BAB 1 TUGAS FISIKA MATEMATIKA II PDF

Preview

Summary

UKRIS SARAGIH 120801083 BAB 1 INTEGRAL LIPAT DAN TRANSFORMASI KOORDINAT Dalam fisika kita sering menghitung berbagai besaran fisika total, sebagai contoh massa total benda dengan rapat massanya diketahui pusat massa, momen lembam (inersia), medan listrik yang ditimbulkan suatu distribusi muatan, dan...

Description

UKRIS SARAGIH 120801083

BAB 1 INTEGRAL LIPAT DAN TRANSFORMASI KOORDINAT Dalam fisika kita sering menghitung berbagai besaran fisika total, sebagai contoh massa total benda dengan rapat massanya diketahui pusat massa, momen lembam (inersia), medan listrik yang ditimbulkan suatu distribusi muatan, dan lainnya. Dalam hal bendanya berdimensi 2 atau tiga, hitungan kita umumnya melibatkan integral lipat. Pada bab ini akan disajikan defenisi integral lipat serta beberapa teorema, contohnya perhitungan dan penerapannya dalam fisika. Perhitungan integrasi suatu integral lipat

dapat

dilakukan dengan merumuskan ulang sebagai suatu integral berulang atau bertahap. Sebagai contoh untuk menghitung massa pelat datar (berdimensi 2), integral lipatnya disebut integral lipat dua. Dirumuskan sebagai integral dua-tahap di mana kita melakukan dua kali integrasi. Dalam bab ini kita akan membahas mengenai integral lipat dua dan integral lipat tiga serta transformasi koordinat pada variabel integrasi guna memudahkan perhitungan integral lipat yang memperkenalkan faktor determinan Jaccobi. Khususnya akan dibahas transformasi koordinat silinder, koordinat kartesis ke polar untuk dua dimensi ke koordinat silinder serta bola untuk persoalan tiga dimensi. 1.1 DEFENISI INTEGRAL LIPAT DUA Contoh: Persoalan fisika menghitung massa total m suatu pelat datar berhingga ( berdimensi dua ) dengan distribusi massa tak seragam ρ misalkan geometrinya berupa suaatu daerah terbatas

dalam

bidang kartesis xy dalam rapat massa atau massa persatuan luas pada setiap titik x, y adalah ρ = f (x,

Y

yi +∆yi

δi

yi

xi Xi +∆xi

X

y) GAMBAR 1.1 Daerah

pada bidang xy dengan elemen daerah kecil σ1

Kita akan menghitung dahulu nilai bagi massa totalnya. Untuk itu daerah pelat B kita bagi dalam

buah elemen daearh kecil

dalam daerah

dan memiliki sebuah titik wakil

di

(i = 1, 2, 3 . . . n), maka massa setiap elemen daerah σi adalah : 1

UKRIS SARAGIH 120801083 (1.1) Dengan

adalah luas elemen daerah

Jika elemen daerah

∑

∑

(1.2)

dibuat sekecil mungkin sehingga

jumlah elemen daerah n maka

, maka massa total pelat D adalah :

. Jika kita memilih

, maka dapat meningkatkan

berbentuk petak dengan sisi

dan

,

dan dalam keadaan limit sebagai berikut : ∑

∑

( 1.3 )

Limit pada ruas kanan dilambangkan oleh : ∫ ∫

( 1.4)

Disebut dengan integral lipat dua dari fungsi

terhadap daerah D.

