Binomio de Newton, Términos centrales PDF

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Binomio de Newton Teorema del binomio: Sean 𝑎 y 𝑏 números reales y además 𝑛 y 𝑘 números enteros tal que 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 entonces (𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ Donde: 𝐶𝑘𝑛 =

𝑛! (𝑛−𝑘 )!𝑘!

𝑛

𝐶𝑘 𝑛 . 𝑎 𝑛−𝑘 . 𝑏 𝑘

𝑘=0

Ejemplo: 

(𝑎 + 𝑏)4 = ∑4𝑘=0 𝐶4𝑘 . 𝑎 4−𝑘 . 𝑏 𝑘

(𝑎 + 𝑏)4 = 𝐶04 . 𝑎 4−0 . 𝑏 0 + 𝐶14 . 𝑎 4−1 . 𝑏1 + 𝐶24 . 𝑎 4−2 . 𝑏 2 + 𝐶34 . 𝑎 4−3 . 𝑏 3 + 𝐶44 . 𝑎 4−4 . 𝑏 4 (𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎 4 + 4𝑎 3 𝑏 + 6𝑎 2 𝑏 2 + 4𝑎𝑏 3 + 𝑏 4

Triangulo de Pascal

Termino n-ésimo Se determina haciendo 𝑘 = 𝑚 − 1

Ejemplos: Determinar el tercer término en el desarrollo del binomio (𝑥 − 2𝑦)5 Por lo tanto 𝑚 = 3 entonces al aplicar 𝑘 = 𝑚 − 1 se obtiene 𝑘 = 2 Al aplicar el teorema del binomio

5

∑

𝑥 5−2

𝑘=2

. (−2𝑦)2 = 40𝑥 3 𝑦 2

Determinar el quinto término en el desarrollo del binomio (𝑥 + 2)6 Por lo tanto 𝑚 = 5 entonces al aplicar 𝑘 = 𝑚 − 1 se obtiene 𝑘 = 4 Al aplicar el teorema del binomio ∑

6

𝑥 6−4 . 24 = 240𝑥 2

𝑘=4

Término central Para 𝑛 par: 𝑘 =

𝑛

2

Ejemplo: Determina el término central en el desarrollo (𝑝 + 𝑞)8 Por lo tanto 𝑘 =

𝑛

2

se obtiene 𝑘 = 4

Al aplicar el teorema del binomio 8

∑ Para 𝑛 impar: 𝑘 =

𝑛−1 2

𝑝 8−4 . 𝑞 4 = 70𝑝4 𝑞 4

𝑘=4

𝑛+1

;𝑘=

2

Ejemplo: Determina los términos centrales en el desarrollo (𝑎 − 𝑏)7 Por lo tanto 𝑘 =

𝑛+1 2

se obtiene 𝑘 = 4

Al aplicar el teorema del binomio ∑ y𝑘 =

𝑛−1 2

7

𝑎 7−4 . (−𝑏)4 = 35𝑎3 𝑏 4

𝑘=4

se obtiene 𝑘 = 3 ∑

7

𝑎 7−3

𝑘=3

. 𝑏 3 = −35𝑎4 𝑏 3

Ejercicios 

Desarrollar los siguientes binomios:

(𝑥 + 1)3

(2𝑎 + 3𝑏)4 (𝑥 − 2)7

1 5 (𝑥 − ) 2   

Calcular el quinto término de (𝑥 + 9)9 Calcular el séptimo término de (2𝑥 − 𝑦)12 𝑥 Calcular el noveno termino de (2 + )15



Hallar el/los términos centrales de los siguientes binomios:

12 1 2 ( +𝑥 ) 𝑥

(2𝑎5 + 3𝑏)5

(𝑥 − 3)6

(𝑥 2 + 5)9

4...