Átomo de Hidrógeno - Estructura fina PDF

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Estructura fina...

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´Indice general 1. Ecuaci´ on de Schr¨ odinger en coordenadas esf´ ericas 1.1. Ecuaci´on de Schr¨odinger en tres dimensiones . . . . 1.2. Separaci´on de variables . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. La ecuaci´on angular . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. La ecuaci´on radial . . . . . . . . . . . . . . .

1 . . . .

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1 2 2 4

´ 2. El Atomo de Hidr´ ogeno 2.1. La funci´on de onda radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 9

5

3. La estructura fina e hiperfina del ´ atomo de hidr´ ogeno 13 3.1. La estructura fina del Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.1. T´erminos adicionales en el Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.2. Correci´on en los niveles de Energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2. La estructura hiperfina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3. El Efecto Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3.1. Campo Zeeman D´ebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3.2. Campo Zeeman Fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1

´ de Hidr´ogeno El Atomo Estructura fina e hiperfina

Alejandro Granados Gonz´alez

Cap´ıtulo 1

Ecuaci´ on de Schr¨ odinger en coordenadas esf´ ericas 1.1.

Ecuaci´ on de Schr¨ odinger en tres dimensiones

Recordemos que la ecuaci´on de Schr¨odinger es: ∂Ψ = HΨ ∂t Donde el operador Hamiltoniano se obtiene de la energ´ıa c´asica  1  2 1 mv2 + V = p x + py2 + p2z + V 2 2m Pero sabemos que en la base de las posiciones cada operador momento toma la forma ∂ ∂ ∂ px → −i~ , py → −i~ , py → −i~ ∂y ∂x ∂y i~

Entonces p → −i~∇ Por lo tanto la ecuaci´on de Schr¨odinger en tres dimensiones es: ∂Ψ ~2 2 =− ∇ Ψ+VΨ ∂t 2m Donde ∇2 es el Laplaciano en coordenadas cartesianas. La energ´ıa potencial V y la funci´on de onda Ψ son funciones de r = (x, y, z) y del tiempo. La probabilidad de encontrar a la part´ıcula en el volumen infinitesimal d 3 r = dxdydz es |Ψ (r, t) |2 d 3 r, y la condici´on de normalizaci´on es Z |Ψ (r, t) |2 d 3 r = 1 (1.1) i~

Integrando sobre todo el espacio. Si el potencial es independiente del tiempo, entonces habr´a un conjunto completo de estados estacionarios Ψn (r, t) = ψn (r) e−iEn t/~

Donde la funci´on de onda espacial ψn satisface la ecuaci´on de Schr¨odinger independiente del tiempo: −

~2 2 ∇ ψn + V ψn = En ψn 2m 1

1.2.

Separaci´ on de variables

Es com´ un que el potencial s´olo dependa de la distancia al origen. En este caso es natural usar coordenadas esf´ericas, (r, θ, φ) en lugar de coordenadas cartesianas. En coordenadas esf´ericas el Laplaciano toma la forma  2      1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ . + 2 sen θ + 2 r2 ∇2 = 2 2 r sen θ r ∂r r sen θ ∂φ2 ∂θ ∂θ ∂r Entonces, en coordenadas esf´ericas, la ecuaci´on de Schr¨ odinger es  2       1 ∂ψ 1 1 ∂ ∂ ψ ∂ ~ 2 ∂ψ + V ψ = Eψ + 2 sen θ + 2 r − r sen θ ∂θ r sen2 θ ∂φ2 ∂θ ∂r 2m r2 ∂r

(1.2)

Comenzamos buscando soluciones que sean productos de funciones, esto es: ψ (r, θ, φ) = R (r) Y (θ, φ ) Sustituyendo en la ecuaci´ on 1.2, tenemos  2       R ∂ Y ∂Y R Y d ∂ ~ 2 dR + V RY = ERY + sen θ + r − 2 2 2 2 r sen θ ∂θ r sen θ ∂φ2 ∂θ dr 2m r dr Dividiendo entre RY y multiplicando por −2mr 2 /~2 :         1 ∂2Y ∂Y 1 2mr 2 1 ∂ dR 1 d =0 + sen θ − 2 {V − E } + r2 R dr ~ sen2 θ ∂φ2 ∂θ Y sen θ ∂θ dr El primer t´ermino depende solamente de r, y el segundo depende solamente de θ y de φ, por esto, cada uno debe ser una constante. Llamemos a esta constante de separaci´on l(l + 1). Entonces tenemos dos ecuaciones:   1 d 2mr 2 dR [V − E] = l (l + 1) (1.3) − r2 ~2 R dr dr     1 ∂2Y ∂Y 1 ∂ 1 = −l (l + 1) (1.4) + sen θ sen2 θ ∂φ2 ∂θ Y sen θ ∂θ

