BAB 2 - Statistic mathematics PDF

Preview

Summary

BAB 2 1. Biarkan j) mewakili hasil yang bebas yang dihasilkan dari dua perputaran dadu empat sisi dari Contoh 2. Tabulasi pdf diskrit dan sketsa grafik CDF untuk mengikuti variabel acak: (a) Y ( j . (b) j (c) W ( Penyelesaian: Perhatikan j) Hasil yang dapat dicapai dengan bebas akibat dari dua perpu...

Description

LATIHAN-LATIHAN BAB 2 1. Biarkan e=( i, j )

mewakili hasil yang bebas yang dihasilkan dari dua perputaran dadu

empat sisi dari Contoh 2.11. Tabulasi pdf diskrit dan sketsa grafik CDF untuk mengikuti variabel acak: (a)

Y (e )=i+ j .

(b)

Z (e)=i− j

(c)

i− j ¿ W (e)=¿

2

Penyelesaian: Perhatikan e=( i, j ) Hasil yang dapat dicapai dengan bebas akibat dari dua perputaran yang berisi empat nomor kombinasinya sebagai berikut:

{

( 1,1) ( 1,2 )(1,3 ) ( 1,4 ) e( i , j )= ( 2,1) ( 2,2 )(2,3 )( 2,4 ) ( 3,1) ( 3,2 )(3,3 )( 3,4 ) (4,1 )( 4,2 )( 4,3 )( 4,4 )

}

Maka, kemungkinan memilih kombinasi apapun adalah a).

1 16

Y (e )=i+ j Tabulasi diskrit pdf nya adalah (i,j) Y (e) P(Y(e) )

(i,j) Y (e) P(Y(e) )

(1,1 ) 2

(1,2 ) 3

(1,3 ) 4

(1,4 ) 5

(2,1 ) 3

(2,2 ) 4

(2,3 ) 5

(2,4 ) 6

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

(3,1 ) 4

(3,2 ) 5

(3,3 ) 6

(3,4 ) 7

(4,1 ) 5

(4,2 ) 6

(4,3 ) 7

(4,4 ) 8

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

Oleh karena itu, pdf yang ditabulasi diberikan oleh, y 2 f y ( y 1/16

3 1/8

4 3/16

5 1/4

6 3/16

7 1/8

8 1/16

Sekarang CDF diberikan oleh, y

2

f y ( y 1/16

3

4

3/16

6/16

5 10/1 6

6 13/1 6

7 15/1 6

8 1

Adapun grafik CDF nya sebagai berikut

b).

Z (e)=i – j Tabulasi diskrit pdfnya adalah (i,j) Z (e) P(Z(e) )

(i,j) Z (e) P(Z(e) )

(1,1 ) 0

(1,2 ) -1

(1,3 ) -2

(1,4 ) -3

(2,1 ) 1

(2,2 ) 0

(2,3 ) -1

(2,4 ) -2

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

(3,1 ) 2

(3,2 ) 1

(3,3 ) 0

(3,4 ) -1

(4,1 ) 3

(4,2 ) 2

(4,3 ) 1

(4,4 ) 0

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

Oleh karena itu, PDF yang ditabulasi diberikan oleh z -3 f z (z ) 1/16

-2 2/16

-1 3/16

0 4/16

1 3/16

2 2/16

3 1/16

0 10/1 6

1 13/1 6

2 15/1 6

3

Sekarang CDF diberikan oleh, z

-3

f z (z ) 1/16

-2

-1

3/16

6/16

1

Adapun grafik CDF nya sebagai berikut

c).

i – j¿ 2 W (e)=¿ Tabulasi pdfnya adalah sebagai berikut (i,j) w (e) P(Z(e) )

(i,j) w (e) P(w(e) )

(1,1 ) 0

(1,2 ) 1

(1,3 ) 4

(1,4 ) 9

(2,1 ) 1

(2,2 ) 0

(2,3 ) 1

(2,4 ) 4

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

(3,1 ) 4

(3,2 ) 1

(3,3 ) 0

(3,4 ) 1

(4,1 ) 9

(4,2 ) 4

(4,3 ) 1

(4,4 ) 0

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

1/16

Oleh karena itu, PDF yang ditabulasi diberikan oleh w 0 f w (w) 4/16

1 6/16

4 4/16

9 2/16

Sekarang CDF diberikan oleh w

0

f w (w) 4/16

1 10/1 6

4 14/1 6

9 1

Adapun grafik CDF nya sebagai berikut

2. Sebuah permainan terdiri dari menggulirkan dadu enam sisi biasa satu kali dan kemudian melemparkan sebuah koin tidak bias sekali. Skor, yang terdiri dari menambahkan jumlah tempat yang ditampilkan dadu ke jumlah kepala yang ditunjukkan pada koin (0 atau 1), adalah variabel acak, misalnya X. Daftar nilai yang mungkin dari X dan tabulasikan nilai dari: (a) pdf diskrit. (b) CDF pada titik diskontinuitas. (c) Buat sketsa grafik CDF. (d) Temukan P[ X >3] . (e) Tentukan probabilitas bahwa skornya adalah bilangan bulat ganjil. Penyelesaian: (a) dan (b) Ruang Sampel = 2 x 6 = 12 1 f x( 1 ) = (1,0) 12 f x( 2 ) =

