Tensiones combinadas - Apuntes 3 PDF

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TENSIONES COMBINADAS...

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UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABI FACULTAD DE INGENIERIA Carrera de Ingeniería Civil

TRABAJO DE CONSULTA No. 04 ASIGNATURA: RESISTENCIA DE LOS MATERIALES II TEMA: TENSIONES COMBINADAS CURSO: GRUPO:

NIVEL CUARTO – A No. 1

ESTUDIANTES:

CHON LONG PARRA EMILIO VILLAMIL CAÑARTE CARLOS MONTESDEOCA MARCILLO JESUS MURILLO REYES YORDI

FECHA DE ENTREGA: 16 de julio del 2019 DOCENTE:

ING. TONIO REALPE TOMALA

Manta – Manabí - Ecuador 2019 - 1

Contenido INTRODUCCION............................................................................................................................3 CONCEPTO DE ESTADO DE TENSION............................................................................................4 TRANSFORMACION DE ESFUERZO EN EL PLANO..........................................................................6 ESFUERZOS PRINCIPALES..............................................................................................................9 ESFUERZO CORTANTE MAXIMO.................................................................................................12 TENSIONES PRINCIPALES............................................................................................................14 TENSIONES COMBINADAS..........................................................................................................16 FLEXION AXIAL. FLEXION TORSION.............................................................................................17 CENTRO DE FLEXIONES EN LA FLEXIÓN COMPUESTA.................................................................19 NUCLEO CENTRAL DE UNA SECCIÓN..........................................................................................20 CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO..............................................................................21 CONCLUSION..............................................................................................................................23 BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................................24

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INTRODUCCION

En el presente informe se detallará los conceptos básicos relacionados con tensiones combinadas haciendo énfasis en sus respectivos sub tema, como primer tema a determinar están los conceptos del estado, Transformación de esfuerzos en el plano, Esfuerzos principales, Esfuerzo cortante máximo, Tensiones principales, Tensiones combinadas, Flexión-axial, flexión-torsión, Centro de presiones en la flexión compuesta, Núcleo central de una sección, Circulo de Mohr para esfuerzo plano. En general los temas están totalmente ligados a las tensiones, esfuerzos y flexión que se produzcan dentro de un sólido (elemento prismático), tomando en cuenta sus propiedades geométricas.

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CONCEPTO DE ESTADO DE TENSION Ortiz L (sf) Nos dice que: Consideremos un cuerpo sólido sometido a la acción de un sistema de fuerzas exteriores (cargas aplicadas y reacciones) en equilibrio, e imaginémoslo cortado por una sección cualquiera S que lo divide en dos partes, (A) y (B), situadas a ambos lados de la sección S (Figura 1.1). Para que exista equilibrio en las dos partes resultantes, (A) y (B), deben existir unas ciertas fuerzas de interacción a través de la superficie S a las que llamaremos F. Las fuerzas de interacción son iguales en magnitud y dirección, pero de sentidos opuestos, sobre las secciones S de las partes (A) y (B), según exige el principio de acción y reacción. Consideremos un punto sobre la superficie S y un entorno de dicho punto de ·rea S. Llamemos F a la fuerza que la parte (B) del cuerpo ejerce sobre la parte (A) a través del ·rea S. La fuerza por unidad vale entonces:

A esta fuerza por unidad de área dtm se le llama tensión media sobre la superación S en el punto considerado. Si se hace tender el área dS a un elemento diferencial de área.

Respecto al concepto de tensión pueden hacerse las siguientes observaciones:  Las dimensiones de la tensión son [F L2], o sea, fuerza por unidad de superficie. En el sistema internacional la tensión se mide en Pascales (Pa), es decir, en N/m2  En general, la tensión no es normal al plano de corte considerado, sino que puede descomponerse según dos componentes: la tensión normal al plano de la sección, , y la tensión tangencial a dicho plano.

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 La tensión depende del punto y de la orientación de la sección elegida. Así, en un punto dado se tendrán diferentes tensiones según la orientación considerada y para una sección dada se tendrán tensiones diferentes para distintos puntos

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TRANSFORMACION DE ESFUERZO EN EL PLANO Beer, Jhonston (2010) nos dicen que: Suponga que existe un estado de esfuerzo plano en el punto Q , y definido por las componentes sx, sy y , asociadas con el elemento de la figura 7.5a. Se pide determinar las componentes del esfuerzo y asociadas con el elemento después que ha girado un ángulo u con respecto al eje z (figura 7.5b), y expresar estas componentes en función de sx, sy, txy y θ.

