜎𝐼𝐼𝐼 )

3. Calculamos el centro de la circunferencia grande (la roja): 𝜏𝑚𝑎𝑥 =

𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼𝐼 2

4.

A partir de un punto P, un plano π y...