1.2.1.

La ecuaci´ on angular

La ecuaci´on 1.4 determina la dependencia de ψ en θ y φ, tratemos ahora de encontrar las soluciones a esta ecuaci´on; multiplicando por Y sen2 θ, tenemos   ∂ ∂2Y ∂Y sen θ + sen θ = −l (l + 1) sen2 θY ∂θ ∂θ ∂φ2 Tratamos de nuevo encontrar soluciones por separaci´on de variables: Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ). Sustituyendo y dividiendo entre ΘΦ, encontramos      1 dΘ 1 d2 Φ d . + l (l + 1) sen2 θ + sen θ sen θ Φ dφ2 dθ dθ Θ 2

El primer t´ermino es solo funci´on de θ, y el segundo es una funci´on s´olo de φ, entonces de nuevo cada uno debe ser una constante, llamemos a esta constante de separaci´on m2 , tenemos entonces:    dΘ d 1 + l (l + 1) sen2 θ = m2 (1.5) sen θ sen θ dθ dθ Θ 1 d2 Φ = −m2 Φ dφ2

(1.6)

La soluci´on de la ecuaci´on 1.6 es una exponencial compleja, esto es: 1 d2 Φ = −m2 ⇒ Φ (φ) = eimφ Φ dφ2 De hecho la ecuaci´on 1.6 debe ser una combinaci´on lineal de dos soluciones las cuales son: eimφ y e−imφ , pero cubriremos eso dejando que m sea negativo y las constantes las podemos absorber en Θ. Ahora veamos como debe de ser m, es claro que cuando φ avanza 2π, regresamos al mismo punto en el espacio; esto porque estamos utilizando coordenadas esf´ericas, entonces es natural pedir que Φ (φ + 2π) = Φ (φ) . En otras palabras, exp[im (φ + 2π)] = exp (imφ), o exp (2πim) = 1. De esta condici´on podemos concluir que m debe ser un entero: m = 0, ±1, ±2, .... La ecuaci´on 1.5, es la llamada Ecuaci´ on Asociada de Legendre, cuyas soluciones son las funciones asociadas de Legendre Pml , esto es: l (cos θ) . Θ (θ) = P m Las funciones asociadas de Legendre se definen como: Pml

 |m|  (x) ≡ 1 − x2 2



d dx

|m|

P l (x)

(1.7)

donde P l (x) es el l − esimo polinomio de Legendre, definidos por la f´ormula de Rodrigues: P l (x) ≡

1 2l l!



d dx

l

 2 l x −1

Los polinomios de Legendre son polinomios ortogonales en el intervalo (−1, 1), de grado l en x, y de paridad definida por la paridad de l. Por otro lado las funciones asociadas de Legendre no son, en general, polinomios; esto depende de m. Notamos que l debe ser un entero no negativo para que la f´ormula de Rodrigues tenga alg´ un sentido; m´as a´ un, l si |m| > l, entonces de la ecuaci´on 1.7 tenemos que P m = 0, entonces tenemos (2l + 1) posibles valores para m: l = 0, 1, 2, ...; m = −l, −l + 1, ..., −1, 0, 1, ..., l − 1, l. La ecuaci´on 1.5 es una ecuaci´on diferencial de segundo orden, lineal y homog´enea, por lo que debe tener dos soluciones independientes, de cualquier modo s´olo es f´ısicamente aceptable utilizar las funciones asociadas de Legendre, ya que el otro conjunto de soluciones divergen en θ = 0 o en θ = π, y no nos llevan a funciones de onda normalizables. El elemento de volumen en coordenadas esf´ericas es d 3 r = r2 sen θdrdθdφ

