LEY DE Hooke - Informe PDF

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MUA- RIEL Y CAIDA LIBRE

Resumen: Dentro de la práctica n°6 de laboratorio se estudió la capacidad de resistencia a la deformación propia de los resortes, para este fin se realizaron tres tipos diferentes de montajes obteniendo tres aspectos distintos, resorte simple, resorte en serie y resorte en paralelo, obteniendo en cada apartado resultados diferentes de elongación, posteriormente a partir de la pendiente de cada una de las gráficas obtenemos el valor de k, concluyendo que esta capacidad es menor en el resorte en serie seguida del resorte simple y finalmente del resorte en paralelo. 1. INTRODUCCIÓN En física, la ley de Hooke, originalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un cuerpo elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre el mismo. Esta ley recibe su nombre del físico inglés Robert Hooke, contemporáneo de Isaac Newton, y contribuyente prolífico de la arquitectura. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en ingeniería y construcción, así como en la ciencia de los materiales. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza"). En esta práctica se estudió experimentalmente el comportamiento de los resortes, calculando la constante elástica k del resorte, resorte en serie y resorte en paralelo obteniendo que la constante de elasticidad K es menor en el resorte en serie seguida del resorte sencillo y finalmente del resorte en paralelo. 1.1. Conceptos

Formulas

y

Un cuerpo se denomina elástico si al actuar una fuerza sobre el sufre una deformación de tal manera que al cesar la fuerza recupera su forma original. Cuando una fuerza externa actúa sobre un material causa un esfuerzo o tensión en el interior del material que provoca la deformación del mismo. En muchos materiales, ente ellos los metales y minerales, la deformación es directamente proporcional al esfuerzo. Esta relación se conoce como la ley de Hooke, que fue el primero en expresarla. No

obstante si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la ley de Hooke ya no es válida. El máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad. La relación entre el esfuerzo y la deformación, denominada módulo de elasticidad, así como el límite de elasticidad, están determinados por la estructura molecular del material. La distancia entre las moléculas de un material no sometido a esfuerzo depende de un equilibrio entre las fuerzas moleculares de atracción y repulsión. Cuando se aplica una fuerza externa que crea una tensión en el interior del material, las distancias moleculares cambian y el material se deforma. Si las moléculas están firmemente unidas entre sí, la deformación no será muy grande incluso con un esfuerzo elevado. En cambio si las moléculas están poco unidas, una tensión relativamente pequeña causara una deformación grande. Por debajo del límite de elasticidad, cuando se deja de aplicar la fuerza, las moléculas vuelven a su posición de equilibrio y el material elástico recupera su forma original. Más allá del límite de elasticidad, la fuerza aplicada separa tanto las moléculas que no pueden volver a su posición de partida y el material queda permanentemente deformado o se rompe. • Para un resorte sencillo Se determina la constante de elasticidad � como la fuerza � necesaria para estirarlo en una unidad de longitud ∆�, tal como se observa en la Fig. 1a y Fig. 1b, es decir: � = �. ∆� (1) En el sistema MKS, la constante � se expresa en N/m.

Figura 1. Elongación de un resorte de constante k

Si tenemos dos resortes los podemos combinar para formar un sistema de resortes en serie (Figura 2a) y un sistema de resortes en paralelo (Figura 2b).

Figura 2. a. Sistema de resortes en paralelo y b. Sistema de resortes en serie • Resortes en serie Si tenemos un sistema de dos o más resortes como se muestra en la Figura 3 y este es sometido a una elongación debido a una fuerza F (despreciando la masa de los resortes), la elongación total se representará como: x T =x 1 + x 2

(2)

Siendo x 1 y x2 las elongaciones producidas por los resortes con constantes de elasticidad k 1 y k 2 . Al ser la fuerza aplicada en el eje y la misma y afecta a los resortes de la misma manera, la sumatoria de fuerzas es: FT =−k T . x T

(3)

Despejando x y reemplazando en la ecuación anterior: FT kT

Como

FT =F 1= F2

=

F1 k1

+

F2 k2

(4)

, tenemos: 1 1 1 = + kT k1 k2

(5)

Figura 3. Diagrama de diferentes resortes en serie • Resortes en paralelo Si tenemos un sistema de dos o más resortes como se muestra en la Figura 4 y este es sometido a una elongación debido a una fuerza F (despreciando la masa de los resortes), la elongación total se representará como: xT= x1 + x2

(6)

La fuerza aplicada en el eje y es el resultado de las fuerzas experimentadas en cada uno de los resortes: FT =F 1+F 2

(7)

−k T . x T =( −k T . x T) +(−k T . x T )

−k T . x T =− xT .(k T + k T ) k T =k 1 +k 2 (8)

