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Problem Set: CAPM + Lösungen...

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Investmentanalyse und Portfoliomanagement Problem Set: CAPM 1. Die erwartete Rendite und Standardabweichung des Marktportfolios liegen bei 10% bzw. 16%. Der riskofreie Zins liegt bei 2%. Die Rendite der Aktie LaserTech hat eine Standardabweichung von 32%. Die Korrelation mit dem Marktportfolio beträgt 0,75. (a) Berechnen Sie Kovarianz zwischen LaserTech und dem Marktportfolio. (b) Berechnen sie das Beta von LaserTech. (c) Berechnen Sie die erwartete Rendite von LaserTech. (d) Die Rendite der Aktie SonicSys hat das gleiche Beta wie LaserTech. Allerings ist die Volatiliät höher – die Standardabweichung liegt bei 40%. Ist eine höhere erwartete Rendite nötig um dies zu kompensieren? (e) Wie hoch ist das Beta eines Portfolios das zu 30% aus LasterTech, zu 40% aus SonicSys und zu 30% aus der risikofreien Anleihe besteht. 2. UniSolution hat 1 Millionen ausstehende Aktien. Der aktuelle Preis einer Aktie liegt bei $100. Ausserdem hat die Firma ausstehende Verbindlichkeiten mit einem Marktwert von $50 Millionen. UniSolution hat eine sehr gute Kreditwürdigkeit. Daher gelten Verbindlichkeiten von UniSolution als risikofrei. Die Rendite der UniSolution Aktie hat ein Beta von 1,8. Die erwartete Rendite des Marktportfolios beträgt 10% p.a. und der risikofreie Zins liegt bei 1% p.a.. (a) Wie hoch ist der Wert des Eigenkapitals und der Assets von Unisolution? (b) Berechnen Sie das Asset Beta. (c) Wie hoch ist die erwartete Asset Rendite und Aktienrendite? (d) NeoGeo ist in der gleichen Industrie wie UniSolution. Daher ist auch das Betriebsrisiko (das Asset Beta) das gleiche wie bei Unisolution. NeoGeos Assets erzeugen einen unendlichen Zahlungsstrom von jährlich $5 Millionen. Berechnen Sie den Wert der Assets von NeoGeo. 3. Angenommen es gibt nur zwei riskante Anlagemöglichkeiten: LaserTech und SonicSys. Die Kovarianzmatrix ist wie folgt: LaserTech SonicSys LaserTech 0.04 0.0175 SonicSys 0.0625 Zusätzlich gibt es eine risikofreie Anleihe. Es gibt zwei mean-variance Investoren, Kevin und Justin. Kevins Vermögen beträgt $350 Millionen. Er investiert $50 Millionen in die risikofreie Anlage, $124,46 Millionen in LasterTech Aktien und $175,54 Millionen in SonicSys Aktien. Justine Vermögen beträgt ebenfalls $350 Millionen. Er verkauft $50 Millionen der risikofreien Anleihe leer. 1

(a) Finden Sie die Marktportfolio Gewichte von LaserTech und SonicSys. (b) Berechnen Sie die Standardabweichung des Marktportfolios. (c) Berechnen Sie das Beta von LaserTech und SonicSys. (d) Die erwartete Rendite von LaserTech beträgt 8%. Der risikofreie Zins beträgt 2%. Wie hoch ist die erwartete Rendite des Marktportfolios? (e) Wie viel investiert Justin in LaserTech und SonicSys? 4. Im Excel Spreadsheet Qn4.xls, sind die monatlichen Renditen von S&P und BlueSky gegeben. Der risikolose Zins beträgt 0,3%. (a) Berechnen Sie die monatliche Standardabweichungen von S&P und BlueSky. (b) Berechnen Sie die monatliche Kovarianz zwischen S&P und BlueSky. (c) Berechnen Sie das Beta von BlueSky. (d) Betrachten Sie die folgende Regression: 