Tiga sifat integral lipat dua dapat dibuktikan dengan defenisi limit : 1. Jika f =

dan

dua fungsi terdefenisikan pada daerah D maka: ( 1.5)

2. Jika c sebuah tetapan, maka: ( 1.6) 3. Jika

merupakan gabungan daerah

1

dan

2

atau

=

1

2 ,

dengan

1 ∩

2

= ,

sebuah kurva batas, maka: ( 1.7)

1.2

INTEGRAL BERULANG DUA Untuk menghitung integral lipat dua kita dapat menggunakan prosedur integral lipat ke

integral berulang. Pertama akan kita batasi pada daerah normal yang didefenisikan sebagai berikut: Defenisi 1.2 Suatu daerah D disebut normal terhadap: a) Sumbu x, jika garis tegak lurus sumbu -x hanya memotong dua kurva batas D yang fungsi koordinatnya y = y1(x) dan y = y2(x) tak berubah bentuk. b) Sumbu y, jika setiap garis tegak lurus sumbu -y hanya memotong dua kurva batas

yang

fungsi koordinatnya x = x1(y) dan x = x2(y). Untuk memperoleh gambarnya, perhatikan daerah D1 dan D2 pada gambar 1.2. Daerah

1

normal

terhadap sumbu x dan D2 normal terhadap sumbu y.

2

UKRIS SARAGIH 120801083 Y X= x1(y)

Y

X = x2(y)

d

yi

Y = y2(x)

D2

D1

c Y = y1(x)

o

o

a

xi

b

X

X

(a) GAMBAR 1.2 a) Daerah

(b) 1 normal

terhadap sumbu , (b) Daerah

2 normal

terhadap

sumbu . Suatu daerah D dapat menjadi tidak normal terhadap sumbu

maupun pada sumbu

.

Dalam hal ini daerah D dibagi menjadi beberapa subdaerah normal. Sebagai contoh, pada gambar 1.3 derah D tak normal terhadap terhadap sumbu

maupun terhadap

namun subdaerah D 1 , D 2, dan D3 normal

dan sumbu Y

D1

D2

D3

Y=y2(x) Y =y1(x)

X = x1 (y)

X = x2 (y)

O

X

GAMBAR 1.3 Daerah D tak normal terhadap sumbu

dan sumbu . Subdaerah D 1 , D 2, dan D 3

normal terhadap sumbu Sekarang tinjaulah pelat D yang normal terhadap sumbu tepi bawah dibatasi oleh kurva

=

1(

) dan tepi atas oleh

kanannya masing-masing oleh garis tegak

= a dan

seperti pada gambar 1.2a dengan =

2(

), sedangkan tepi kiri dan

= b (b > a, bilangan tetap), secara

ringkasnya:

Jika rapat pelat D adalah f( , ), maka integral lipat dua: ∬

Yang menyatakan massa totalnya dihitung secara bertahap melalui defenisi limit sebagai berikut: a) Ambil titik (

1 , 0)

b) Tarik garis

=

1

pada sumbu

dengan a

1

b

kemudian tinjau sebuah lempeng tegak dengan sumbu

=

1,

tebal ∆ x1,

dalam daerah D yang disebut lempeng ke-i c) Hitung massa tiap petak (i, j) pada koordinat ( , ) dalam lempeng ke-i yaitu: 3

∆mi j = f( 1,

1)

∆

UKRIS SARAGIH 120801083

1, ∆

1

d) Hitung massa total lempeng ke-i sebagai jumlah massa seluruh lempeng dalam D yaitu: ∑

∑

f( 1,

1)

1

(∆ y1

1

0)

e) Massa total pelat adalah limit jumlah massa seluruh lempeng dalam D yaitu:

ngan∆

1

∑

dan ∆

0

1

∑

∑

f( 1,

1)

1

(1.8)

1

f) Limit jumlah berulang diruas kanan mendefenisikan integral berulang ∫

Jika

∫

(1.9)

normal terhadap sumbu

, integral lipat duanya dihitung sebagai limit jumlah semua

lempeng datar penyusun daerah

. Jika daerah

bilangan tetap), maka integral lipat ∫

dalam bentuk integral berulang dua adalah:

∫

(1.10)

Cara menghitung integral berulang persamaaan (1.9) dan (1.10): 1. Hitung integral tak tentu dalam kurung terhadap

dengan memperlakukan

sebagai tetapan.