Figura 4. Resortes dispuestos en paralelo

2. DISEÑO EXPERIMENTAL 2.1. Resorte sencillo

Montaje

de

un

Una vez instalado el equipo y nivelado se procede a sujetar del extremo superior del soporte un resorte (ver figura 1), se hace la respectiva medición de la longitud inicial del mismo (28.0 cm) y se cuelga del extremo inferior del resorte 5 masas de diferentes pesos, para calcular el peso de cada masa se usó la ecuación 9, con cada una de las masas registradas se mide la longitud final para calcular la elongación del resorte (ΔX) usando la ecuación 10. w=m∗g Ecuación 9 ΔX =long . Inicial−long . Final Ecuación 10

Y se repite el mismo procedimiento para un resorte de 27.9 cm de longitud. 2.2. sistema de resortes en serie

Montaje

de

un

Posteriormente y una vez observado el comportamiento del resorte simple al deformarse por los determinados pesos procedemos a realizar el montaje de los resortes en serie (ver figura 3), se midió la longitud de este nuevo sistema compuesto por los dos resortes de anillo a anillo ( 58.7 cm), se utilizaron las mismas masas empleadas en el anterior procedimiento por lo que el valor de la fuerza solo tuvo que ser reescrito

en la nueva tabulación, el valor de la elongación fue el nuevo dato que se calculó y anoto en la tabla para la realización de la gráfica. 2.3. sistema de resortes en paralelo

Montaje

de

un

Inicialmente se mide la longitud extremo a extremo del sistema compuesto por resortes en paralelo (ver figura 4) 36,8 cm, sin aplicarle ninguna fuerza, posteriormente se cuelga un porta-pesas en el extremo del sistema y sobre él se varía la masa y se mide la elongación del resorte para cada caso, para lo cual se tomaron las mismas masas del anterior procedimiento, sin embargo no se observó una elongación medible, por lo que se procede a modificarlas aumentando cada fuerza por los siguientes valores: 594.639.6, 788.909.8, 983.116.4, 1,275.744.4, 1.472.352, para notar elongación y la fuerza que ejercen los resortes y registrar los nuevos datos en la respectiva tabla para su posterior graficación. 3. ANALISIS Y RESULTADOS La tabla presentada a continuación corresponde a los datos obtenidos en el laboratorio y corresponden al montaje sencillo de un resorte de 28.0 cm de longitud con los respectivos pesos de las masas usadas para calcular la elongación del resorte. A continuación se construye la Tabla 1 con los datos obtenidos de peso y elongación para el resorte con montaje sencillo y se realiza su respectiva grafica usando el programa origin. Tabla 1. Elongación vs peso para montaje resorte sencillo.

Grafica 1. Elongación vs peso para montaje resorte sencillo.

Al aplicar mínimos cuadrados a la gráfica obtenida por los valores de la tabla 1 obtenemos que la ecuación correspondiente a la gráfica lineal de manera general es: correspondiente a y= mx + b, donde m es la pendiente que corresponde al valor de la resistencia a la deformación del resorte sencillo; m= k= 39283.32 además, b es el intercepto de la gráfica, b= 213111.00, teóricamente este valor debería dar cero si se trabajase con las condiciones ideales pero como es experimental y no se contaba con el equipo y las condiciones adecuadas este valor no fue cero como se esperó. Con la información ya obtenida se obtiene la siguiente ecuación para la fuerza de restitución que rige nuestro sistema de montaje sencillo: Fr=39283.32 X+ 213111.00

La tabla que se presentará a continuación corresponden a los datos obtenidos en el segundo procedimiento del montaje sencillo de un resorte de 27.9 cm de longitud con los respectivos pesos de las masas usadas para calcular la elongación del resorte. A continuación se construye la Tabla 2 con los datos obtenidos de peso y elongación para el resorte con montaje sencillo y se realiza su respectiva grafica usando el programa origin Tabla 2. Elongación vs peso para montaje resorte sencillo

Grafica 2. Elongación vs peso para montaje resorte sencillo.

Al aplicar mínimos cuadrados a la gráfica obtenida por los valores de la tabla 2 obtenemos que la ecuación correspondiente a la gráfica lineal de manera general es: y= mx + b, donde m es la pendiente que corresponde al valor de la resistencia a la deformación del resorte sencillo; m= k= 39167.3363 además, b es el intercepto de la gráfica, b= 1885709.302, teóricamente este valor debería dar cero si se trabajase con las condiciones ideales pero como es experimental y no se contaba con el equipo y las condiciones adecuadas este valor no fue cero como se esperó. Con la información ya obtenida se obtiene la siguiente ecuación para la fuerza de restitución que rige nuestro sistema de montaje sencillo: Fr=39167.3363 X +1885709.302

Posteriormente se realizó el montaje de resortes en serie con una longitud de 58.7 cm para el cual se recopilaron diferentes datos de elongación con los mismos pesos del procedimiento para el montaje

sencillo del resorte; la tabla presentada a continuación corresponde a los datos obtenidos en el laboratorio. A continuación se construye la Tabla 3 con los datos obtenidos de peso y elongación para el resorte con montaje sencillo y se realiza su respectiva grafica usando el programa origin.