˜ BlueSky − rf = α + β R˜S&P − rf + ε R ˜ BlueSky − rf ) auf die In Worten: Wir regressieren die Überrendite von BlueSky (R ˜ Überrendite von S&P ( RBlueSky − rf ). α ist der Achsenabschnitt und ε ist das Residuum. Welchen Wert hat α unter dem CAPM? (e) Führen Sie die Regression in Excel aus mit linest() (in einer deutschen ExcelVersion heisst dieser Befehl RGP() ).Wie hoch sind die Schätzer für α und β ? (Tipp: linest(Spalte von rBlueSky −rf , Spalte vonrS&P − rf , 1, 1) liefert eine Matrix. Nutze index (linest(...),i,j) um das Element in Zeile i und Spalte j zu finden. (1,1) ist die geschätzte Steigung.) (f) Berechnen Sie die Portfolio Gewichte des effizienten Portfolios mit erwarteter monatlicher Rendite von 1,2%. Was hoch ist die monatliche Kovarianz mit dem S&P Index?

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Investmentanalyse und Portfoliomanagement Problem Set: CAPM 1. Die erwartete Rendite und Standardabweichung des Marktportfolios liegen bei 10% bzw. 16%. Der riskofreie Zins liegt bei 2%. Die Rendite der Aktie LaserTech hat eine Standardabweichung von 32%. Die Korrelation mit dem Marktportfolio beträgt 0,75. (a) Berechnen Sie Kovarianz zwischen LaserTech und dem Marktportfolio. Lösung: σLT ,m = 0.75 × 16% × 32% = 0.0384. (b) Berechnen sie das Beta von LaserTech. σ = 0.0384 Lösung: βLT = LT,m = 1.5 2 16%2 σm (c) Berechnen Sie die erwartete Rendite von LaserTech. Lösung: r¯LT = rf + βLT (¯ rm − rf ) = 2% + 1.5 × (10% − 2%) = 14% (d) Die Rendite der Aktie SonicSys hat das gleiche Beta wie LaserTech. Allerings ist die Volatiliät höher – die Standardabweichung liegt bei 40%. Ist eine höhere erwartete Rendite nötig um dies zu kompensieren? Lösung: Nein, da Investoren laut des CAPM nur für das Halten von systematischem Risiko kompensiert werden. (e) Wie hoch ist das Beta eines Portfolios das zu 30% aus LasterTech, zu 40% aus SonicSys und zu 30% aus der risikofreien Anleihe besteht. Lösung: βP = 30% × 1.5 + 40% × 1.5 = 1.05 2. UniSolution hat 1 Millionen ausstehende Aktien. Der aktuelle Preis einer Aktie liegt bei $100. Ausserdem hat die Firma ausstehende Verbindlichkeiten mit einem Marktwert von $50 Millionen. UniSolution hat eine sehr gute Kreditwürdigkeit. Daher gelten Verbindlichkeiten von UniSolution als risikofrei. Die Rendite der UniSolution Aktie hat ein Beta von 1,8. Die erwartete Rendite des Marktportfolios beträgt 10% p.a. und der risikofreie Zins liegt bei 1% p.a.. (a) Wie hoch ist der Wert des Eigenkapitals und der Assets von Unisolution? Lösung: E = $100 × 1mil = $100mil V = D + E = $50mil + $100mil = $150mil. (b) Berechnen Sie das Asset Beta. 50 ×0+ Lösung: βV = D β + VE βE = 150 V D

100 150

× 1.8 = 1.2

(c) Wie hoch ist die erwartete Asset Rendite und Aktienrendite? Lösung: r¯V = 1% + 1.2 × (10% − 1%) = 11, 8% r¯E = 1% + 1.8 × (10% − 1%) = 17, 2% (d) NeoGeo ist in der gleichen Industrie wie UniSolution. Daher ist auch das Betriebsrisiko (das Asset Beta) das gleiche wie bei Unisolution. NeoGeos Assets erzeugen einen unendlichen Zahlungsstrom von jährlich erwarteten $5 Millionen. Berechnen Sie den Wert der Assets von NeoGeo. $5mil = $42, 4mil Lösung: Betriebsrisko gleich =⇒ βN eo = βUni =⇒ 11,8% 1