Con el objeto de determinar el esfuerzo normal x´y el esfuerzo cortante x´y´ ejercidos sobre la cara perpendicular al eje x´, se estudiará un elemento prismático con caras respectivamente perpendiculares a los ejes x, y y x. Observe que, si el área de la cara oblicua es A, las áreas de las caras vertical y horizontal son, respectivamente, iguales a A cos θ y A sen θ. De ahí se sigue que las fuerzas ejercidas sobre las tres caras (No se ejercen fuerzas sobre las caras triangulares del elemento, pues los esfuerzos normales y cortantes correspondientes se han supuesto nulos.) Usando componentes a lo largo de los ejes x´ y y´ , se escriben las siguientes ecuaciones de equilibrio:

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Resolviendo la primera ecuación para y la segunda para se tiene:

Recordando las relaciones trigonométricas

la ecuación (7.1) se escribe como sigue:

Usando las relaciones (7.3) se tiene la ecuación (7.2) como:

La expresión para el esfuerzo normal _y_ se obtiene remplazando u en la ecuación (7.5) por el ángulo θ +90 que el eje y forma con el eje x. Como cos (2θ+180)+cos 2θ y sen ( 2θ +180_) sen2θ, se tiene:

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Sumando miembro a miembro las ecuaciones (7.5) y (7.7)

Como sz sz =0, se verifica que la suma de los esfuerzos normales ejercidos sobre un elemento cúbico de material es independiente de la orientación del elemento. Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de transformación para esfuerzo plano debido a que transforman las componentes de esfuerzo de un conjunto de ejes en otro. No obstante, como ya se explicó, el estado de esfuerzo intrínseco en el punto en consideración es el mismo, ya sea que lo representen esfuerzos que actúan sobre el elemento xy o sobre el elemento inclinado x1y1. Dado que las ecuaciones de transformación se dedujeron únicamente del equilibrio de un elemento, son aplicables a esfuerzos en cualquier tipo de material, ya sea lineal o no lineal, elástico o inelástico.

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ESFUERZOS PRINCIPALES Gere J, Goodno B(2009) nos dicen que: Las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano muestran que los esfuerzos normales sx1 y los esfuerzos cortantes tx1 y1 varían continuamente conforme se giran los ejes a través de un ángulo u. Esta variación se representa en la figura 7.3 para una combinación particular de esfuerzos. En la figura observamos que los esfuerzos normales y los cortantes alcanzan valores máximos y mínimos en intervalos de 90°. Estos valores máximos y mínimos suelen requerirse para fines de diseño. Por ejemplo, las fallas por fatiga de estructuras como máquinas y aeronaves a menudo se asocian con los esfuerzos máximos, y de aquí que sus magnitudes y orientaciones se deban determinar como parte del proceso de diseño. Esfuerzos principales Los esfuerzos normales máximo y mínimo, denominados esfuerzos principales, se pueden determinar a partir de la ecuación de transformación para el esfuerzo normal sx1 (ecuación 7.4a). Al derivar sx1 con respecto a θ y al igualar a cero, obtenemos una ecuación para la cual podemos encontrar los valores de θ para los que sx1 es un máximo o un mínimo. La ecuación para la derivada es:

De donde obtenemos:

El subíndice p indica que el ángulo up define la orientación de los planos principales, es decir, los planos sobre los que actúan los esfuerzos principales. Con la ecuación (7.11) se pueden encontrar dos valores del ángulo 2up en el intervalo de 0 a 360°. Estos valores difieren en 180°, con un valor entre 0 y 180° y el otro entre 180° y 360°. Por tanto, el ángulo up tiene dos valores que difieren en 90°, un valor entre 0 y 90° y el otro entre 90° y 180°. Los dos valores de up se conocen como los ángulos principales. Para uno de estos ángulos el esfuerzo normal sx1 es un esfuerzo principal máximo; para el 9

otro, es un esfuerzo principal mínimo. Dado que los ángulos principales difieren en 90°, observamos que los esfuerzos principales ocurren sobre planos mutuamente perpendiculares. Los esfuerzos principales se pueden calcular al sustituir cada uno de los dos valores de up en la primera ecuación de transformación (ecuación 7.4a) y despejando sx1. Al determinar los esfuerzos principales de esta manera, no sólo obtenemos los valores de los esfuerzos principales, sino que también aprendemos qué esfuerzo principal está asociado con qué ángulo principal. También podemos obtener fórmulas generales para los esfuerzos principales. Para hacer esto nos referimos al triángulo rectángulo en la figura

7.10, que está elaborado a partir de la ecuación (7.11). Observe que la hipotenusa del triángulo, obtenida con el teorema de Pitágoras, es

La cantidad R siempre es un número positivo y, al igual que los otros dos lados del triángulo, tiene unidades de esfuerzo. Del triángulo obtenemos dos relaciones adicionales:

