TEMA 4 LEY DE Hooke PARA Tensiones Planas PDF

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FORESTACION EJERECICIOS PARA PODER HALLAR LA DENSIDAD DE SIEMBRA PV554...

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1 Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga Facultad de Ciencias Agrarias Escuela Profesional de Agronomía

Tema Ley de Hooke para tensiones planas Curso Resistencia de Materiales IR-343 (jueves de 6-8 am) Docente Mg. Ing. Jaime Villar Rodríguez Alumno Yupanqui Huamán, Jhon

Ayacucho-Perú 2020

2 Índice

Introducción ............................................................................................. 3 Objetivos.................................................................................................. 4 1.

LEY DE HOOKE PARA TENSIÓN PLANA ..................................... 5

2.

Casos especiales de la ley de Hooke ............................................. 8

3.

Cambio de volumen ........................................................................ 9

4.

El cambio unitario de volumen (e) ................................................ 11

5.

Densidad de la energía de deformación en tensión...................... 12

6.

Ejercicios ...................................................................................... 15

Conclusiones ......................................................................................... 19 Bibliografia ................................................ ¡Error! Marcador no definido.

3 Int Intro ro rodu du ducció cció cción n

En el presente trabajo tratamos de hacer énfasis en aplicaciones, solución de problemas de tensión en planos inclinados. para poder tener una mejor perspectiva en este tema se debe de cumplir dos condiciones importantes en donde se tiene como un factor imprescindible como las leyes de Hooke. También se verá casos especiales refe rentes al cambio de volumen de una figura isotrópica y se variará según la fuerza (biaxial o uniaxial). Se determinarán formulas con las cuales uno podrá determinar la variación ion de un volumen de un material siempre y cuando las deformaciones sean pequeñas y permanezcan constante en todo su volumen, además habrá ecuaciones que no solamente son válidas para tensiones planas, sino que también se aplicar para cualesquiera condiciones de tensión.

4 Ob Objetiv jetiv jetivos os



conocer las distintas fórmulas que determinan la tensiones o la variación de volumen



Analizar y comprender la relación de poison



calcular la variación de una figura isotrópica, por más que la diferencia sea mínima



diferenciar entre tensión plana y deformación plana

5 1. LEY DE HOOKE PARA TENSIÓN PLANA Las ecuaciones de transformación de tensiones deducidas en esos análisis se obtuvieron solo a partir de consideraciones de equilibrio, y por lo tanto no se requirieron las propiedades de los materiales. En esta sección investigaremos ahora de deformaciones en el material, esto significa que debemos considerar las propiedades del material. Ahora bien, limitaremos el análisis a materiales que satisfacen dos condiciones importantes: primero, que sean uniformes en todo el cuerpo, con las mismas propiedades en todas direcciones (materiales homogéneos e isótropos), y segundo que obedezca la ley de Hooke (materiales elásticos lineales). Con estas condiciones resulta fácil obtener las relaciones entre las tensiones y las deformaciones en el cuerpo.

𝑦 𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

𝜎𝑥

𝜎𝑧 0

𝑥

𝑧 FIGURA 7-23 Elemento de material en tensión plana (𝜎𝑧 = 0).

Comencemos considerando las deformaciones lineales ∈𝑥 , ∈𝑦 y ∈𝑧 en tensión plana. Los efectos de dichas deformaciones se exhiben en la (Fig. 7-24), que muestra los cambios en dimensiones de un elemento infinitesimalmente pequeño en bordes de longitud a, b y c. las tres deformaciones ilustradas son

6 positivas (alargamiento). Las deformaciones pueden expresarse en términos de las tensiones (Fig. 7-23) sobreponiendo los efectos de las tensiones individuales, por ejemplo, la deformación ∈𝑥 en la dirección X debida las tensiones 𝜎𝑥 es igual a

𝜎𝑥 𝐸

donde E es el modulo de elasticidad. Además, la deformación ∈𝑥 debida a la

tensión 𝜎𝑦 es igual a −

𝑣𝜎𝑦

, donde 𝑣 es el coeficiente de Poisson. Por su

𝐸

supuesto, la tensión tangencial 𝜏𝑥𝑦 no produce deformaciones lineales en las direcciones 𝑥, 𝑦 𝑜 𝑧. Entonces, la deformación resultante en la dirección 𝑥 es.