3. Angenommen es gibt nur zwei riskante Anlagemöglichkeiten: LaserTech und SonicSys. Die Kovarianzmatrix ist wie folgt: LaserTech SonicSys LaserTech 0.04 0.0175 SonicSys 0.0625 Zusätzlich gibt es eine risikofreie Anleihe. Es gibt zwei mean-variance Investoren, Kevin und Justin. Kevins Vermögen beträgt $350 Millionen. Er investiert $50 Millionen in die risikofreie Anlage, $124,46 Millionen in LasterTech Aktien und $175,54 Millionen in SonicSys Aktien. Justins Vermögen beträgt ebenfalls $350 Millionen. Er verkauft $50 Millionen der risikofreien Anleihe leer. (a) Finden Sie die Marktportfolio Gewichte von LaserTech und SonicSys. Lösung: Alle Mean Variance Investoren halten immer ein Portfolio bestehend aus dem Marktportfolio und dem risikofreien Asset. Die relative Zusammensetzung der Marktportfolio ist über alle Mean Variance Investoren identisch. Daher können wir das Marktportfolio anhand Kevins Informationen bestimmen: aLT =

124.46 = 41.5% 300

aSS =

175.54 = 58.5% 300

(b) Berechnen Sie die Standardabweichung des Marktportfolios. Lösung: 2 σm = 41.5%2 × 0.04 + 58.5%2 × 0.0625 + 2 × 0.0175 × 41.5% × 58.5% = 0.03678

(c) Berechnen Sie das Beta von LaserTech und SonicSys. Lösung: βLT = βSS =

2 wLT σLT + wSS σLT,SS 41.5% × 0.04 + 58.5% × 0.0175 = = 0.73 2 σm 0.03678

2 41.5% × 0.0175 + 58.5% × 0.0625 wLT σLT,SS + wSS σSS = = 1.19 2 0.03678 σm

(d) Die erwartete Rendite von LaserTech beträgt 8%. Der risikofreie Zins beträgt 2%. Wie hoch ist die erwartete Rendite des Marktportfolios? Lösung: r¯LT = rF +βLT (¯ rm −rF ) =⇒ r¯m = (¯ rLT −rF )/βLT +rF = (8%−2%)/0, 73+2% = 10, 22% (e) Wie viel investiert Justin in LaserTech und SonicSys? Lösung: Justin investiert insgesamt 400 Mio in das Marktportfolio (350 Mio. Vermögen + 50 Mio aus dem Leerverkauf). LaserTech: 41, 5% × $400Mio = 166Mio SonicSys: 58, 5% × 400Mio = 234Mio 2

4. Im Excel Spreadsheet Qn4.xls, sind die monatlichen Renditen von S&P und BlueSky gegeben. Der risikolose Zins beträgt 0,3%. (a) Berechnen Sie die monatliche Standardabweichungen von S&P und BlueSky. (b) Berechnen Sie die monatliche Kovarianz zwischen S&P und BlueSky. (c) Berechnen Sie das Beta von BlueSky. (d) Betrachten Sie die folgende Regression:   ˜ S&P − rf + ε R˜BlueSky − rf = α + β R ˜ BlueSky − rf ) auf die In Worten: Wir regressieren die Überrendite von BlueSky (R ˜ BlueSky − rf ). α ist der Achsenabschnitt und ε ist das Überrendite von S&P ( R Residuum. Welchen Wert hat α unter dem CAPM? (e) Führen Sie die Regression in Excel aus mit linest() (in einer deutschen ExcelVersion heisst dieser Befehl RGP() ).Wie hoch sind die Schätzer für α und β ? (Tipp: linest(Spalte von rBlueSky −rf , Spalte vonrS&P −rf , 1, 1) liefert eine Matrix. Nutze index (linest(...),i,j) um das Element in Zeile i und Spalte j zu finden. (1,1) ist die geschätzte Steigung.) (f) Berechnen Sie die Portfolio Gewichte des effizienten Portfolios mit erwarteter monatlicher Rendite von 1,2%. Was hoch ist die monatliche Kovarianz mit dem S&P Index?

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