Übungen - Übungsserie 09 - Clebsch-Gordan-Koeffizienten, Wasserstoffatom PDF

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Übungsserie 09 - Clebsch-Gordan-Koeffizienten, Wasserstoffatom...

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Quantenmechanik (Theo. Phys. III) 2016 C. Hanhart, B. Kubis, J. Daub, P. Stoffer

Übungsserie 9 17.6.2016, Abgabe: 24.6.2016

Clebsch-Gordan-Koeffizienten, Wasserstoffatom Anwesenheitsaufgaben A.1 Clebsch-Gordan-Koeffizienten Wir betrachten die beiden Hilberträume H1 = {|j1 , m1 i} und H2 = {|j2 , m2 i}. Hierbei sind 2 |j1 m1 i und |j2 m2 i Eigenzustände der Drehimpulsoperatoren ˆj1 , jˆ1,z bzw. ˆj22, ˆj2,z . Im Hilbertraum H = H1 ⊗ H2 ist eine Basis gegeben als {|j1 , m1 ; j2 , m2 i} = {|j1 , m1 i|j2 , m2 i} := {|j1 , m1 i ⊗ |j2 , m2 i} . (a) Wie wirken die Operatoren ˆj12 , jˆ1,z und ˆj22 , jˆ2,z in H? Berechnen Sie (ˆj1,z + jˆ2,z )|j1 , m1 ; j2 , m2 i ,

(jˆ1,z · jˆ2,z )|j1 , m1 ; j2 , m2 i .

Es zeigt sich, dass es häufig sinnvoll ist, anstatt dieser Basis aus Eigenzuständen {|j1 , m1 ; j2 , m2 i} zu den Operatoren ˆj1,z , jˆ2,z , ˆj12 , ˆj22 eine Basis aus Eigenzuständen {|(j1 j2 )j, mi} zu den Operatoren ˆj2 = (ˆj1 + ˆj2 )2 , jˆz = ˆj1,z + jˆ2,z , ˆj12 , ˆj22 zu verwenden. Die Entwicklungskoeffizienten jm Cj 1 m1 ,j 2 m2 = C(j1 j2 j; m1 m2 m) = hj1 m1 ; j2 m2 |(j1 j2 )jmi

heißen Clebsch-Gordan-Koeffizienten. Sie können reell gewählt werden. (b) Zeigen Sie durch Anwendung des Operators ˆjz = ˆj1,z + jˆ2,z auf den Zustand X C(j1 j2 j; m ˜1m ˜ 2 m) |j1 m ˜ 1 ; j2 m ˜ 2i |(j1 j2 )jmi = m ˜ 1m ˜2

und Projektion auf hj1 m1 ; j2 m2 |, dass nur C(j1 j2 j; m1 m2 m) 6= 0, falls m1 + m2 = m. (c) Für die Clebsch-Gordan-Koeffizienten gelten folgende Rekursionsbeziehungen: p j(j +p1) − m(m ± 1) C (j1 j2 j; m1 m2 m ± 1) =p j1 (j1 + 1) − m1 (m1 ∓ 1) C (j1 j2 j; m1 ∓ 1 m2 m) + j2 (j2 + 1) − m2 (m2 ∓ 1) C (j1 j2 j; m1 m2 ∓ 1 m) . Da die Zustände |(j1 j2 )jmi und |j1 m1 i|j2 m2 i auf 1 normiert sind, folgt ferner die Relation X [C(j1 j2 j; m1 m2 m)]2 = 1 m1 m2

(beide Relationen werden in den Hausaufgaben hergeleitet). Bestimmen Sie damit die Clebsch-Gordan-Koeffizienten für den Fall einer Kopplung von zwei Drehimpulsen j1 = 1, j2 = 1/2 zu einem Gesamtdrehimpuls j = 1/2. Beachten Sie dabei die Konvention C jj 1j j 1 ,j 2 (j −j 1 ) > 0, sowie dass die Koeffizienten reell sind. Diese können damit eindeutig festgelegt werden.