2 1 = (1,1 ) (2,0) 12 6

Dan seterusnya

F X (1 )=P ( x ≤1 )=

1 12

F X (2 )=P ( x ≤ 2 )=

2 1 1 + = 12 6 4

Dan seterusnya x

1

F X (x

1 12 1 12

F X (x

2 1 6 1 4

3 1 6 1 12

4 1 6 1 12

5 1 6 1 4

6 1 6 1 12

7 1 12 1

(c).

(d). P ( x >3 ) =P (x =4 ) + P ( x=5 ) +P ( x=6 ) + P (x=7 ) 7 1 1 1 1 ¿ + + + = 6 6 6 12 12 Atau = 1−P ( x ≤ 3) =1−F x ( 3 )=1−

5 7 = 12 12

(e). P ( x =integer ganjil )= P ( x=1) + P (x =3 )+ + P ( x =5 ) + P( x =7 ) ¿

1 1 1 1 1 + + + = 12 6 6 12 2

3. Kantung berisi tiga koin, satu di antaranya memiliki kepala atau kedua sisi sementara dua lainnya koin normal. Koin dipilih secara acak dari tas dan dilempar tiga kali. Itu jumlah kepala adalah variabel acak, katakanlah X.

(a) Temukan pdf diskrit X. (Petunjuk: Gunakan Hukum Probabilitas Total dengan a koin normal dan

B 2 = koin berkepala dua.)

(b) Sketsa pdf diskrit dan CDF X. Penyelesaian:

(a) Misal: H = Bagian muka T = Bagian belakang X = Kejadian munculnya bagian muka dalam 3 lemparan S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THH, THT, TTT}

2 1 1 F (0) ¿ . = 3 8 12

2 3 1 f (1) ¿ . = 3 8 4

2 3 1 F (2) ¿ . = 3 8 4

2 1 1 5 f (3) ¿ . + . 1= 12 3 8 8

X F(x )

0 1/1 2

1 1/ 4

2 ¼

3 5/1 2

(b) Sketsa pdf diskrit dan CDF X.

B1 =

4. Sebuah kotak berisi lima bola berwarna, dua hitam dan tiga putih, Bola ditarik berturutturut tanpa penggantian. Jika X adalah jumlah pengundian hingga bola hitam terakhir diperoleh, temukan, pdf diskrit

f (x) .

Penyelesaian: X menyatakan terambilnya bola hitam sampai habis Keterangan B = Bola Hitam W = Bola Putih 

Untuk x = 2 → S = {B, BB} 2 1 1 F (2) ¿ . = 5 3 10



Untuk x = 3 → S = {BWB, WBB} 2 3 1 3 2 1 2 F(3) ¿ . . + . . = 5 4 3 5 4 3 10



Untuk x = 4 → S = {BWWB, WWBB, WBWB} 2 3 2 3 2 2 1 3 2 2 1 3 F(4) ¿ . . + . . . + . . . = 5 4 3 5 4 3 2 5 4 3 2 10



Untuk x = 5 → S = {BWWWB, WWWBB, WBWWB, WWBWB} 4 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 2 3 2 1 F(5) ¿ . . . .1+ . . . .1+ . . . .1+ . . . .1= 10 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2

Sehingga dapat ditulis F(x) =

x−1 ; x=2,3, 4, 10

5 5. Variabel acak diskrit memiliki pdff (x). (a) Jika (x)=k (1/2) X untuk z 1, 2, 3, dan nol jika tidak, temukan k. (b) Apakah fungsi f (x)= k [(1/ 2)X −1 / 2 ] untuk x = 0, 1, 2 pdf untuk setiap k? Penyelesaian:

(a)

1/ 2¿ k¿

f (x)=¿ Syarat Pdf

2

x=¿ 1,2,3

∑ f ( x i )= 1 semua x i

f (1) + f (2) + f (3) = 1 3 1/2 ¿ =1 2 k (1/2 1/2¿ +k ¿ ¿1 +k ¿

k [1/2 + ¼ + 1/8] = 1 k 97/8) = 1 k = 8/7

(b)

¿ x=0, 1,2 f (x)=k ¿ ¿ f (x)=(8/7)¿

syarat pdf

∑ f ( x i )= 1 semua x i

maka,

¿ = (8/7) [(1/2 ¿0 −1/2 ¿ + (8/7) [(1/2 ¿1−1 /2 ¿+(8/7) ¿ = (8/7) [-1/2 + 0 – ¼] = (8/7) [-3/4] = -6/7

≠1

Maka f(x) = k [(1/2 ¿ x −1/2¿ bukanlah pdf untuk setiap k. 6. Ditunjukkan dengan [x] bilangan bulat terbesar tidak melebihi x. Untuk pdf dalam Contoh 6 .

