Artigo sobre método dos resíduos ponderados PDF

Preview

Summary

Artigo/resumo sobre método dos resíduos ponderados...

Description

1

Método dos Resíduos Ponderados Diogo Mezzalira, Vitória Martins Michels

Resumo— Este trabalho vem com o intuito de apresentar um método de resolução da equação de Laplace para o potencial elétrico, apresentado o método dos elementos finitos conhecido como método dos resíduos ponderados. Palavras Chaves—Método dos resíduos ponderados, Método dos elementos finitos, Equação de Laplace.

I. INTRODUÇÃO

N

mais diversas engenharias é bem comum a existência de problemas regidos por equações diferenciais, sendo estes problemas as vezes são muito complexos ou não podem ser resolvidos analiticamente (AZEVEDO, 2003). Sendo então estes resolvidos numericamente com o método dos elementos finitos que é uma técnica de análise numérica utilizada para obter uma solução aproximada para problemas com condições ou valores de contorno (HUEBNER et al, 2001). Dentro do método dos elementos finitos, existes diferentes formas de análise, sendo neste artigo apresentado o método de análise dos resíduos ponderados, o qual consiste na utilização de funções de aproximação apresentada na Equação (1), que satisfaçam as condições de contorno prescritas, utilizando então uma integral sobre o domínio do problema apresentada na Equação (2) para minimizar os erros. AS

n

uh (x)= ∑ ci h(x)

(1)

i=1

∫ Wi (x)*r(x) dx=0

(2)

II. MÉTODOS Dentro do método dos resíduos ponderados existem diferentes formas de determinar as funções pesos ou relacionar o resíduo com a equação diferencial, todos buscando a minimização deste resíduo, aproximando o máximo possível da função teórica que descreva o problema proposto. Alguns destes métodos além do método geral, são os métodos da colocação pontual, também conhecido por método da colocação, o método dos quadrados mínimos e o que geralmente é mais conhecido e mais utilizado que é o método de Galerkin (PIASSI e FILHO, 2014). a.

Método da colocação pontual:

O método da colocação pontual consiste em definir com pesos Wi (x) como funções do tipo Delta de Dirac, onde pela Equação (2) forçamos o resíduo a zerar em alguns pontos específicos do domínio. Em geral se escolhem pontos uniformemente distribuídos, pois nos pontos próximos a estes o resíduo já passa a ser desconhecido, podendo-se levar a um erro propagado. Por exemplo, pode-se supor uma equação polinomial do grau que se achar necessário para h(x), então aplicando a função uh (x) na equação que rege o problema, será obtido a função para o resíduo r(x), onde por fim, tendo Wi(x)=δ(x-xj ), a resolução das n integrais irá nos levar a um sistema de equações que possibilitam encontrar os valores de ci que aproximam uh (x) da resposta do problema (ALVES L. M., 2006).

b.

Método dos quadrados mínimos:

D

Onde ci são coeficientes a serem determinados e h(x) são funções escolhidas para tentar uma aproximação. Então como essa solução não tem relação direta com a equação diferencial, esta função uh (x) não irá respeitá-la, gerando o um erro r(x) quando aplicada na equação diferencial. E Wi (x) representa uma série de funções peso, sendo o mesmo número de 𝑐𝑖 , de forma que resolvendo a Equação (2) é possível obter um sistema de equações lineares em função de ci , assim podendo determinar estas constantes (SILVA e TORII, 2015).

O método dos quadrados mínimos consiste em fazer das funções pesos Wi (x) as derivadas dos resíduos r(x) em relação a cada um dos coeficientes, conforme apresentado na Equação (3) (LEMOS, 2007). Wi (x)=

∂r(x) ∂ci

(3)

Para chegar nesta conclusão, inicialmente partimos da ideia de minimizar a integral do quadrado do resíduo, sendo está considerada o resíduo total. Tendo então:

2 R= ∫ r(x)2 dx

uh (x)=c1 h1 (x)+c2 h2 (x)+…+cn hn (x)

(4)

(8)

D

Onde considerando que o resíduo total não deve variar dependendo do coeficiente ci , enquanto r(x) depende diretamente destes valores. Tendo por fim: ∂R(x) ∂r(x) *r(x)dx=0 =∫ ∂ci D ∂ci

(5)

Sendo que a constante de valor igual a dois da derivada de r(x)2 pode ser desconsiderada na igualdade com zero. Podendo por fim perceber que ao aplicar a Equação (3) na Equação (2), chegaremos ao mesmo resultado da Equação (5). Sendo outra forma de se chegar a um resíduo próximo a zero, aproximando a função uh (x) da resposta do problema inicial (UFPR, 2017). c.

