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Explicación y ecuaciones de la ley de Hooke...

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LA LEY DE HOOKE: EL MUELLE

Alberto Lendínez Grupo 2 12/11/2010

1. El Muelle Se conoce como muelle o resorte a un operador elástico capaz de almacenar energía y desprenderse de ella sin sufrir deformación permanente cuando cesan las fuerzas o la tensión a las que es sometido. Son fabricados con materiales muy diversos, tales como acero al carbono, acero inoxidable, acero al cromo silicio, cromo-vanadio, bronces, plástico, entre otros, que presentan propiedades elásticas y con una gran diversidad de formas y dimensiones. Se les emplean en una gran cantidad de aplicaciones, desde cables de conexión hasta disquetes, productos de uso cotidiano, herramientas especiales o suspensiones de vehículos. Su propósito, con frecuencia, se adapta a las situaciones en las que se requiere aplicar una fuerza y que esta sea retornada en forma de energía. Siempre están diseñados para ofrecer resistencia o amortiguar las solicitaciones externas.

1.1 La Ley de Hooke: Fuerza sobre un muelle y energía de deformación La manera más sencilla de analizar un resorte físicamente es mediante su modelo ideal global y bajo la suposición de que éste obedece la Ley de Hooke. Se establece así la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el mismo con el alargamiento/contracción o elongación x producida, del siguiente modo:

,

siendo

Donde k es la constante elástica del resorte, x la elongación (alargamiento producido), A la sección del cilindro imaginario que envuelve al muelle y E el módulo de elasticidad del muelle (no confundir con el módulo de elasticidad del material). La energía de deformación o energía potencial elástica Uk asociada al estiramiento o acortamiento del muelle viene dada por la integración de trabajo realizado en cada cambio infinitesimal de su longitud:

Si la rigidez del muelle es independiente de su deformación, entonces:

2. Movimiento Armónico Simple Un movimiento se dice oscilatorio si su sentido cambia bruscamente, como ocurre con un péndulo o con un muelle desplazado de su posición de equilibrio y dejado en libertad. El movimiento armónico Simple, en adelante (M.A.S.), es un ejemplo de movimiento oscilatorio. Un cuerpo describe un M.A.S. cuando recorre indefinidamente, en un movimiento de vaivén, un segmento de recta y es solicitado, en todo instante, hacia el centro de oscilación por una fuerza directamente proporcional a la distancia a la que se encuentra de dicho centro. En la figura se representa un sistema masa-resorte oscilando, inicialmente en la posición y = 0 y al que se ha desplazado una distancia x de su posición horizontal de equilibrio. Puede observase también, que las distintas magnitudes pasan sucesivamente por todos los valores entre dos extremos. Sea la constante elástica del muelle K y sea m la masa, supongamos las condiciones iniciales. Aplicamos una fuerza exterior ~Fext para desplazar a m x metros de su posición inicial, la fuerza restauradora que el muelle ejerce sobre m viene dada por la ley de Hooke (explicada en el apartado anterior) La segunda ley de la Dinámica nos permite escribir:

Este objeto matemático es una ecuación diferencial de segundo orden homogénea y contiene toda la información a cerca del sistema masa-resorte oscilante, se dice que es el modelo matemático del oscilador. Explicado esto pues, tenemos como solución a la ecuación:

Donde: • y(t) es la posición de m en todo instante y se denomina elongación. • A es el valor máximo de la elongación y se denomina amplitud del movimiento; la región de confinamiento esta comprendida entre −A y +A.  es la pulsación (o frecuencia angular) y la frecuencia.  es el tiempo.  es la fase inicial (para ).

Es fácil comprobar que el valor de

es:

El período de oscilación es:

La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:

Así mismo, la aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

Cabe destacar que durante un cuarto de una oscilación la energía potencial se transforma en energía cinética, y durante otro cuarto, la energía cinética se transforma en energía potencial (explicada con más detalle en el siguiente apartado).

3. Energía Potencial del Muelle (Energía Potencial Elástica) Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio. La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).

Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) permanece constante.

Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos x = − A y x = A. Se obtiene entonces que,

O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el punto de equilibrio x = 0...