3

Entonces de la condici´on de normalizaci´on 1.1 tenemos: Z Z Z |ψ|2 r2 sen θdrdθdφ = |R|2 r2 dr |Y |2 sen θdθdφ = 1. Es conveniente normalizar R y Y individualmente: Z

∞ 0

|R|2 r2 dr = 1 y

Z

2π 0

Z

0

π

|Y |2 sen θdθdφ = 1

(1.8)

Las funciones de onda angulares normalizadas se llaman ´ armonicos esf´ ericos: s (2l + 1) (l − |m|)! imφ m e Pl (cos θ) , Ylm (θ, φ) = ǫ 4π (l + |m|)! donde ǫ = (−1)m para m ≥ 0 y ǫ = 1 para m < 0. Se puede probar que estas funciones son ortogonales, esto es Z

0

1.2.2.

2π Z π

′

m Yl∗m (θ, φ) Yl′ (θ, φ) sen θdθdφ = δll ′ δmm′

0

La ecuaci´ on radial

Notamos que la parte angular de la funci´on de onda, Y (θ, φ), es la misma para todos los potenciales esf´ericamente sim´etricos, esto es, la forma expl´ıcita de V (r), s´olo afecta a la parte radial de la funci´on de onda, R(r), que esta determinada por la ecuaci´on 1.3:   2mr 2 d 2 dR − r [V − E] = l (l + 1) R dr dr ~2 Sea u(r) ≡ rR(r)   entonces R = u/r, dR/dr = [r(du/dr) − u] /r , d/dr r2 (dR/dr) = r2 d 2 u/dr2 y por lo tanto   ~2 l(l + 1) ~2 d 2 u u = Eu + V + − 2m dr 2 2m r2 2

(1.9)

Que se conoce como ecuaci´ on radial, es id´entica en forma a la ecuaci´on de Schr¨ odinger unidimensional, excepto que tenemos un potencial efectivo, ~2 l(l + 1) , Vef f = V + 2m r2 que contiene un t´ermino extra, que tiende a proyectar a la part´ıcula hacia afuera, lejos del origen. La condici´on de normalizaci´on 1.8 es ahora Z ∞ |u|2 dr = 1 0

Hasta este momento nuestro an´alisis ha sido general, para cualquier potencial que depende s´olo de la distancia al origen, no podemos continuar sin especificar el potencial.

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Cap´ıtulo 2

´ El Atomo de Hidr´ ogeno El ´atomo de hidr´ogeno consiste en un pesado prot´on, que se encuentra esencialmente en reposo, por lo cual podemos colocarlo en el origen, de carga e, junto con un muy ligero electr´on, con carga −e, que orbita alrededor del prot´on por la atracci´on mutua de las cargas opuestas. De electrodin´amica sabemos que la energ´ıa potencial es e2 1 (2.1) V (r) = − 4πǫ0 r y la ecuaci´on radial 1.9 entonces es   e2 1 ~2 l(l + 1) ~2 d 2 u u = Eu + − + − 2m dr 2 4πǫ0 r 2m r2

(2.2)

El problema ahora es resolver esta ecuaci´ on para u(r) y determinar las energ´ıas permitidas, E, del electr´on. El potencial de Coulomb, ecuaci´ on 2.1, admite estados continuos con E > 0, que describen dispersi´on electr´on-prot´on y estados discretos confinados, que representan el ´atomo de hidr´ogeno, de cualquier modo s´olo estudiaremos los u ´ltimos.

2.1.

La funci´ on de onda radial

Resolvamos la ecuaci´on 2.2; sea

√ −2mE κ≡ ~ Sustituyendo en la ecuaci´ on 2.2 y dividiendo entre E, tenemos   1 d2 u me2 1 l(l + 1) + u = 1 − κ2 dr 2 2πǫ0 ~2 κ κr (κr )2

Sea ahora ρ ≡ κr, y ρ0 ≡

me2 2πǫ0 ~2 κ

(2.3)

(2.4)

para tener   ρ0 l(l + 1) d2 u + = 1 − u ρ dρ2 ρ2 5

(2.5)