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Hausaufgaben H.1 Nachtrag zu Clebsch-Gordan-Koeffizienten (10 P.) (a) (3 P.) Leiten Sie die in Aufgabenteil A.1 (c) eingeführten Rekursionsrelationen her. Wenden Sie hierfür ˆj± = ˆj1,± + jˆ2,± auf den in A.1 (b) definierten Zustand an. (b) (1 P.) Die Forderung, dass die Zustände |(j1 j2 )jmi und |j1 m1 i|j2 m2 i auf 1 normiert sind, führt auf die Relation X [C (j1 j2 j; m1 m2 m)]2 = 1 . m1 m2

Bestätigen Sie diese Beziehung. (c) (6 P.) Betrachten Sie erneut die Kopplung zweier Drehimpulse j1 = 1, j2 = 1/2 (siehe Aufgabe A.1 (c)) und bestimmen Sie sämtliche Clebsch-Gordan-Koeffizienten bei einer Kopplung zu einem Gesamtdrehimpuls j = 3/2. H.2 Erwartungswerte zum Wasserstoffatom (10 P.) In dieser Übung sollen einige nützliche (radiale) Erwartungswerte zum Wasserstoffatom berechnet werden. Da wir dies für die allgemeinste Form der Wellenfunktion durchführen wollen, nutzen wir eine Herangehensweise, die etwas ungewöhnlich erscheinen mag. (a) (1 P.) In der Vorlesung wurde gezeigt, dass der radiale Anteil der Schrödingergleichung folgende Differentialgleichung erfüllt:   d2 l(l + 1) ρ0 − 1 ul (ρ) = 0 . (1) + − ρ ρ2 dρ2 Führen Sie zunächst eine Reskalierung dieser Differentialgleichung für die Lösung unl (ρ) durch (für die also ρ0 = 2n gilt), indem Sie ρ durch ρ¯/n ersetzen. Zeigen Sie, dass dies auf 1 2 l(l + 1)  ′′ unl (¯ ρ) = unl (¯ ρ) (2) + − ρ¯2 n2 ρ¯ führt. (b) (6 P.) Multiplizieren Sie nun beide Seiten der Differentialgleichung mit unl (¯ ρ) ρ¯q und führen R∞ Sie ebenfalls auf beiden Seiten die Integration 0 dρ¯( . ) durch. Zeigen Sie, dass die rechte Seite der Gleichung auf hq i − 2hq − 1i + l(l + 1)hq − 2i n2 R∞ führt, wobei hqi := 0 dρ¯ [unl (¯ ρ)]2 ρ¯q . Beweisen Sie, dass die linke Seite der Gleichung nach mehrmaliger partieller Integration und unter Vernachlässigung der Oberflächenterme auf Z ∞ 1 ρ¯q+1 ′′ ′ LHS = q(q − 1)hq − 2i + dρ¯ ρ)unl 2unl (¯ (¯ ρ) 2 q + 1 0 RHS =

führt. Setzen Sie nun wieder die Differentialgleichung (2) ein und zeigen Sie, dass gilt: 4(q + 1)hqi − 4n2 (2q + 1)hq − 1i + n2 q[(2l + 1)2 − q 2 ]hq − 2i = 0 . (c) (3 P.) Vergewissern Sie sich, dass hqi = hψnlm |(r/a0 )q |ψnlmi, wobei a0 = ~2 /(me2 ) den Bohrschen Radius bezeichnet. Berechnen Sie mithilfe der in (b) gezeigten Beziehung hψnlm |(r/a0 )−1 |ψnlm i, hψnlm|(r/a0 )|ψnlm i, hψnlm|(r/a0 )2 |ψnlm i. Hinweis: Was ist h0i? Wie müssen Sie also q wählen, um h−1i bestimmen zu können?

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Zusatzaufgabe Z.1 Nachtrag zum Wasserstoffatom Diese Aufgabe ist nicht Teil der abzugebenden Hausaufgaben, sondern ein erneutes freiwilliges Übungsangebot für Sie, um die (zum Bestehen der Klausur notwendige) Rechenpraxis zu erlangen. Es sollen einige in der Vorlesung übersprungene Rechnungen zum Wasserstoffatom nachvollzogen werden. In der Vorlesung wurde durch Reskalierung bereits gezeigt, dass der radiale Anteil der Schrödingergleichung folgende Differentialgleichung erfüllt:  d2  l(l + 1) ρ0 − 1 ul (ρ) = 0 . + − ρ ρ2 dρ2 (a) Verwenden Sie den Ansatz ul (ρ) = ρl+1 e−ρ ω (ρ), um zu zeigen, dass ω(ρ) ρω ′′ (ρ) + 2(l + 1 − ρ)ω ′ (ρ) + (ρ0 − 2(l + 1))ω (ρ) = 0 erfüllt. (b) Nutzen Sie einen Potenzreihenansatz für ω(ρ) und leiten Sie die folgende Rekursionsgleichung für die Koeffizienten her: 2(k + l + 1) − ρ0 ak+1 = ak . (k + 1)(k + 2l + 2)

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