∈𝑥 =

1 𝐸

(𝜎𝑥 − 𝑣𝜎𝑦 )

(7-34 a)

Obtenemos las deformaciones en las direcciones 𝑦 y 𝑧 de manera similar: 1

∈𝑦 = 𝐸 (𝜎𝑦 − 𝑣𝜎𝑥 )

∈𝑧 = −

𝑣 𝐸

(𝜎𝑥 + 𝑣𝜎𝑦 )

(7-34 b,c)

Estas ecuaciones pueden usarse para encontrar las deformaciones lineales (en tensión plana) cuando se conocen las tensiones.

𝑦 𝐶 ∈𝑍

𝐶 ∈𝑋

a c

𝐶 ∈𝑌

b

0

𝑥

𝑧 FIGURA 7-24 Elemento de material sometido a deformaciones lineales ∈𝑥 , ∈𝑦 y ∈𝑧 .

7 La tensión tangencial 𝜏𝑥𝑦 (Fig. 7-23) ocasiona una distorsión del elemento tal que cada cara 𝑧 se convierte en un rombo (Fig. 7-25). La deformación angular 𝛾𝑥𝑦 es la disminución del ángulo entre las caras 𝑥 y 𝑦 del elemento y se relaciona con la tensión tangencial mediante la ley de Hooke en cortante como sigue;

𝛾𝑥𝑦 =

𝜏𝑥𝑦

(7 -35)

𝐺

donde G es el módulo de rigidez a cortante. Observe que las tensiones normales 𝜎𝑥 y 𝜎𝑦 no afecta la deformación angular 𝛾𝑥𝑦 . En consecuencia, las ecuaciones (7-34) y (7-35) dan las deformaciones unitarias (en tensión plana) cuando todas las tensiones (𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 y 𝜏𝑥𝑦 actúan al mismo tiempo. 𝜋 − 𝛾𝑥𝑦 2

𝑦 𝜋 − 𝛾𝑥𝑦 2

𝑥

𝑧

FIGURA 7-25 Deformación angular 𝛾𝑥𝑦 .

Las primeras dos ecuaciones (Ecs. 7-34ª y 7-34b) dan las deformaciones ∈𝑥 y ∈𝑦 en términos de las tensiones. Estas ecuaciones pueden resolver simultáneamente para las tensiones en términos de las deformaciones.

𝜎𝑥 =

𝐸 1−𝑣 2

(∈𝑥 + 𝑣 ∈𝑦 )

𝜎𝑦 =

𝐸 1−𝑣 2

(∈𝑦 + 𝑣 ∈𝑥 )

(7-36 a,b)

Además, tenemos la siguiente ecuación para la tensión tangencial en términos de la deformación angular:

𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦

(7-37)

8 Las ecuaciones (7-36) y (7-37) son útiles para encontrar las tensiones (en tensión plana) cuando se conocen las deformaciones. Por supuesto, la tensión normal 𝜎𝑧 en la dirección 𝑧 es igual cero. Las ecuaciones (7-34) y (7-37) se conoce colectivamente como ley de Hooke para tensión plana. Contiene tres constantes del material (E, G y 𝑣 ) pero solo dos son independientes debido a la reacción

𝐺=

𝐸

(7-38)

2(1−𝑣)

la cual ya se dedujo anteriormente. 2. Casos especiales de la ley de Hooke En el caso especial de la tensión biaxial, tenemos (figura 7.11b)

𝜏𝑥𝑦 = 0, por lo que la ley de Hooke para la tensión plana se simplifica a 𝑦

σ𝑥

σ𝑦

σ𝑥 𝑂

𝑥

σ𝑥

(a)

σ𝑥

𝑂

σ𝑦 (b)

FIGURA 7-11. Elementos en esfuerzo uniaxial y biaxial

𝑥

9 ϵ𝑥 =

1

(σ𝑥 − Vσ𝑦 ) 𝐸

ϵ𝑦 = ϵ𝑧 = −

σ𝑥 =

𝐸 1 − 𝑣2

𝑣 𝐸

1 𝐸

(σ𝑦 − Vσ𝑥 )

