Aufgabenblatt 01 1 - Hausaufgaben PDF

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Institut f¨ur Kristallographie J¨ agerstraße 17-19, D-52056 Aachen +49 241 80 96900 www.xtal.rwth-aachen.de

¨ GRUNDZUGE DER KRISTALLOGRAPHIE ¨ 1. Ubung: Translationen und Gitter, 1. Teil Aufgabe 1: ¨ Gegeben sind die Ubungsbl¨ atter A bis D mit zweidimensionalen periodischen Mustern aus einfachen Motiven. F¨ uhren Sie f¨ ur jedes Muster die folgenden Teilaufgaben durch (vgl. Beispiel auf der folgenden Seite): a) Markieren Sie Gitterpunkte des zugeh¨origen Gitters. Bemerkung: Gitterpunkte werden an identische, m¨oglichst markante Stellen des Musters gelegt. Zwei Gitter, die auf verschiedenen Gitterpunkten basieren, sind gegeneinander verschoben.

b) Zeichnen Sie einige Translationsvektoren (auch Gittervektoren genannt) t~1 , ~t2 , . . . , ~tn ein. c) Zeichnen Sie unterschiedliche Elementarmaschen ein. Kennzeichnen Sie jeweils den Ursprung mit O , die Basisvektoren mit ~a und ~b sowie den von ihnen eingeschlossenen Winkel mit γ . Bemerkung: Eine Elementarmasche ist ein Parallelogramm, das aufgespannt wird durch zwei Basisvektoren ~ a ahlt, dass γ stumpf ist. Der Ursprung und ~b. Die beiden Basisvektoren werden so gew¨

O der Elementarmasche liegt in Zeichnungen so, dass ~ a nach unten und ~b nach rechts zeigt. Die Betr¨age a und b der Basisvektoren ~a b sowie der von ihnen eingeschlossene, stumpfe Winkel γ heißen Gitterkonstanten oder Gitterparameter. und ~ d) Welche Elementarmasche ist die g¨ unstigste? Bemerkung: Man w¨ahlt in der Regel eine kleinste Masche mit m¨oglichst kurzen und, falls m¨oglich, zueinander senkrechten Basisvektoren. In diesem Fall befinden sich Gitterpunkte nur an den Ecken der Elementarmasche, d. h. genau ein Gitterpunkt pro Elementarmasche. Dies wird primitives Gitter genannt und mit dem Symbol

p beschrieben. In speziellen F¨allen l¨asst man eine doppelt so große, nicht primitive Masche zu, wenn sie orthogonale Basisvektoren ~ a und ~b aufweist. In diesem Fall befindet sich ein zweiter Gitterpunkt im Zentrum der Elementarmasche (zentrierte Elementarmasche, Symbol c). ¨ e) Uberzeugen Sie sich am Muster D, dass der Fl¨ acheninhalt aller primitiven Elementarmaschen derselbe ist und dass zentrierte Maschen doppelt so groß sind wie primitive. Zeigen Sie dar¨uber hinaus, dass primitive Elementarmaschen einen Gitterpunkt enthalten, zentrierte hingegen zwei Gitterpunkte.

Beispiel

Muster A

Muster B

Muster C

Muster D...