Hasilnya adalah suatu fungsi primitip dalam : ∫

2. Sisipkan batas atas dan batas bawahnya, maka akan kita peroleh: ∫

(

)

(

)

3. Integrasi fungsi (x) pada langka (2), dari =a s/d b, maka hasil akhirnya: ∫

Langka perhitungan yang sama dengan menggantikan

dan

juga berlaku untuk integral berulang

pada persamaan (1.10)

Contoh 1.1 Hitunglah integral lipat 2 berikut: ∫

∫

Penyelesaian: 4

UKRIS SARAGIH 120801083 ∫

∫

∫ ∫

∫

(

)

Contoh 1.2 Hitunglah integral lipat 2 pada contoh (1.1) dengan mengintegrasikan dahulu terhadap variable , kemudian terhadap . Pertama gambarkan dulu daerah integrasi integrasinya akan diketahui bahwa terletak antara garis

= 0 dan

xy

xy

integrasi lipat 2 pada contoh (8.1). Dari batas

adalah daerah antara sumbu

dan parabola

=

2

yang

= 1 seperti pada gambar dibawah ini.

Y Y = x2

o

X

Gambar 1.4 Daerah integrasi 1) Selidiki apakah daerah

contoh (8.1) xy

normal terhadap sumbu .

Karena garis normal terhadap sumbu 1 di kanan untuk seluruh daerah 2) Jika daerah

xy

hanya memotong kurva di atas

xy, maka

normal terhadap sumbu .

√ di kiri dan

normal terhadap sumbu , lanjutkan ke langkah 3. Jika tidak maka bagi

atas sejumlah minimal daerah normal terhadap sumbu

=

xy

dan selanjutnya lanjutkan ke langkah

3. 3) Tarik garis sejajar sumbu , kurva potong pada ruas kiri adalah batas bawah, sedangkan pada ruas kanan adalah batas atas.

5

Karena garis normal sumbu bawahnya adalah

1

=√

UKRIS SARAGIH 120801083 2 memotong batas ruas kiri pada parabola = maka batas 2

dan batas atasnya adalah

= 1.

Maka integral berulangnya dapat kita hitung yaitu ∫

∫

√

∫

√

∫

INTEGRAL LIPAT DUA SEBAGAI VOLUME jika Z = f( , ) adalah sebuah persamaan permukaan pada integral lipat 2: dan Adalah volume ruang tegak antara daerah

(1.11)

pada bidang y dengan permukaan Z = f( , ) seperti

pada gambar 1.5 dibawah ini: Z S

F (x,y ) O Y Dxy X

GAMBAR 1.5 Volume ruang Antara permukaan Z = f( , ) dan bidang

xy.

Contoh : ∬

∬

Menyatakan volume bagian ruang tegak antara daerah

pada bidang z, dengan permukaan

= f ( , ). 6

UKRIS SARAGIH 120801083 Catatan: Karena volume geometris bernilai positif, maka jika suatu bagian ruang memiliki nilai-nilai integral volume negatife harus diubah dahulu menjadi positif, yaitu dengan mengambil nilai mutlaknya. Jadi, jika 1

;z

=

1

2, dengan

1 dan

2 adalah

subdaerah normal

dan dalam

0, maka : dan

1

2

Volume geometrisnya: ∬

Contoh 1.3

∬

Hitunglah volume bagian ruang silinder parabolic

dalam kuadran pertama yang alasnya

dibatasi bidang y dan penutupnya atas dibatasi oleh bidang Penyelesaian: 1. Gambarkan dahulu silinder parabolic

dan bidang datar

. Kurva

perpotongan masing-masing permukaan dengan bidng y adalah parabola dan garis lurus

(silinder)

, sketsa yang ditanyakan adalah seperti yang diperlihatkan

pada gambar 1.6a. 2. Cirikan permukaan S dan rumuskan persamaan eksplisitnya

= f( y).

