Statistik terurut - mathematics statistic PDF

Preview

Summary

Warning: Unknown/unsupported post table version 3 Dept Statistika IPB, 2012Sebaran Statistik Tataan (Order Statistic)MisalkanX 1 , X 2 , ..., Xn dinotasikan sebagai contoh acak dari suatu sebaran kontinu yang mempunyai fungsi kepekatan peluangfX(x) untuka<x<b. MisalkanY 1 adalah yang t...

Description

Dr. Kusman Sadik Dept Statistika IPB, 2012

Sebaran Statistik Tataan (Order Statistic) Misalkan X1, X2, ..., Xn dinotasikan sebagai contoh acak dari suatu sebaran kontinu yang mempunyai fungsi kepekatan peluang fX(x) untuk a < x < b. Misalkan Y1 adalah yang terkecil dari Xi, kemudian Y2 adalah urutan terkecil kedua dari Xi, ..., dan Yn adalah yang terbesar dari Xi. Sehingga Y1 < Y2 < ... < Yn merepresentasikan X1, X2, ..., Xn apabila ditata dari kecil ke besar (ascending). Selanjutnya Yi, i = 1, 2, ..., n, disebut sebagai statistik tataan (order statistic) ke-i dari contoh acak X1, X2, ..., Xn.

Teorema 1 Misalkan Yi, i = 1, 2, ..., n, merupakan statistik tataan ke-i dari contoh acak bebas dan identik X1, X2, ..., Xn. Fungsi kepekatan peluang bersama dari Y1, Y2, ..., Yn adalah g ( y1, y 2 ,..., y n )  (n!) f ( y1) f ( y2 )... f ( y n ), a  y1  y2  ...  y n  b

Teorema 2 Misalkan Yi, i = 1, 2, ..., n, merupakan statistik tataan ke-i dari contoh acak bebas dan identik X1, X2, ..., Xn. Fungsi kepekatan peluang marginal salah satu statistik tataan, misalnya Yk, adalah gk ( yk ) 

n! [ F ( yk )]k 1[1  F ( yk )]n  k f ( y k ), ( k  1)!( n  k )! a  yk  b

Dr. Kusman Sadik Dept Statistika IPB, 2012

Teorema 3 Misalkan Yi, i = 1, 2, ..., n, merupakan statistik tataan ke-i dari contoh acak bebas dan identik X1, X2, ..., Xn. Fungsi kepekatan peluang bersama dua statistik tataan, misalnya Yi < Yj , adalah g ij ( y i , y j ) 

n! (i  1)!( j  i  1)!(n  j )!

[F ( y i )]i 1[ F ( y j )  F ( y i )] j  i  1[1  F ( y j )] n j f ( yi ) f ( y j ), a  yi  y j  b

Pembuktian secara lengkap tiga teorema di atas dapat dilihat di Hogg & Craig, dan Roussas (disediakan sebagai latihan).

Kasus 1 Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah peubah acak yang menyebar acak dan identik sebagai U(, ). Fungsi kepekatan peluang bersama statistik tataan Y1, Y2, ..., Yn adalah: g ( y1, y 2 ,..., y n ) 

n! , (   ) n

  y1  y 2  ...  y n  

Kasus 2 Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah peubah acak yang menyebar acak dan identik sebagai U(0, 1). Jika didefinisikan suatu peubah acak Z = maksimum(X1, X2, ..., Xn), tentukan fkp bagi Z. Peubah acak Z merupakan statistik tataan, yaitu Z = Yn, sehingga berdasarkan Teorema 2 dapat dinyatakan bahwa: g n( yn ) 

n! [F (y n )]n 1 [1  F (y n )]n n f (y n ) (n  1)!(n  n)!

n 1  n[ F( yn)] f ( yn ),

0  yn  1

Dr. Kusman Sadik Dept Statistika IPB, 2012

Karena f ( x)  1 , 0 < x < 1, maka x

F ( x)  1dx  x 0

gn ( yn )  n[F ( yn )]n 1 f ( yn )  n[ yn ]n 1.1  n ( yn ) n 1 , 0  yn  1

Jadi fkp peubah acak Z = maksimum(X1, X2, ..., Xn) adalah: f ( z )  n ( z )n 1 ,

0  z 1

Kasus 3 Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah peubah acak yang menyebar acak dan identik sebagai Eksponensial Negatif dengan parameter sebaran . Jika kemudian didefinisikan suatu peubah acak lain yaitu V = minimum(X1, X2, ..., Xn), tunjukkan bahwa fkp peubah acak V adalah Eksponensial Negatif dengan parameter sebaran n.

Peubah acak V merupakan statistik tataan, yaitu V = Y1, sehingga berdasarkan Teorema 2 dapat dinyatakan bahwa: g 1(y 1) 

n! [F ( y 1)]11[1  F ( y1 )] n 1 f ( y 1) (1 1)!(n  1)!

 n[1  F ( y1 )]n 1 f ( y1 ), y1  0 Karena f ( x )  e x , x > 0, maka x

F (x )   e  xdx  1  e  x 0

g1 ( y1 )  n[1  F ( y1 )]n 1 f ( y1 )  n[1  (1  e

 y 1

)]n 1( e  y1 )

 ( n) e( n ) y1 , y1  0

Dr. Kusman Sadik Dept Statistika IPB, 2012

Jadi fkp peubah acak V = minimum(X1, X2, ..., Xn) adalah: f (v )  (n )e  (n )v ,

v0

merupakan fkp Eksponensial Negatif dengan parameter sebaran n.

Kasus 4 Misalkan Y1 < Y2 < Y3 < Y4 merupakan statistik tataan dari contoh acak berukuran 4 dari sebaran yang memiliki fkp: f ( x)  2 x ,

0 ½) =

 g ( y )dy 3

3

3



1/ 2

243 256

Kasus 5 Misalkan Y1 < Y2 < Y3 merupakan statistik tataan dari contoh acak berukuran 3 dari sebaran yang memiliki fkp: f (x )  1,

0...