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Ahora sustituimos estas expresiones para cos 2up y sen 2up en la ecuación (7.4a) y obtenemos el más grande algebraicamente de los dos esfuerzos principales, denotado por s1:

Después de sustituir el valor de R de la ecuación (7.12) y de realizar algunas manipulaciones algebraicas, obtenemos:

El menor de los esfuerzos principales, denotado s2, se puede encontrar a partir de la condición de que la suma de los esfuerzos normales sobre planos perpendiculares es constante (consulte la ecuación 7.6):

Al sustituir la expresión para s1 en la ecuación (7.15) y despejando s2, obtenemos

Esta ecuación tiene la misma forma que la ecuación para s1 pero difiere por la presencia del signo menos antes de la raíz cuadrada. Las fórmulas anteriores para s1 y s2 se pueden combinar en una sola fórmula para los esfuerzos principales:

El signo más da el esfuerzo principal algebraicamente mayor y el signo menos el esfuerzo principal algebraicamente menor. 11

ESFUERZO CORTANTE MAXIMO Beer, Jhonston (2010) nos dicen que: También conocida como Teoría de Tresca o Guest. Establece que la fluencia del material se produce por el esfuerzo cortante, surgió de la observación de la estricción que se produce en una probeta cuando es sometida a un ensayo de tensión La teoría dice: “La falla se producirá cuando el esfuerzo cortante La falla se producirá cuando el esfuerzo cortante máximo absoluto en la pieza sea igual o mayor al esfuerzo cortante máximo absoluto de una probeta sometida a un ensayo de tensión en el momento que se produce la fluencia” La orientación de un elemento que esta sometido al esfuerzo cortante máximo sobre sus lados puede determinarse al obtener la derivada de la siguiente ecuación:

Con respecto a ϴ y al igualar el resultado a cero. De aquí resulta:

Las dos raíces de esta ecuación, ϴs1 y ϴ s2, pueden determinarse a partir de los triángulos en gris que se muestra en la figura.

Un elemento

sometido al

esfuerzo cortante

máximo

estará a 45º, por

los tanto, un 12

elemento sometido al esfuerzo cortante máximo estará a 45º de la posición de un elemento que esta sometido al esfuerzo principal. Si se usa cualquiera de las raíces ϴs1 o ϴ s2, el esfuerzo cortante máximo puede encontrarse tomando valores trigonométricos de sen 2ϴs y cos 2ϴs de la figura y sustituyendo en la ecuación anterior. El resultado es:

El valor de τ max calculado a partir de esta ecuación se conoce como el esfuerzo cortante máximo en el plano, ya que actúa sobre el elemento en el plano x-y.

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TENSIONES PRINCIPALES James, M (2013) nos dicen que: Se llama tensiones principales (σ1, σ2, σ3) en un punto de un cuerpo cargado a las tensiones normales en las direcciones principales en dicho punto. La máxima de dichas tensiones principales (σ1) es la máxima tensión normal de todas las que se dan al cambiar la orientación del plano en dicho punto. Del mismo modo la mínima (σ3) es la mínima tensión normal de todas las que pueden darse al cambiar la orientación del plano en dicho

punto. El cálculo de las tensiones y direcciones principales equivale a una diagonalización del tensor de tensiones en el punto. Podemos ver que las tensiones máximas y mínimas, no sólo se producen simultáneamente en planos ortogonales, sino que al mismo tiempo en dichos planos las tensiones tangenciales son nulas. Las tensiones máximas y mínimas se denominan “tensiones principales” y los ejes perpendiculares a los planos donde actúan, “ejes principales”. El círculo de Mohr no sólo resulta práctico para determinar las tensiones presentes en un plano cualquiera, sino que a partir del mismo pueden obtenerse las tensiones principales y sus planos principales, o las tensiones tangenciales máxima y mínima. En el círculo de la figura hemos representado las tensiones recientemente mencionadas y sus correspondientes planos de actuación. En el mismo también puede verse que en correspondencia con las tensiones principales existen tangenciales nulas.

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TENSIONES COMBINADAS Russell,H (2011) nos dicen que: Siempre o casi siempre en un elemento, actúan varias cargas de diferente clase o también debido a la geometría complicada del elemento una carga exterior no da por resultado una tensión sencilla. Las tensiones combinadas es la distribución de las fuerzas internas asociada con la transmisión de una fuerza, con el fin de determinar si la resistencia del cuerpo es suficiente para soportar esas distribuciones de fuerza interna.