Tabla 3. Elongación vs peso para montaje resorte en serie.

Grafica 3. Elongación vs peso para montaje resorte en serie.

Al aplicar mínimos cuadrados a la gráfica obtenida por los valores de la tabla 3 obtenemos que la ecuación correspondiente a la gráfica lineal de manera general es: y= mx + b, donde m es la pendiente que corresponde al valor de la resistencia a la deformación del resorte en serie; m= k= 19532.766 además, b es el intercepto de la gráfica, b= 150842.3050, teóricamente este valor debería dar cero si se trabajase

con las condiciones ideales pero como es experimental y no se contaba con el equipo y las condiciones adecuadas este valor no fue cero como se esperó. Con la información ya obtenida se obtiene la siguiente ecuación para la fuerza de restitución que rige nuestro sistema de montaje sencillo: Fr=19532.766 X +150842.3050

Como el montaje en serie se realizó con los mismos resortes del procedimiento número 1 (montaje sencillo) podemos comparar el valor obtenido mediante el método de mínimos cuadrados con el valor teórico que debería obtenerse por la ecuación 3 que relaciona los resortes sencillos con uno en serie. 1 1 1 = + kt k 1 k 2

Ecuación 3

1 1 1 + = 19532.766 39283.32 39167.3363 5.12∗10−5≠5.10∗10−5 % error= 0.39% El porcentaje de error obtenido puede ser debido a que al realizar el procedimiento del montaje sencillo la medida de la longitud se realizó sin tomar las argollas tanto superiores como inferiores de los resortes mientras que para la medida de la longitud del resorte en serie se tomó la medida sin tomar la argolla superior del primer resorte y sin la superior del segundo resorte pero si se tomó la medida de la unión de las argollas que mantenía el resorte en serie sujeto.

Posteriormente se realizó el montaje de resortes en paralelo con una longitud de 36.8 cm para el cual se recopilaron diferentes datos de elongación con los diferentes pesos usados para el procedimiento; la tabla presentada a continuación corresponde a los datos obtenidos en el laboratorio. A continuación se construye la Tabla 4 con los datos obtenidos de peso y elongación para el resorte con montaje sencillo y se realiza su respectiva grafica usando el programa origin. Tabla 4. Elongación vs peso para montaje resorte en paralelo.

Grafica 4. Elongación vs peso para montaje resorte en paralelo.

Al aplicar mínimos cuadrados a la gráfica obtenida por los valores de la tabla 4 obtenemos que la ecuación correspondiente a la gráfica lineal de manera general es: y= mx + b, donde m es la pendiente que corresponde al valor de la resistencia a la deformación del resorte en paralelo; m= k= 77875.3391, además, b es el intercepto de la gráfica, b= 392161.192, teóricamente este valor debería dar cero si se trabajase con las condiciones ideales pero como es experimental y no se contaba con el equipo y las condiciones adecuadas este valor no fue cero como se esperó. Con la información ya obtenida se obtiene la siguiente ecuación para la fuerza de restitución que rige nuestro sistema de montaje sencillo: Fr=77875.3391 X+ 392161.192

Como el montaje en paralelo se realizó con los mismos resortes del procedimiento número 1 (montaje sencillo) podemos comparar el valor obtenido mediante el método de mínimos cuadrados con el valor teórico que debería obtenerse por la ecuación 4 que relaciona los resortes sencillos con uno en serie.

kt=k 1+k 2 Ecuación 4 77875.3391=39283.32 +¿

39167.3363

77875.3391=78450.6563 % error= 0.73% El porcentaje de error obtenido puede ser debido a que al realizar el procedimiento del montaje sencillo la medida de la longitud se realizó sin tomar las argollas tanto superiores como inferiores de los resortes mientras que para la medida de la longitud del resorte en serie se tomó la medida desde la superficie del montaje hasta la barra de madera que sostenía los pesos que se colocaban para el sistema de resortes en paralelo (porta pesas). Conclusiones



De acuerdo a las mediciones en la práctica se puede concluir que la fuerza aplicada en los resortes mediante diferentes masas, su variable dependiente, en consecuencia fue la longitud de elongación, ya que depende de cada fuerza aplicada.



Las medidas tomadas de la longitud del resorte inicial como la final (elongación) es importante que sea medido con la misma precisión y desde los mismos puntos para los 3 sistemas de resortes ya que esto puede dar origen a errores en el proceso.



La constante de resistencia a la deformación depende mucho del sistema que se esté manejando en los resortes ya que puede ser mayor o menos dependiendo de los que se quiera usar...