Dimana permukaan S adalah permukaan atas bagian ruang yang ditanyakan. Dalam hal ini dapat kita lihat S adalah bagian bidang datar

jadi persamaan eksplisitnya

terhadap bidang ( y). Z

Y Y = ½ X^2

O

2X + 4Y = 4

Y

O X

(a)

X Y = ½ X^2

(b)

GAMBAR 1.6 (a) Volume bagian ruang contoh 1.3 (b) Daerah integrasi 7

UKRIS SARAGIH 120801083 Gambar 1.6 a dan normal terhadap sumbu , gambar 1.6b 3. Tentukan daerah integrasi

xy pada

bidang y.

Berdasarkan sketsa bagian ruang pada gambar 1.6 daerah dibatasi oleh sumbu

xy

pada bidang y ( =0) yang

dan garis lurus L :

positip, parabola C :

Sketsa dimensi duanya diperlihatkan pada gambar 1.6 b garis lurus L memotong parabola C dititik P (1,1/2 ) dan sumbu

di Q ( 0,1)

4. Rumuskan integral berulang dan hitung hasilnya. Karena

xy maka

kita integrasikan dahulu terhadap variabel. Tarik garis tegak lurus sumbu ,

maka dari perpotongan kedua kurva batas dapat kita lihat bahwa batas bawah integrasi terhadap dan batas atasnya garis y = -½ x +1. Karena semua daerah terletak pada garis

adalah

= 0 dan 1, maka kedua nilai ini adalah berturut-turut menjadi batas atas dan batas bawah terhadap variable Jadi volume integral dapat dihitung: ∫

∬ Contoh 1.4

– 2 y = 0 yang diiris permukaan oleh permukaan

Hitunglah volume bagian silinder silinder parabolic Penyelesaian:

Karena sketsa gambar ruangnya V bertumpang tindih, maka untuk kejelasan harus kita gambarkan proyeksinya pada bidang z seperti tampak pada gambar 1.7a. Permukaan atas dibatasi oleh helai z =

√

, dan sisi tegaknya oleh silinder

– 2 y = 0 atau

yang

sumbunya melewati titik (0, , 0) dan berjari-jari . y z

a O

a

za

Dxy

x

y

(b) (a)

GAMBAR 1.7 (a) Proyeksi volume bagian ruang contoh 1.4 pada bidang yz. (b) Daerah integrasi 8

UKRIS SARAGIH 120801083 Karena relatife terhadap bidang y (z = 0), bagian ruang atas dan bawah simetris, maka volume V adalah dua kali volume bagian ruang atas. S adalah permukaan batas atas bagian ruang V, yaitu permukaan silinder: yaitu bidang lingkaran

√

. Sedangkan alas

xy

adalah irisan silinder dengan bidang

= 0,

(yang diperlihatkan pada gambar 1.7b). Jadi, volume

bagian ruang yang dihitung adalah

Daerah integrasi

xy

∬

∬ √

normal terhadap sumbu

dan sumbu . Karena integrasi terhadap variable

dahulu memberikan fungsi g( ) yang rumit, kita integrasikan dahulu terhadap variabel . Batas bawahnya separuh lingkaran: 1

= -√

dan atas

2

=√

, terhadap variable

batas bawah dan batas atasnya

berturut-turut adalah 0 dan 2a. Maka: √

√

∫ √ ∫

√

∫

√

√

1.3 TRANSFORMASI VARIABEL INTEGRAL Rumus integral lipat dua: (1.13) Untuk mempermudah mengerjakan integral lipat dua dapat mengubah variabel integrasi x dan y atau bisa dilakukan dengan metode subsitusi pada integral tunggal. Rumus integral tunggal dapat dituliskan: ∫

Penggunaan variabel baru u melalui subsitusi: (1.15a) Ada tiga hal pengalihan integral tunggal pada persamaan 1.14: a) Pengalihan selang (daerah) integrasi Selang integrasi dalam

terpetakan ke selang integrasi baru dalam

b) Pengalihan elemen diferensial dx, menjadi: (1.15b)

9

UKRIS SARAGIH 120801083 dengan faktor skala atau Jacobi c) Pengalihan fungsi integral

menjadi: (

)