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CÁLCULOS DE TENSIONES COMBINADAS El cálculo de tensiones combinadas o esfuerzos combinados considera varias componentes del tensor de tensiones que actúan simultáneamente, se utilizan las tensiones equivalentes de Von Mises. La comprobación de límite elástico para ver si hay fluencia se realiza para la tensión equivalente máxima (incluyendo componentes medias y alternadas) correspondiente a la combinación de tensiones más desfavorable.

FLEXION AXIAL. FLEXION TORSION Ortiz,L (2002) nos dicen que: En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal. El término "alargado" se aplica cuando una dimensión es dominante frente a las otras. Un caso típico son las vigas, las que están diseñadas para trabajar, principalmente, por tracción. Igualmente, el concepto de flexión se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o láminas. El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión 16

presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no varía con respecto al valor antes de la deformación. El esfuerzo que provoca la flexión se denomina momento flector. La compresión pura es lo que conocemos como “carga axial”, es decir una fuerza Que se aplica a un miembro estructural exactamente en coincidencia con su centroide o eje principal. En este caso la tendencia del elemento es a encogerse hasta fallar; es decir, cundo se desquebraja en la dirección de los esfuerzos aplicados. Pero en la realidad, esto nunca sucede, por dos circunstancias. En primer lugar, porque los ejes o centroides de la carga, y del elemento resistente nunca coinciden, en vista de que el proceso constructivo de los elementos o de montaje de éstos, se puede describir como bastante imperfecta. En segundo lugar, porque un elemento sujeto a compresión como una columna, difícilmente está solo, siempre esta interactuando con otros elementos constructivos que, al funcionar como sistema, le transmiten esfuerzos de flexión. El simple hecho de que los ejes de carga no coincidan, produce necesariamente un momento de volteo, que provoca lo que conocemos como pandeo. Aunque éste último no únicamente depende de las excentricidades de la carga respecto al elemento resistente, sino también respecto a la relación de esbeltez del miembro. Es decir, entre mayor sea el largo del elemento respecto a su ancho, mayor es la posibilidad de que este elemento sufra pandeo, o lo que conocemos como pandeo local.

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Cualquier vector colineal con un eje geométrico de un elemento mecánico se denomina torsor. Consideremos las siguientes hipótesis:  Sobre el cilindro actúa un torsor puro (mismo momento torsor en cualquier sección), y las secciones transversales analizadas están lejos de cambio de sección y lejos de punto de aplicación de carga.  Secciones transversales plana y paralelas antes de aplicación del torsor permanecen así después de torsión, y líneas de rectas permanecen rectas. Se cumple la ley de Hooke Considérese un cilindro empotrado sometido a un momento torsor. Sobre un elemento dx a una distancia ρ del eje X, el torsor provoca una deformación angular γ tal que τ = G⋅ γ.

CENTRO DE FLEXIONES EN LA FLEXIÓN COMPUESTA Mott, R (2009) nos dicen que: Se dice que una pieza está sometida a flexión compuesta cuando está sometida, simultáneamente, a flexión y a tracción o a compresión. Si todas las fuerzas exteriores aplicadas a la pieza están situadas en uno de los planos principales de flexión, se dice que la pieza está sometida, aparte de un posible esfuerzo cortante, a “flexión compuesta plana”. Este último es pues el estado de tensiones producido en una sección recta, por una fuerza normal a este y contenida en uno de los planos Gxy o Gxz siendo y los ejes principales de la sección. 5.1.2 Para hallar el estado de tensiones y deformaciones procederemos por superposición de efectos.

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El esfuerzo normal N produce unas tensiones (lleva signo menos si N es compresión). El momento flector M produce unas tensiones. La tensión total será (5.1) Las secciones planas, manteniéndose, planas y normales a la fibra media, por ambas solicitaciones. Por otra parte, como por efecto de la primera y segunda solicitación, N y M respectivamente, una cara de una rebanada experimenta una traslación y un giro (alrededor de), esta cara efectuará, en la flexión compuesta plana, un giro alrededor de un eje paralelo a cuya posición determinaremos después.

NUCLEO CENTRAL DE UNA SECCIÓN Ortiz,L (2002) nos dicen que: El núcleo central de una sección es el lugar geométrico de los puntos en los cuales, al aplicar una fuerza normal a la sección, todas las tensiones normales son del mismo signo que la fuerza aplicada. El núcleo central de es un concepto de resistencia de materiales importante en el dimensionado de piezas alargadas sometidas a flexión mecánica y compresión

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El núcleo central es la zona de la sección donde ha de estar aplicado el esfuerzo normal para que las tensiones normales sean en toda la sección del mismo signo, o tracción o compresión, por tanto, la línea neutra no corta a la sección. Podemos obtener el perímetro del núcleo central como lugar geométrico de los anti-polos e de todas las rectas tangentes al contorno de la sección.

CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO Beer, Jhonston (...