Método de Galerkin:

O método de Garlekin teve origem no estudo de equilíbrio elástico e na estabilidade de varas e pratos, onde ele utilizou apenas coeficientes constantes e desconhecidos, mas com isso originou o método atualmente conhecido por seu nome (LEMOS, 2007). Este método se tornou o mais conhecido método de resíduos ponderados em virtude do aumento da tecnologia e desenvolvimento dos computadores. O método basicamente propõe que a função peso Wi (x) seja a mesma função aproximativa h(x). Dessa forma, podemos então reescrever a Equação (2) para o método de Galerkin conforme apresentado abaixo: ∫ h(x)*r(x) dx=0

Onde utilizaremos apenas até o segundo termo, não tendo uma aproximação tão grande da resposta teórica, mas já sendo possível verificar a funcionalidade do método. Supondo então: h1 (x)=x2 -x

(9)

h2 (x)=x3 -x2

(10)

Então ao aplicarmos as Equações (9) e (10) na Equação (8), teremos o a equação utilizada para uh (x), e então ao aplicarmos na Equação (7), teremos o resíduo r(x), conforme apresentados a seguir: uh (x)=c1 (x2 -x)+c2 (x3 -x2 )

(11)

r(x)=c2 x3 +(-c2 +c1 -1)x2 +(6c2 -c1 )x-2c2 +2c1

(12)

Com isto, agora aplicando em cada um dos métodos teremos: a.

Aplicação no método da colocação pontual:

Utilizando a Equação (2), e então escolhendo dois pontos 1 2 x1 = e x2 = para serem os pontos onde o resíduo será 3 3 determinado como sendo zero, teremos que: 1 ∫ δ (x- ) *r(x) dx=0 3

(13)

2 ∫ δ (x- ) *r(x) dx=0 3

(14)

D

(6)

D

D

Com a qual conseguimos então calcular os termos ci assim como nos outros métodos. Porém geralmente o método de Galerkin resulta em sistemas de equações maiores para os termos ci , e por conta disso o método não era tão utilizado antigamente (ALVES e PROENÇA, 2008).

III.

RESULTADOS

∂ u(x) +u(x)+x2 =0 ∂x2 Com as condições de contorno sendo u(0)=u(1)=0. E então tendo que:

{

-48c1 +2c2 =-3 48c1 +50c2 =12

(15)

Portanto teremos c1 =0,0697 e c2 =0,1731, tendo por fim:

Para termos comparações, serão executados cálculos simples para todos os métodos, partindo da mesma suposição para a função h(x), para a solução da equação diferencial apresentada abaixo: 2

Onde a integral da função Delta de Dirac tem resposta apenas no ponto em que 𝛿(𝑥) = 𝛿(0), tendo por fim o seguinte sistema apresentado abaixo:

(7)

uh (x)=0,1731x3 -0,10338x2 -0,0697x b.

(16)

Aplicação no método dos quadrados mínimos:

Para o método dos quadrados mínimos, temos que os pesos serão a derivada do resíduo em função das constantes 𝑐𝑖 , conforme a Equação (3), e então ao aplicarmos isso na Equação (2), teremos:

3

∫ (x2 -x+2)*r(x) dx=0

(17)

(24)

Podemos então adquirir a Figura (1) abaixo, onde comparamos todas as curvas encontradas.

D

∫ (x3 -x2 +6x-2)*r(x) dx=0

sen(x) 2 ut (x)= sen(1) (1-2 cos(1))+2 cos(x) +x -2

(18)

Figura 1-Comparação das respostas encontradas

D

Onde executando a multiplicação termo a termo, e depois integrando em um domínio entre zero e um, onde sabemos que sua resposta será nula, chegaremos ao seguinte sistema: {

fim:

202c1 +101c2 =37 707c1 +1572c2 =336

(19)

Cujas soluções são c1 =0,09843 e c2 =0,16947, tendo por uh (x)=0,16947x3 -0,07104x2 -0,09843x c.