Ahora examinemos el comportamiento asint´otico de las soluciones. Cuando ρ → ∞, el t´ermino constante en la ecuaci´on 2.5 domina, entonces aproximadamente tenemos d2 u = u. dρ2 Es f´acil ver que la soluci´on de esta ecuaci´on es u(ρ) = Ae−ρ + Beρ

(2.6)

pero vemos que eρ diverge cuando ρ tiende a infinito, entonces B = 0. Por esto u(ρ) ∼ Ae−ρ para ρ muy grandes. Por otro lado, cuando ρ → 0 el t´ermino l(l + 1)/ρ)2 domina, aproximadamente tenemos ρ2

d2 u − l(l + 1)u = 0 dρ2

Busquemos las soluciones de esta ecuaci´on sea u = ρα , entonces 0 = ρ2

  d α−1 d2 α ρ − l(l + 1)ρα = αρ2 ρ − l(l + 1)ρα = α(α − 1)ρα − l(l + 1)ρα = ρα α2 − α − l(l + 1) 2 dρ dρ ⇒ α2 − α − l(l + 1) = 0 ⇒ α = l + 1 o α = −l

Entonces la soluci´on general a esta ecuaci´on es

u(ρ) = Cρl+1 + Dρ−l , pero ρ−l diverge cuando ρ tiende a cero, entonces D = 0. Por lo tanto u(ρ) ∼ Cρl+1 para ρ peque˜nos. El siguiente paso es deshacernos del comportamiento asint´otico, introducimos la nueva funci´on v(ρ): u(ρ) = ρl+1 e−ρ v(ρ) Tenemos entonces

d2 u = dρ2



  dv d2 v l(l + 1) v + 2(l + 1 − ρ) + ρ 2 −2l − 2 + ρ + dρ dρ ρ

En t´erminos de v(ρ), entonces, la ecuaci´ on radial 2.5 es dv d2 v + 2(l + 1 − ρ) + [ρ0 − 2 (l + 1)] v = 0 dρ2 dρ Finalmente suponemos que la soluci´on, v(ρ), se puede expresar es serie de potencias en ρ: v(ρ) =

∞ X

aj ρj

j=0

Nuestro problema ahora es determinar los coeficientes aj . Derivando t´ermino a t´ermino, ∞ X dv = jaj ρj−1 dρ j=0

6

(2.7)

Renombrando el ´ındice de suma por j → j + 1, tenemos ∞

dv X = (j + 1)aj+1 ρj dρ j=0 Derivando de nuevo

∞ X d2 v = j(j + 1)aj+1 ρj−1 dρ2 j=0

Sustituyendo en la ecuaci´ on 2.7, tenemos ∞ X

j(j + 1)aj+1 ρj + 2(l + 1)

j=0

∞ ∞ ∞ X X X (j + 1)aj+1 ρj − 2 jaj ρj + [ρ0 − 2 (l + 1)] aj ρj = 0 j=0

j=0

j=0

Notamos que los coeficientes ρ est´an en todas las series por lo que j(j + 1)aj+1 + 2(l + 1)(j + 1)aj+1 − 2j aj + [ρ0 − 2 (l + 1)] aj = 0 resolviendo para aj+1 aj+1 =



 2(j + l + 1) − ρ0 aj (j + 1)(j + 2l + 2)

(2.8)

Esta f´ormula recursiva determina los coeficientes y por lo tanto la funci´on v(ρ). Ahora veamos como son los coeficientes para j grandes, que corresponden para ρ grande. En este l´ımite la f´ormula recursiva nos dice ∼ aj+1 = entonces

2j 2 aj = aj , j(j + 1) j +1 j ∼ 2 a0 aj = j!

Supongamos por un momento que esta es el resultado exacto, entonces v(ρ) = a0

∞ j X 2 j=0

y tenemos que

j!