(σ𝑥 + σ𝑦 )

(ϵ𝑥 + vϵ𝑦 )

σ𝑦 =

(7-39 a, b, c)

𝐸 1 − 𝑣2

(ϵ𝑦 + vϵ𝑥 )

(7-40 a, b)

Estas expresiones son las mismas que las ecuaciones (7-34) y (7-36) porque los efectos de las tensiones normales y tangenciales son independientes unos de otros. Para la tensión uniaxial con σ𝑦 = 0 Las ecuaciones de la ley de Hooke se simplifican más aún:

ϵ𝑥 =

σ 𝐸

ϵ𝑦 = ϵ𝑧 = −

vσx 𝐸

σ𝑥 = 𝐸ϵ𝑥

(7-41 a, b, c)

Por último, consideramos el cortante el cortante puro, que significa que

σ𝑦 = σ𝑦 = 0. Obtenemos entonces

ϵ𝑥 = ϵ𝑦 = ϵ𝑧 = 0

 xy =

𝑥𝑦 𝐺

(7-42 a, b)

En estos tres casos especiales, la tensión normal σz es igual a cero. 3. Cambio de volumen Cuando un objetivo solido se ve sometido a deformaciones, tanto sus dimensiones como su volumen cambiaran. Es posible determinar la variación del volumen si se conocen las deformaciones normales en tres direcciones perpendiculares. A fin de explicar cómo se logra esto, consideraremos de nuevo el pequeño elemento que se muestra en la figura 7-24. Originalmente, este elemento era un paralelepípedo rectangular cuyos lados tenían las longitudes a, b y c, en las direcciones x, y y z, respectivamente. Las deformaciones ϵ𝑥 , ϵ𝑦 y ϵ𝑧 . Producen los cambios dimensionales que muestran las líneas punteadas. Asi, el aumento en la longitud de los lados es aϵ𝑥, 𝑏ϵ𝑦 , 𝑦 𝑐ϵ𝑧 . El volumen original del elemento es:

𝑉0 = 𝑎𝑏𝑐 Y su volumen final es

10 𝑉1 = 𝑉0 (𝑎 + aϵ𝑥 )(𝑏 + 𝑏ϵ𝑦 )(𝑐 + 𝑐ϵ𝑧 ) = 𝑎𝑏𝑐(1 + ϵ𝑥 )(1 + ϵ𝑦 )(1 + ϵ𝑧 )

(a)

(b)

Consultando la ecuación (a), es posible expresar el volumen final del elemento de la siguiente manera.

𝑉1 = 𝑉0 (1 + ϵ𝑥 )(1 + ϵ𝑦 )(1 + ϵ𝑧 )

(7-43a)

Desarrollando los términos del lado derecho de esta ecuación, se obtiene la siguiente expresión equivalen

𝑉1 = 𝑉0 (1 + ϵ𝑥 + ϵ𝑦 + ϵ𝑧 + ϵ𝑥 ϵ𝑦 + ϵ𝑥 ϵ𝑧 + ϵ𝑦 ϵ𝑧 + ϵ𝑥 ϵ𝑦 ϵ𝑧 )

(7-43b)

Las ecuaciones anteriores para 𝑉1 , son válidas para deformaciones grandes y pequeñas. Si limitamos ahora nuestro análisis a las estructuras que tienen solo deformaciones muy pequeñas (como suele ser el caso), podemos despreciar los términos de la ecuación (7.43b) que se compone de los productos de pequeñas deformaciones. Tales productos son en sí mismos comparados con las deformaciones individuales ϵ𝑥 , ϵ𝑦 y ϵ𝑧 . Entonces la expresión para el volumen final se simplifica y queda como sigue

𝑉1 = 𝑉0 (1 + ϵ𝑥 + ϵ𝑦 + ϵ𝑧 )

(7-44)

Y el cambio de aumento es

∆𝑉 = 𝑉1 − 𝑉0 = 𝑉0 (1 + ϵ𝑥 + ϵ𝑦 + ϵ𝑧 )

(7-45)

Esta expresión puede utilizarse para cualquier volumen de material siempre que las deformaciones sean pequeñas y permanezcan constantes en todo el volumen. Observe también que el material tiene que obedecer la ley de Hooke. Además, la expresión no se limita a la tensión plana, sino que es válida para cualesquiera condiciones de tensión (como apunte final, debemos mencionar que las deformaciones lineales no producen cambios en el volumen).