(20)

Aplicação no método de Galerkin:

No método de Galerkin, basta aplicar a Equação (6) já descrita anteriormente. Chegando então as seguintes integrais: V. CONCLUSÃO ∫ (x2 -x)*r(x) dx=0

(21)

D

∫ (x3 -x2 )*r(x) dx=0

(22)

D

Onde novamente executamos as multiplicações com o valor de r(x) apresentado na Equação (12), e então resolvemos a integral no intervalo de zero a um. Chegando no sistema abaixo: {

6c1 +3c2 =1 63c1 +52c2 =14

(23)

Portanto teremos c1 =0,0813 e c2 =0,1707, tendo por fim: uh (x)=0,1707x3 -0,0894x2 -0,0813x

(24)

Como pode ser visto na Figura (1), para todos os métodos, mesmo utilizando apenas os dois primeiros valores para os somatórios, onde supomos apenas duas possíveis funções, já chegamos em resultados muito próximos ao esperado, principalmente para o método de Galerkin, provando também o porquê de ele ser o mais conhecido, e geralmente ser mais utilizado. Mesmo que o exemplo utilizado tenha apenas duas dimensões, ele já prova a valia do método dos elementos finitos, indiferente de qual método dos resíduos ponderados seja utilizado. Sendo estes aplicáveis também para problemas com mais dimensões, apenas tendo uma maior gama de cálculos a serem feitos, de forma que uma resolução analítica se torna inviável, além de que com uma maior quantidade de funções para o somatório, maior a aproximação do resultado com o valor teórico, sendo assim, uma análise computacional se torna muito melhor. VI. REFERÊNCIAS

IV. DISCUSSÃO Utilizando a resposta teórica para o sistema proposto anteriormente apresentada na Equação (25) abaixo (SILVA e TORII, 2015).

ALVES, L. M. (2006). Apostila de método dos elementos de contorno. Universidade Federal Do Paraná, Engenharia Civil E Matemática, CURITIBA. Acesso em JUNHO de 2019, disponível em http://www.portalsaberlivre.com.br/manager/uploads/apostilas /1316552755.pdf

4 ALVES, M. M., & PROENÇA, S. P. (2008). Emprego do método de resíduos ponderados para a análise de tubos. Em Cadernos de engenharia de estruturas (Vol. 10, pp. 19-48). SÃO CARLOS. Acesso em JUNHO de 2019, disponível em http://www.set.eesc.usp.br/cadernos/nova_versao/pdf/cee44_1 9.pdf AZEVEDO, Á. F. (2003). Método dos elementos finitos (1ª ed.). PORTO, PORTUGAL. Acesso em junho de 2019, disponível em http://alvaroazevedo.com/publications/books/Livro_MEF_AA _1ed/doc/Livro_MEF_AA.pdf HUEBNER, K. H., DEWHIRST, D. L., SMITH, D. E., & BYROM, T. G. (2001). The finite element method for engineers (FOURTH ed.). JOHN WILEY & SONS, INC. Fonte: https://books.google.com.br/books?id=f3MZE1BYq3AC&pri ntsec=frontcover&hl=pt-BR#v=onepage&q&f=true LEMOS, E. M. (2007). Implementação dos métodos de resíduos ponderados por quadraturas gaussianas. Dissertação, Universidade Federal do Rio de Janeiro, engenharia química, Rio de Janeiro. Fonte: http://portal.peq.coppe.ufrj.br/index.php/producaoacademica/d issertacoes-de-mestrado/2007-1/226-implementacao-dosmetodos-de-residuos-ponderados-por-quadraturas gaussianas/file PIASSI, A. D., & FILHO, G. A. (2014). Processo de aproximação de solução de equações diferenciais utilizando funções de base radial em elementos estruturais unidimensionais. Universidade Federal do Espírito Santo, Engenharia Mecânica, VITÓRIA. Acesso em JUNHO de 2019, disponível em [http://mecanica.ufes.br/sites/engenhariamecanica.ufes.br/files /field/anexo/2013-2_alan_e_gerson.pdf SILVA, D. P., & TORII, A. J. (NOVEMBRO de 2015). Uma introdução ao método dos resíduos ponderados. XXXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering. Fonte: https://www.researchgate.net/publication/295546402_Uma_In troducao_ao_Metodo_dos_Residuos_Ponderados UFPR. (2017). Formulações integrais. Em introdução ao método dos elementos finitos. Fonte: http://ftp.demec.ufpr.br/disciplinas/TM266/Apostila/Introdu% C3%A7%C3%A3o%20ao%20MEF.pdf...