ρj = a0 e2ρ

u(ρ) = a0 ρl+1 eρ ,

que diverge para ρ muy grande. La exponencial positiva es exactamente el comportamiento que no quer´ıamos en la ecuacion 2.6. S´olo hay una forma para solucionar este problema, la serie debe terminar; debe haber un entero m´aximo, j max , tal que ajmax +1 = 0 Es claro, de la ecuaci´on 2.8, que entonces se debe cumplir 2 (j max + l + 1) − ρ0 = 0 Definimos n ≡ j max + l + 1 el llamado n´ umero cu´antico principal, tenemos entonces ρ0 = 2n

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(2.9)

Pero ρ0 por las ecuaciones 2.3 y 2.4 determina E : E=−

−~2 κ2 me4 =− 2 2 2 2 2m 8π ǫ 0 ~ ρ0

entonces las energ´ıas permitidas son "

m En = − 2~2



e2 4πǫ0

2 #

1 E1 = 2 , n = 1, 2, 3, ... n2 n

(2.10)

Este es la famosa f´ ormula de Bohr. Combinando las ecuaciones 2.4 y 2.9, encontramos que κ=

1 me2 1 = an 4πǫ0 ~2 n

donde

4πǫ0 ~2 = 0,529 × 10−10 m me2 es el llamado radio de Bohr. Se sigue, de la ecuaci´on 2.4, que a≡

r . an

ρ=

Evidentemente la funci´on de onda espacial para el ´atomo de hidr´ ogeno est´ a etiquetada por tres n´ umeros cu´anticos, n, l y m: ψnlm (r, θ, φ) = Rnl (r)Y lm (θ, φ) donde, recordando que u(r) ≡ rR(r) y que u(ρ) = ρl+1 e−ρ v(ρ) 1 Rnl (r) = ρl+1 e−ρ v(ρ), r y v(ρ) es un polinomio de grado j max = n − l − 1 en ρ, cuyos coeficientes est´ an determinados, hasta un factor de normalizaci´on, por la f´ormula recursiva aj+1 = El estado base es el caso n = 1:

"

2(j + l + 1 − n) aj (j + 1)(j + 2l + 2)

m E1 = − 2~2



e2 4πǫ0

2 #

= −13,6 eV

Evidentemente la energ´ıa de amarre del sistema es 13,6 eV. La ecuaci´on n ≡ j max + l + 1 implica, cuando n = 1, l = 0 y esto a su vez que m = 0, entonces ψ100 (r, θ, φ) = R10 (r)Y 00 (θ, φ) La f´ormula recursiva nos lleva, si j = 0, a que v(ρ) = a0 y R10 (r) =

a0 −r/a e a

Normalizando la funci´on anterior de acuerdo a la ecuaci´on 1.8, nos lleva a Z ∞ Z a |a0 |2 ∞ −2r/a 2 2 2 e r dr = |a0 |2 = 1 |R10 | r dr = 2 4 a 0 0 8

√ √ entonces a0 = 2/ a; adem´as Y00 = 1/ 4π, entonces 1 ψ100 (r, θ, φ) = √ e−r/a πa3 ¿Pero qu´e sucede para estados excitados? Para un n arbitrario, los valores posibles de l son l = 0, 1, 2, ..., n − 1 Y para cada l, hay (2l + 1) posibles valores de m, entonces la degeneraci´ on total del nivel de energ´ıa En es n−1

X (2l + 1) = n2 l=0

El polinomio v(ρ), definido por la f´ormula de recurrencia 2.1, se puede escribir como v(ρ) = L2l+1 n−l−1 (2ρ) donde p Lq−p (x)

p

≡ (−1)



d dx

p

Lq (x)

es un polinomio asociado de Laguerre, y Lq (x) ≡ ex



d dx

q

 −x q  e x

es el q − esimo polinomio de Laguerre. Finalmente tenemos que las funciones espaciales normalizadas del ´atomo de hidr´ogeno son s      3 2 2r (n − l − 1)! −r/na 2r l 2l+1 ψnlm = L e Y lm (θ, φ) n−l−1 na 2n [(n + l)!]3 na na Que son ortogonales entre s´ı:

2.2.