(1.15c)

Jadi, perubahan variabel integral (1.15a) mengalihkan integral (1.14) terhadap variabel x ke integral terhadap variabel baru u: ∫

Elemen diferensial

(1.16)

adalah elemen luas daerah

adalah besar vektor luas

dalam bidang xy sehingga luas

yaitu: (1.17)

dengan

̂

̂

dan x operator hasil kali silang. Dalam pernyataan vektor integral lipat

persamaan (1.13) berbentuk: |

|

(1.18)

Dapat dilakukan perubahan variabel atau transformasi koordinat dari sistem

ke sistem

menurut persamaan transformasi: (1.19) Maka setiap elemen diferensial vektor bertransformasi menjadi:

(1.20)

dengan

̂

pertambahan positif Elemen luas

dan

̂

̂

pada sistem koordinat

dalam koordinat

=

|

̂ masing-masing adalah vektor satuan dalam arah

menjadi: |

|(

atau

|

|

)

|

(1.21) dengan (1.22) adalah Faktor Jacobi yang bersangkutan. 10

UKRIS SARAGIH 120801083 Transformasi koordinat pada persamaan (1.19) terdapat transformasi invers, yaitu (1.23) dengan Faktor Jacobian bersangkutan adalah (1.24) Karena elemen luas

tak berubah, maka: )|

(

Jika:

|

(

) (1.25)

Perubahan variabel integrasi yang lazim digunakan adalah transformasi koordinat kartesian ke polar

, melalui persamaan transformasi: (1.26a)

dengan transformasi invers: √

(1.26b)

Faktor Jacobi yang bersangkutan adalah: (1.27a) [

⁄

⁄

Sesuai dengan hubungan pada persamaan (1.25). Pada nilai

]

(1.27b)

faktor Jakobi

Titik

ini

disebut dengan Titik Singuler Koordinat Polar

Contoh 1.5 Gunakan koordinat polar

dengan

untuk menghitung integral lipat dua berikut: ∬

adalah daerah pada kuadran I dalam bidang

yang dibatasi oleh sumbu

sumbu

dan lingkaran Penyelesaian:

dimana:

maka koordinat polar (

)

maka dapat diperoleh persamaannya:

11

UKRIS SARAGIH 120801083 Gambar Daerah Integrasi

.

θ

y

C’4

C’2

2 ԑ

π/2

Dxy

C’3 Drθ

ԑ

2

x

ԑ C’1 2 (b)

(a) GAMBAR 1.8 (a) Daerah Integrasi Secara sekilas

r

soal 1.4 (b) Petanya

dibatasi oleh tiga kurva, yaitu

yang diperlihatkan pada gambar 1.8a. karena faktor jacobi,

bernilai nol di titik

untuk menghindari kesinguleran ini dapat dibentuk kurva batas ke-4,

maka

berupa lingkaran:

dan pada akhirnya mengambil limit Gambar peta daerah integrasi Untuk menggambarkan peta daerah

pada bidang

dapat dipetakan masing-masing kurva

batas, lalu daerah batas yang diperoleh dipetakan ke kurva: √

Pada bidang

adalah parameter kurva

⁄

Jadi

adalah selang terbuka

pada

sumbu . dipetakan ke kurva: √

√

adalah parameter kurva

pada bidang

adalah penggal garis sejajar sumbu

⁄

⁄√

Karena

yang memotong sumbu

, maka

Jadi

di

Koordinat polar untuk integral lipat dua menjadi:

12

UKRIS SARAGIH 120801083 ∬

∫

∫

⁄

Contoh 1.6 Pada integral: ∫

∫

Dilakukan pemisalan untuk merubah variabel:

Kemudian hitunglah integralnya dalam variabel

dan .

Penyelesaian: Mengikuti langkah penyelesaian pada contoh 1.5, kita hitung terlebih dahulu adalah Faktor Jacobinya: (

)

Daerah integrasinya dalam bidang

)

Jadi, integralnya akan menjadi: (