11 4. El cambio unitario de volumen (e) también conocido como dilatación, se define como el cambio de volumen dividido entre el volumen original; así:

𝑒=

∆𝑉 𝑉0

= 𝜖𝑥 + 𝜖𝑦 + 𝜖𝑧

(7-46)

Aplicando esta ecuación a un elemento diferencial de volumen e integrándola después, es posible obtener el cambio en el volumen de un cuerpo aun cuando las deformaciones lineales varíen a todo lo largo del cuerpo. Las ecuaciones anteriores para los cambios de volumen son aplicables tanto para deformaciones de tracción como compresión, puesto que las deformaciones 𝜖𝑥 , 𝜖𝑦 , 𝜖𝑧 son cantidades algebraicas (positivas para el alargamiento y negativas para el acortamiento), con esta convención de signos, los valores positivos para ∆𝑉 y para 𝒆 representan aumentos del volumen, en tanto que los valores negativos representan reducciones. Regresemos a los materiales que sigue la ley de Hooke y que están sometidos solo a una tensión plana (Fig. 7-23). En este caso, 𝜖𝑥 , 𝜖𝑦 𝑦 𝜖𝑧 están dadas por las ecuaciones (7-43 a, b, y c). sustituyendo estas relaciones en la ecuación (4-46), tenemos la siguiente expresión para el cambio de volumen en función de las tensiones:

𝑒=

∆𝑉 𝑉0

=

1−2𝑣 𝐸

(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )

(7-47)

Observe que esta ecuación también es aplicada a la tensión biaxial. Para el caso de una barra prismática en tracción, es decir, en tensión uniaxial, la ecuación (7-47) se simplifica a

𝑒=

∆𝑉 𝑉0

=

𝜎𝑥 𝐸

(1 − 2𝑣)

(7-48)

A partir de esta ecuación, se observa que el máximo valor posible del coeficiente de Poisson para materiales comunes es igual a 0.5, puesto que un valor mayor significaría que el volumen reduce cuando el material está en tracción, lo que contradice el comportamiento físico común.

12 5. Densidad de la energía de deformación en tensión la densidad de la energía de deformación 𝑢 es la energía de deformación almacenada en un volumen unitario del material (vea los análisis en las (Secs. 2.7 y 3.9). Para un elemento en tensión plana podemos obtener la densidad de la energía de deformación consultando los elementos mostrados en las figuras 7-24 y 7-25. Ya que las deformaciones lineales y angulares ocurren de manera independiente. podemos sumar las energías de deformación de esos dos elementos para obtener la energía total. comencemos por encontrar la energía de deformación asociada con las deformaciones lineales (fig. 7-24). puesto que la tensión que actúa sobre la cara 𝑥 del elemento es 𝜎𝑥 (vea la Fig. 7-23), encontramos que la fuerza que actúa sobre la cara 𝑥 del elemento (Fig. 7-24) es igual a 𝜎𝑥 𝑏𝑐. Por supuesto, conforme se aplican cargas a la estructura, esta fuerza se incrementa gradualmente desde cero hasta su valor máximo. al mismo tiempo, la cara 𝑥 el elemento se mueve por la distancia 𝑎𝜖𝑥 ; por lo tanto, el trabajo que realiza esta fuerza es

1 (𝜎 𝑎𝑏)(𝑎𝜖𝑥 ) 2 𝑥 siempre que la ley de Hooke sea aplicable para el material. similarmente, la fuerza 𝜎𝑦 𝑎𝑐 que actúa sobre la cara y efectúa un trabajo igual a

1 (𝜎 𝑎𝑐)(𝑏𝜖𝑥 ) 2 𝑦 La suma de estos dos términos da la energía de deformación almacenado en el elemento:

𝑎𝑏𝑐 (𝜎𝑥 𝜖𝑥 + 𝜎𝑦 𝜖𝑦 ) 2 Así entonces, la densidad de la energía de deformación (energía de deformación por volumen unitario) debida a las tensiones y deformaciones lineales es

1

𝑢2 = (𝜎𝑥 𝜖𝑥 + 𝜎𝑦 𝜖𝑦 ) 2

13 (c) La densidad de la energía de deformación asociada con las deformaciones angulares (Fig. 7-25) se evaluó en la sección 3.9 (vea la Ec. d de esa sección)

𝑢2 =

𝜏𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑦 2

(d)

Al combinar las densidades de energía de deformación para las deformaciones lineales y angulares, obtenemos la siguiente fórmula para la densidad de la energía de deformación en tensión plana:

𝑢2 =

1 (𝜎 𝜖 + 𝜎𝑦 𝜖𝑦 + 𝜏𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑦 ) 2 𝑥 𝑥

(7-49)

Sustituyendo las deformaciones de las ecuaciones (7-34) y (7-35), obtenemos la densidad de la energía de deformación en términos solo de tensiones: 2 𝜏𝑥𝑦 1 2 2 (𝜎 + 𝜎𝑦 − 2𝑣𝜎𝑥 𝜎𝑦 ) + 𝑢= 2𝐸 𝑥 2𝐺

(7-50)

de manera similar, podemos sustituir las tensiones de las ecuaciones (7-36) y (737) y obtener la densidad de la energía de deformación en termino solo de deformaciones

𝑢=

1 𝐸 2 2 (𝜖 − 2𝑣𝜖 𝜖 ) + 𝑢 = + 𝜖 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 2(1 − 𝑝2 ) 2𝐸

(7-51)

Para obtener la densidad de la energía de deformación en el caso especial de tensión biaxial, basta cancelar los términos de cortante en las ecuaciones

(7-

49), (7-50), y (7-51). para el caso especial de tensión uniaxial, sustituimos los valores siguientes.

𝜎𝑦 = 0

𝜏𝑥𝑦 = 0

𝜖𝑥 = −𝑣𝜖𝑥

𝜏𝑥𝑦 = 0

en las ecuaciones (7-50) y (7-51) y obtenemos, respectivamente

𝜎𝑥2 𝑢= 2𝐸

𝐸𝜖𝑥𝑦2 𝑢= 2

(e, f)

Estas expresiones concuerdan con las ecuaciones (2-44a) y (2-44b) de la sección 2.7. También, para cortante puro, sustituimos

14 𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 = 0

𝜖𝑥 = 𝜖𝑦 = 0

en las ecuaciones (7-50) y (7-51) y obtenemos

𝜏𝑥2 𝑢= 2𝐺

𝐺𝛾𝑥𝑦2 𝑢= 2

Que recuerdan con las ecuaciones (3-55a) y (3-55b) de la sección 3.9.

(g, h)

15 6. Ejercicios

16

17

18

19

20

21 Conclusiones las formas de aplicación de las ecuaciones varían y se modifican según la necesidad que se tenga o pida el ejercicio. Además, hay condiciones en las que si la variación de volumen es mínima se pueden descartar valores. cuando un esfuerzo cortante aplicado a un material homogéneo e isotrópico solo produce deformación unitaria en el mismo plano, además la deformación o la dilatación unitaria volumétrica solo causa la formación unitaria normal y no la deformación unitaria cortante

22 Bibliografía



James M. Gere y Barry J. Goodno (2009) Mecánica de materiales, séptima edición © D.R. 2009 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,



Robert W. Fitzgerald (1996) Mecánica de materiales, edición revisada © D.R. 1996 AlfaoSíXéga Grupo Editor, S.A. de C.V



R.C.

Hibbeler

(2006)

Mecánica

de

materiales,

sexta

edición

© D.R. 2006 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. 

Andreq Pytel y Ferdinand L. Singer (1994) Resistencia de materiales, cuarta edicion © D.R. 1994, 1982 por Harla, S.A. de C.V.



Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnston, Jr., John T Dewolf y David F Mazurek © 2010, 2007, 2003, 1993, 1982 respecto a la quinta edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V...