2.2.1, perlihatkan bahwa CDF dapat dipresentasikan sebagai F(x) =([x]/12 ¿2 untuk 0 < x < 13, nol jika x ≤ 0 dan jika x≥ 13 . 7. Variabel acak diskrit X memiliki pdf dari

f (x)= c(8−x )

nol sebaliknya. (a) Temukan konstanta (b) Temukan CDF,

c .

F(x ) .

(c) Temukan P[ X >2] (d) Temukan E ( X ) . Penyelesaian: F(x )=c (8−x )

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

untuk x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan

∑ f ( x i )= 1

(a) syarat pdf

semua x i

c (8 – x) + c (8 – 2) + c (8 – 3) + c (8 – 4) + c (8 – 5) = 1 c [ 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3] = 1 c = 1/33 (b) X

0 8/3 f x (x) 3 8/3 F x(x) 3

(c)

1

2

3

4

7/33

6/33

5/33

4/33

15/3

21/3

26/3

30/3

3

3

3

3

5 3/3 3 1

P ( x >2) =1−P(x ≤2) ¿ 1−F x (2) ¿ 1−

21 =12 / 33 33

(d) X

0 1 2 3 4 5 8/3 7/3 6/3 5/3 4/3 3/3 f x (x) 3 3 3 3 3 3 E (X) = 8/33 + 7/33 + 6/33 + 5/33 + 4/33 + 3/33 E (x) =

∑ f ( x i )= 55/33 semua x i

8. Variabel acak bernilai negatif integer-bernilai X memiliki CDF dari formula F ( x )=1−

x+1

() 1 2

untuk x = 0, 1,2, ... dan nol ifx 0 0 , sebaliknya ∞

(c)

E ( X ) =∫ x . k . x −(k+1) dx 1

k 0 ¿k ¿

0−1 k [ ¿¿1−k ] 1−k ¿¿ 1−k

¿

−k 1 1−k

¿

−k 1−k

Karena f x ( x ) bernilai positif untuk 1< x0, maka: E( X)>0 −k 1−k

¿0

k >1 14. Tentukan apakah masing-masing fungsi berikut ini bisa menjadi CDF di atas bagian yang ditunjukkan dari domain: (a) F ( x )=e− x ; 0 ≤ x ≤ ∞ (b) F ( x )=e x ; −∞ < x ≤ 0 (e) F ( x )=1−e−x ;−1 ≤ x ≤ ∞ Penyelesaian: (a)

−x F ( x )=e I ( 0,1 …) (x )

f ( x )= ∞

∂ Fx=−e−x ∂x ∞

→∫ f ( x )∂ x=∫ −e

−x

0

0 ∞

¿−e x I 0

¿−1

F(x ) bukan CDF dengan I ( 0 ,… )(x )

(b)

F ( x )=e x I ( …2,1,0 ) (x ) f ( x )=

∂ Fx=e x ∂x

0

0

−∞

−∞

→ ∫ f ( x ) ∂ x=∫ e x x

¿ e I 0−∞

¿−1 I ( …2,1,0 )(x )

F(x ) adalah CDF dengan

(c)

F ( x )=1−e−x I (−1,0,1…) (x) f ( x )=

∂ Fx= e−x ∂x

∞

∞

−1

−1

−x → ∫ f ( x ) ∂ x=∫ e dx −x ∞

¿−e I 0

¿e F(x ) bukan CDF dengan

I( …2,1,0 )(x )

15. Temukan pdf yang sesuai dengan masing-masing CDF berikut:

(

)

x 2 +2 x +1 ;−1≤ x ≤ 3 . 16

(a)

F ( x )=

(b)

F ( x )=1−e−λx− λx e− λx ; 0 ≤ x< ∞ ; λ >0

Penyelesaian: (a)

F ( x )= f ( x )=

x2 +2 x+1 I (−1,0,1,2,3) (x ) 16

2 x +2 x+1 ∂ F ( x )= = 8 ∂x 16

−1,0,1,2,3 x+ 1 f ( x )= I ¿ ¿ ( x) 8 (b)

F ( x )=1−e−λx− λx e− λx C f ( x )= −λx

¿ λe

∂ −λx − λx −λx F ( x )=λx e − λ(e + x ( −λ )e ) ∂x −λx

− λe

2 −λx

+x λ e

−1,0,1,2,3 f ( x )=x λ2 e−λx I ¿ ¿ ( x) n

16. Jika f1 (x), i = 1, 2 ..... n, adalah pdf, tunjukkan

∑ pi f i (x ) i=1

n

pi=1 ∑ i=1

pi ≥ 0 dan

.

17. Variabel acak X memiliki CDF sedemikian rupa sehingga ¿ x 1 3 ,0...