Z

(2.11)

∗ ψnlm ψn′ l′ m′ r2 sen θdrdθdφ = δnn′ δll′ δmm′

Problema de dos cuerpos

Hasta este momento hemos estudiado el a´tomo de hidr´ogeno pensando que el prot´on est´a inm´ovil en el origen, lo cual es falso, ya que el n´ ucleo tambi´en se mueve. Tomando en cuanta lo anterior, tenemos lo que se conoce como un problema de dos cuerpos. Sabemos que para una sola part´ıcula, la funci´on de onda Ψ(r, t) es una funci´on de las coordenadas espaciales y del tiempo. La funci´on de onda para un problema de dos cuerpos es una funci´on de las coordenadas de la part´ıcula uno, r1 ; de las coordenadas de la pat´ıcula dos, r2 y del tiempo: Ψ(r1 , r2 , t) La evoluci´on temporal esta determinada por la ecuaci´on de Schr¨odinger: i~

∂Ψ = HΨ ∂t 9

donde H es el Hamiltoniano de todo el sistema: H =−

~2 2 ~2 2 ∇1 − ∇ + V (r1 , r2 , t) 2m1 2m2 2

donde el sub´ındice en el operador nabla nos dice con respecto a que coordenadas se deriva. La interpretaci´on estad´ıstica es la misma que tenemos para cualquier otro problema: |Ψ (r1 , r2 , t) |2 d 3 r1 d 3 r2 es la probabilidad de encontrar a la part´ıcula uno en el volumen d 3 r1 y la part´ıcula dos en el volumen d 3 r2 , de nuevo esperamos que Ψ este normalizada Z |Ψ (r1 , r2 , t) |2 d 3 r1 d 3 r2 = 1 Una vez m´as para potenciales independientes del tiempo, obtenemos un conjunto completo de soluciones por separaci´on de variables: Ψ(r1 , r2 , t) = ψ(r1 , r2 )e−iEt/~ , donde la funci´on de onda espacial satisface la ecuaci´on de Schr¨odinger independiente del tiempo: −

~2 2 ~2 ∇1 ψ − ∇2 ψ + V ψ = Eψ 2m1 2m2 2

(2.12)

y E es la energ´ıa total del sistema. Si V adem´as de ser independiente del tiempo s´olo depende del vector r = r1 − r2 , que separa las dos part´ıculas, la ecuacion de Schr¨ odinger puede separarse para reducir el problema de dos cuerpos a un problema de un cuerpo equivalente. Para hacer esto cambiaremos las variables originales r1 y r2 por r y por R ≡ (m1 r1 + m2 r2 ) / (m1 + m2 ), conocido como el centro de masa. Lo primero que haremos ser´a poner lo operadores diferenciales de la ecuaci´on 2.12 en t´erminos de las nuevas variables r y R. Sea r = (x, y, z ) y R = (X, Y, Z), entonces       ∂X ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Z ∂ ∂Y ∂ ∂z ∂ ∂y ∂ ∂x ∂ k= ∇1 = i+ j+ + + + k j+ i+ ∂Z1 ∂z ∂y1 ∂y ∂x1 ∂x ∂z1 ∂Z ∂y1 ∂Y ∂x1 ∂X ∂x1 ∂y1 ∂z1          m1 ∂ ∂ m1 ∂ m1 ∂ ∂ ∂ = + + + i+ j+ k m1 + m2 ∂X ∂x m1 + m2 ∂Y ∂y m1 + m2 ∂Z ∂z Sea

µ=

m1 m2 m1 + m2

la masa reducida del sistema. Entonces tenemos que          ∂ ∂ m1 ∂ m1 ∂ ∂ ∂ m1 + + + i+ j+ k ∇1 = m1 + m2 ∂X ∂x m1 + m2 ∂Y ∂y m1 + m2 ∂Z ∂z       µ ∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ + + + i+ j+ k m2 ∂X ∂x m2 ∂Y m2 ∂Z ∂z ∂y Por lo tanto ∇1 =

µ ∇R + ∇r m2

∇2 =

µ ∇R − ∇r m1

De manera similar se puede mostrar que

10

Calculemos ahora los Laplaciones de la ecuaci´on 2.12 en t´erminos de los nuevos operadores diferenciales, tenemos       µ µ µ µ ∇12ψ = ∇1 · (∇1 ψ) = ∇1 · ∇R ψ + ∇r ψ ∇R ψ + ∇r ψ = ∇R ψ + ∇r ψ + ∇r · ∇R · m2 m2 m2 m2  2 µ µ = ∇R2 ψ + 2 (∇r · ∇R...